1、 球的体积和表面积 问题 已知球的半径为R 用R表示球的体积 1 球的体积 O R O A 2 球的表面积 第一步 分割 球面被分割成n个网格 表面积分别为 则球的表面积 则球的体积为 第二步 求近似和 由第一步得 球的表面积 第三步 化为准确和 如果网格分的越细 则 小锥体 就越接近小棱锥 球的表面积 例1 钢球直径是5cm 求它的体积 变式1 一种空心钢球的质量是142g 外径是5cm 求它的内径 钢的密度是7 9g cm2 3 例题讲解 变式1 一种空心钢球的质量是142g 外径是5cm 求它的内径 钢的密度是7 9g cm2 解 设空心钢球的内径为2xcm 则钢球的质量是 答 空心钢球
2、的内径约为4 5cm 由计算器算得 例题讲解 变式2 把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中 至少要用多少纸 用料最省时 球与正方体有什么位置关系 正方体的内切球 侧棱长为5cm 例2 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 它的各个顶点都在球O的球面上 问球O的表面积 分析 正方体内接于球 则由球和正方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则正方体对角线与球的直径相等 正方体的外接球 变2 已知球O的表面上有P A B C四点 且PA PB PC两两互相垂直 若PA PB PC a 求这个球的表面积和体积 沿对角面截得 长方体 外接球 1 已知长方体的长 宽 高分别是 1 求长方体的外接
3、球的体积 习题集45页13题 例 已知过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球半径的一半 且AB BC CA cm 求球的体积 表面积 2 一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长是4cm 这个球的体积为 cm3 8 3 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 1 球的直径伸长为原来的2倍 体积变为原来的 倍 练习一 4 课堂练习 4 若两球体积之比是1 2 则其表面积之比是 练习二 1 若球的表面积变为原来的2倍 则体积变为原来的 倍 2 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的 倍 3 若两球表面积之比为1 2 则其体积之比
4、是 例3求棱长为a的正四面体P ABC的外接球的表面积 变求棱长为a的正四面体P ABC的内切球的表面积 1 补充 正三棱锥的高为1 底面边长为 求棱锥的全面积和它的内切球的表面积 过侧棱AB与球心O作截面 如图 在正三棱锥中 BE是正 BCD的高 O1是正 BCD的中心 且AE为斜高 解法1 作OF AE于F 设内切球半径为r 则OA 1 r Rt AFO Rt AO1E 设球的半径为r 则VA BCD VO ABC VO ABD VO ACD VO BCD 解法二 例2 正三棱锥的高为1 底面边长为 求棱锥的全面积和它的内切球的表面积 注意 割补法 C 1 2 C 了解球的体积 表面积推导的基本思路 分割 求近似和 化为标准和的方法 是一种重要的数学思想方法 极限思想 它是今后要学习的微积分部分 定积分 内容的一个应用 熟练掌握球的体积 表面积公式 5 课堂小结
