1、5 双曲面一 单叶双曲面：例： zy面上的双曲线 012xczby绕 z 轴旋转，所得旋转面为122cbax旋转单叶双曲面1、定义：在直角系下，由方程22czyx （a,b,c0） （1）所表示的图形称为单叶双曲面；而方程（1）称为单叶双曲面的标准方程。注：在直角系下，方程122czbyax或 22czbyax所表示的图形也是单叶双曲面2、性质与形状：（i）对称性：单叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称。原点称为（1）的中心。（ii）有界性：由方程（1）可知，单叶双曲面（1）是无界曲面（iii）与坐标轴的交点与坐标面的交线：单叶双曲面（1）与 x,y 轴分别交于（a，0，0） ， （
2、0，b，0）而与 z 轴不交，上述四点称为它的顶点。（1）与三坐标面交于 )1(x ， )(y ， )1(z ，即02xczby（2） 02cza（3） 012zbyax（4）（2） （3）均为双曲线， （4）为椭圆，它们的顶点均是单叶双曲面（1）的两对顶点。（iv）与平行于坐标面平面的交线：为考察（1）的形状，我们先用平行于 yx面的平面去截它，其截线为 kz)1(，即 kzcbyax221（5）对 k ， （5）均为椭圆，其顶点为（0，b 21ck，k）（2） ，（a 21c，0，k）（3） ，其半轴为 b 和 a 21c ，当k逐渐增大时，椭圆（5）逐渐变大。可见，单叶双曲面（1）是由一
3、系列“平行”椭圆构成的，这些椭圆的顶点分别在二相互“垂直”的双曲线上变化。再用一组平行于 zy面的平面去截（1） ，其截线为 kx)1( ，即kxacb22（6）当ka 时， （6）仍为双曲线，但其实轴z 轴，虚轴y 轴，其顶点（k，0，a 2）（3）最后，若用一组平行于 zx面的平面去截（1） ，其截线情况与上述相仿（如图 5.1） 。二 双叶双曲面：例： zy面上的双曲线 012xczby绕 z 轴旋转面为122cbx旋转双叶双曲面1 定义：在直角系下，由方程22zya （a,b,c0） （1）所表示的图形称为双叶双曲面；而（1）称为双叶双曲面的标准方程。注：在直角系下，方程122czby
4、x或 22czbyax所表示的图形也是双叶双曲面。2 性质与形状：（i）对称性：双叶双曲面（1）关于三坐标轴，三坐标面及原点对称，其中原点称为其中 心。（ii）有界性：由（1）可见，双叶双曲面为无界曲面。（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线：双叶双曲面（1）与 x,y 轴不交，而与 z 轴交于（0，0，C）顶点又（1）与三坐标面交于 )1(x ， )(y ， )1( ，即02xczby（2） 02ycza（3） 02zbyax（4）（2） （3）均为双曲线，其实轴为 z 轴，虚轴分别为 y 轴和 x 轴，其顶点为（0，0，C） （4）表面（1）与 x面不交。（iv）与平行于坐标面平面的交线
5、：为考察双叶双曲面（1）的形状，先用平行于 面的平面去截（1） ，其截线为kz)( ，即 kzckbya221（5）当k=C 时， （1）与 z=k 不交，当k=C 时， （1）与 z=k 交于（0，0，C）当kC 时， （5）为椭圆，其顶点为（0，b 21ck，k）（2）（a 2ck，0，k）（3） ，其半轴为 b ，a 2c可见，双叶双曲面（1）是由 z=C 外的一系列“平行”椭圆构成。这些椭圆的顶点在双曲线（2）和（3）上变化。（图 5.4）若用平行于 zy面的平面去截（1） 。其截线为 kx)1( ，即kxakcb22（6）对 k， （6）均为双曲线，其实轴z 轴，虚轴y 轴，其顶点yzox（k，0，c 21ak）（3）最后，若用平行于 zx面的平面去截（1） ，其截线情况与上述相仿（如图 5.2） 。
