1、1二函数中因动点产生的相似三角形问题答案1.解:由题意可设抛物线的解析式为 1)2x(ay抛物线过原点， 1)20(a 4.抛物线的解析式为x41y,即2如图 1,当 OB 为边即四边形 OCDB 是平行四边形时,CD OB, 由1)2x(40得 4x,02, B(4,0),OB 4.D 点的横坐标为 6 将 x6 代入)(y,得 y3, D(6,3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点 D,使得四边形 ODCB 是平行四边形,此时 D点的坐标为(2,3), 当 OB 为对角线即四边形 OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为(2,1)如图 2，由
2、抛物线的对称性可知:AOAB,AOBABO.若BOP 与AOB 相似,必须有POB BOABPO 设 OP 交抛物线的对称轴于 A点,显然 A(2,1)直线 OP 的解析式为x21y由x4122, 得 6x021 P(6, 3)过 P 作 PEx 轴,在 Rt BEP 中,BE2,PE3,PB 34.PBOB,BOPBPO,PBO 与BAO 不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P 点.所以在该抛物线上不存在点 P,使得BOP 与AOB 相似. 2.解：（1）抛物线的解析式为：253yx（略） （2）存在设 Q点的坐标为 ()mn，则2m，要使,BPOCPOC ，则有3
3、，即2533m解之得， 123m，当 2时， n，即为 Q点，所以得 (2)，要使,BPOCPC ，则有3nm，即2533m解之得， 123m，当 时，即为 P点，当 时， n，所以得 ()Q，EAOABPyx图2COABDyx图 1O xy图 1C BED31 2A2故存在两个 Q点使得 OCP 与 BQ 相似点的坐标为 (23)，（3）略。3.解：（1） D 与 AE 相似。由折叠知， 90， 1290 ， 139023.，又 C ， DAE 。（2）3tan4， 设 AE=3t， 则 AD=4t。由勾股定理得 DE=5t。 58OCABtt 。由（1） DE ，得，845tC， 10t
4、。在 E 中， 22 ，2(10)()t，解得 t=1。OC=8，AE=3 ，点 C 的坐标为（0，8） ，点 E 的坐标为（10，3） ，设直线 CE 的解析式为 y=kx+b，108kb， ，解得128k，2yx，则点 P 的坐标为（ 16，0） 。（3）满足条件的直线 l 有 2 条：y= 2x+12，y=2x12。如图 2：准确画出两条直线。4.（1）略（2）假设存在直线 与线段 交于点 （不与点 重合） ，使得以 为顶点:(0)lykxBCDBC， BOD， ，的三角形与 相似在 中，令 ，BAC 23x0y则由 ，解得 230x1， (1)(3A， ， ，令 ，得 y()，设过点
5、的直线 交 于点 ，过点 作 轴于点 OlDE点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ()， 03， (0)，4345.ABCOB， ，23要使三角形相似，则只需 或 成立A.BODCA若是，则有 而 3294BD45BED，在 中，由勾股定理，得 RtE 22229EBE解得 （负值舍去） 94B 图 2O xyC BEDPMGl NAFyxBEA OCD 1xl3 点 的坐标为 934OEBD394，将点 的坐标代入 中，求得 D(0)ykxk若是，则有 而 23OBAC5OBCED，在 中，由勾股定理，得 RtBE 2222()E解得 （负值舍去） 21O点 的坐标为 D()，（3
6、）设过点 的直线 与该二次函数的图象交于点 03CE， ， ， 3(0)ykxP将点 的坐标代入 中，求得 (1)E， ykx此直线的函数表达式为 设点 的坐标为 ，并代入 ，得 P()， 2250x解得 （不合题意，舍去） 1250x， 51xy，点 的坐标为 此时，锐角 1， PCOA又 二次函数的对称轴为 ， 点 关于对称轴对称的点 的坐标为 xC(23)，当 时，锐角 ；pxPCOA当 时，锐角 ；5当 时，锐角 2p5.（1）令 ，得 解得 令 ，得 A B C 0y210x1x0x1y(,0)(1,)(0,1)（2）OA=O B=OC= BAC= ACO= BCO= APCB， P
7、AB=45 45过点 P 作 PE 轴于 E，则 APE 为等腰直角三角形令 OE= ，则 PE= Pa(,)a点 P 在抛物线 上 解得 ， （不合题意，舍去）PE=21yx21a1213四边形 ACBP 的面积 = ABOC+ ABPE=S 34(3) 假设存在 PAB= BAC = PA AC45MG 轴于点 G， MGA= PAC = x90在 RtA OC 中，OA =OC= AC=12在 RtP AE 中，AE =PE= AP= 33设 M 点的横坐标为 ，则 M m2(,)点 M 在 轴左侧时，则 () 当 AMG PCA 时，有 =y1 AGMCAG= ，MG= 即 解得 （舍
8、去） （舍去）12213m123mxBEA OC 1xPGM图 2CByPA ox4() 当 MAG PCA 时有 = 即 AGCMP213m解得： （舍去） M 1m2m(,) 点 M 在 轴右侧时，则 () 当 AMG PCA 时有 =y1 AGMCAG= ，MG= 12213解得 （舍去） M 1m24m47(,)9() 当 MAG PCA 时有 = 即 AGCP213m解得： （舍去） M124(4,5)存在点 M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似，M 点的坐标为 ， ，(2,3)47(,)9(4,5)6 解：（1） 点 ， ， ， 点坐标为(30)， (1)C， 4A3tan4BCAC B(1)，设过点 的直线的函数表达式为 ，AB， ykxb由 得 ， 直线 的函数表达式为0()3kb4k9b394yx（2）如图 1，过点 作 ，交 轴于点 ，DABxD在 和 中，RtABC t， 点为所求又 ， RttC 4tanta3ADBC ，49tan3D 134O0，（3）这样的 存在在 中，由勾股定理得 如图 1，当 时，mtAB 5ABPQB APQBD 则 ，解得 ，如图 2，当 时，143559PQDD 则 ，解得134m136GM图 3CByPA oxDQOyx图 1PACDQOyx图 2
