1、1 第十三讲正规变换与埃尔米特二次型 定义1设 是酉空间V的一个线性变换 如果对任意向量 V 都有 则称 是Hermite变换 问题设 是酉空间V中的线性变换 是否存在 L V 使得 V 有 定理1设 是n维酉空间V中的线性变换 则存在唯一的 L V 使得 V 有 证明存在性 设 1 2 n是V中一组标准正交基 在 1 2 n下的矩阵为A 由上册P 198定理6 4 存在唯一的一个V中的线性变换 在 1 2 n下的矩阵为AH 设 1 2 n X 1 2 n Y A aij n n 则 1 2 n AX 2 n AHY 且 2 唯一性 设 和 是n维酉空间V中的两个线性变换 且 V 有 则 0
2、取 则 0 故 0 所以 V 有 0 故 定义2设 是n维酉空间V中的线性变换 由定理1存在唯一的V中的线性变换 记为 使得 V 有 这个线性变换称为 的共轭变换 设 是酉空间V中的Hermite变换 则 3 推论1设 是n维酉空间V中的Hermite变换 1 2 n是V中一组标准正交基 在 1 2 n下的矩阵为A 则AH A A称为Hermite矩阵 推论2设 是n维酉空间V中的酉变换 1 2 n是V中一组标准正交基 则由P 71定理10 9 在 1 2 n下的矩阵A为酉矩阵 即AH A 1 故 1 定义3设 是n维酉空间V中的线性变换 若 则称 为正规变换 设 是n维酉空间V中的正规变换
3、1 2 n是V中一组标准正交基 在 1 2 n下的矩阵为A 则AAH AHA A称为正规矩阵 酉变换和Hermite变换都是正规变换 酉矩阵和Hermite矩阵都是正规矩阵 4 定理2设 是n维酉空间V中的正规变换 若 则 证明因为 所以 0 要证 0 推论1设 是n维酉空间V中的Hermite变换 则 的特征值全是实数 推论2设 是n维酉空间V中的酉变换 则 的特征值的绝对值均为1 5 定理3若n阶方阵A是正规矩阵 则存在酉矩阵U 使得U 1AU UHAU是对角阵 证明对n归纳 当n 1时 显然 设当A是n 1阶正规 矩阵时命题成立 现设 1是A的一个特征值 X1是A的属于 1的一个单位特征
4、向量 由上册P 163定理5 12可知 X1可扩充为Cn的一组基 这组基通过施密特正交化过程 可化为Cn的一组标准正交基X1 X2 Xn 因为X1 X2 Xn为Cn的一组基 所以存在n维向量Y2 Yn 使得AX2 X1 X2 Xn Y2 AXn X1 X2 Xn Yn 记 X1 X2 Xn 为U1 1e1 Y2 Yn 为B 则AU1 而AX1 1X1 X1 X2 Xn 1e1 AX1 AX2 AXn X1 X2 Xn 1e1 Y2 Yn U1 1e1 Y2 Yn U1B 6 U1是酉矩阵 且U1 1AU1 B 因为U1 1 U1H 所以 BHB U1 1AHU1U1 1AU1 U1 1AHAU
5、 1 U1 1AAHU1 U1 1AU1U1 1AHU1 BBH B也是正规矩阵 记 则 且C为n 1阶正规矩阵 由归纳假设存在 酉矩阵U2 使得U2 1CU2是对角阵D 7 令 则 即U是酉矩阵 且U 1AU UHAU是对角阵 8 定理4设 是n维酉空间V中的正规变换 则 属于不同特征值的特征向量正交 证明设 上述分析指明了正规矩阵酉对角化 即求酉矩阵U 使得U 1AU为对角阵 的方法 9 正规矩阵酉对角化的方法 1 求A的特征值 得到 其中 2 对每个 i 求线性方程组 iI A X 的基础解系 i 1 2 s 得到 3 对每组向量 进行施密特正交化 得到一个 得一个标准正交特征向量组 4
6、 令 则由定理3 4 U是酉矩阵 而且 10 例1设 求酉矩阵U 使U AU为对角阵 解 1 求A的特征值 所以A的特征值为 1 0 2 2 求属于不同特征值的特征向量 由 1I A X 0解得 故 由 2I A X 0解得 故 3 施密特正交化 11 令 则U是酉矩阵 且 定义4n个复变量x1 x2 xn的 二次齐次 函数 称为n元Hermite 二次 型 令A aij n n X x1 xn T 则f XHAX AH A A称为Hermite二次型的矩阵 12 如果把X x1 x2 xn T看作n维复向量空间V中的向量 在某组基下的坐标 那么Hermite型f x1 x2 xn XHAX也
7、可以记成f XHAX 这种观点下 Hermite型可以看作是向量函数 只不过函数值通过坐标来计算 问题 如何选择基使得函数的计算更简单 这相当于化简Hermite型的矩阵 先看基的改变会引起Hermite型的矩阵怎样改变 以便把Hermite型的化简问题转化成矩阵问题 设Hermite型f XHAX中X是向量 在V的基 1 2 n基下的坐标 如果选择另外的基 1 2 n 设 1 2 n 1 2 n P 设向量 的新坐标为Y y1 y2 yn T 13 则由上册第157页定理5 6可知X PY 将X PY代入f 得到 f XHAX PY HA PY YHPHAPY 如果令B PHAP 则得f Y
8、HBY B BH是Hermite矩阵 YHBY也是Hermite型 同一个向量函数f 在不同基下所对应的两个Hermite型XHAX和YHBY称为是等价的 换句话说 Hermite型XHAX与Hermite型YHBY等价 后者可以由前者通过可逆线性替换X PY得到 等价的Hermite型的矩阵之间有关系B PHAP 这种关系是同阶方阵之间的一种重要的等价关系 称为共轭合同 共轭相合 关系 定义5给定两个n阶复方阵A和B 如果存在可逆方阵P 使得B PHAP 则称B与A共轭合同 共轭相合 14 定理5设f XHAX是一个Hermite型 其中AH A 则 由定理3 存在酉线性替换X UY 其中U
9、是酉矩阵 把f 化成标准形 其中 1 2 n是A的n个实特征值 定理2推论 为了表达方便 不妨设标准形如下 其中di R 且di 0 i 1 2 n 于是 作可逆线性替换 令 得到 形如 3 式的Hermite型称为Hermite型的规范形 于是有如下惯性定理 15 任意一个Hermite型 总可以经过一个适当的可逆线性替换 化成规范形 规范形是唯一的 即 规范形 3 中的参数r p是唯一确定的 证略 规范形中的p称为正惯性指数 r p为负惯性指数 p r p 2p r符号差 任意Hermite矩阵共轭相合于对角阵 或者说 A Mn C 若AH A 则存在一个可逆矩阵P Mn C 使得 Her
10、mite型的正定性 1 正定Hermite型的定义 16 定义6设f XHAX是Hermite型 若对任何非零向量 都有f 0 则称这个Hermite型f 为正定二次型 正定Hermite型的矩阵称为正定Hermite矩阵 例如XHX是正定Hermite型 2 正定Hermite矩阵的性质 1 可逆线性替换不改变Hermite型的正定性 2 Hermite阵A正定 A的特征值都大于0 3 n元Hermite型正定 正惯性指数p n 4 Hermite阵A正定 A与I共轭相合 5 Hermite阵A正定 A CHC 其中C可逆 6 正定Hermite矩阵的行列式大于零 反之不一定成立 Hermi
11、te型f XTAX正定 A的各阶顺序主子式Pi 0 i 1 2 n 证略 17 例2求参数t的范围 使下列Hermite型为正定Hermite型 解这个Hermite型的矩阵为 若该Hermite型正定 则A的各阶顺序主子式大于零 推得 即 所以当 2 t 1时原Hermite型正定 18 定义7设f XHAX是Hermite型 若对任何向量 都有f 0 则称这个Hermite型f 为半正定Hermite型 半正定Hermite型的矩阵称为半正定Hermite矩阵 半正定性的判定方法 1 可逆线性替换不改变Hermite型的半正定性 2 n元Hermite型半正定 正惯性指数p r n 3 H
12、ermite矩阵A半正定 A共轭合同于diag Ir 0 4 Hermite矩阵A半正定 A CTC 5 Hermite矩阵A半正定 A的特征值都大于等于0 6 Hermite矩阵A半正定 A的所有主子式 0 证略 P 76定理10 19 2 不正确 19 定义8设f XHAX是Hermite型 若对任何非零向量 都有f 0 则称这个Hermite型f 为负定二次型 正定Hermite型的矩阵称为负定Hermite矩阵 定义9设f XHAX是Hermite型 若对任何向量 都有f 0 则称这个Hermite型f 为半负定Hermite型 半负定Hermite型的矩阵称为半负定Hermite矩阵 定义10设f XHAX是Hermite型 若既存在非零向量 使得f 0 又存在非零向量 使得f 0 则称这个Hermite型f 为不定二次型 不定Hermite型的矩阵称为不定Hermite矩阵 20 第十三讲作业 习题十 PP 76 78 22 23 24 25 26
