1、高考数学 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理工农医类）一- 选择题（每小题 5 分，共 60 分）（1 ）已知集合 M=x|-30,V=S-T(B) A0, V=S+T （D）A0, V=S+T（11 ）正六棱锥 P-ABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2（12 ）若 x满足 2x+ x=5, 满足 2x+2log(x-1)=5, 1x+ 2=（A） 5 (B)3 (C) 7 (D)4（13 ）某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量
2、之比为 1：2：1 ，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h ， 1032h，则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为h.（14 ）等差数列 na的前 项和为 nS，且 536,S则 4a （15 ）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m） 。 则该几何体的体积为 3m （16 ）以知 F 是双曲线214xy的左焦点， (1,4)AP是双曲线右支上的动点，则PA的最小值为 。（17 ） （本小题满分 12 分）如图，A,B,C,D
3、 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 075， 3，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 06，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D 的距离（计算结果精确到0.01km， 21.414， 62.449） （18 ） （本小题满分 12 分）如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内， M，N 分别为 AB，DF 的中点 。（I）若平面 ABCD 平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线 M
4、E 与 BN 是两条异面直线。 （19 ） （本小题满分 12 分）某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为 。该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为 1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（）设 X 表示目标被击中的次数，求 X 的分布列；（）若目标被击中 2 次，A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” ，求 P（ A） 13（20 ） （本小题满分 12 分）已知，椭圆 C 过点 A 3(1,)2，两个焦点为（ -1，0 ） ， （1，0） 。（1 ） 求椭圆 C 的方程； （2 ） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，
5、如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。（21 ） （本小题满分 12 分）已知函数 f(x)= 21x -ax+(a-1)lnx， 1a。（1 ）讨论函数 ()f的单调性； （2 ）证明：若 5a，则对任意 x1，x 2(0,)，x 1x 2，有 12()1ffx。请考生在第（22） 、 （23 ） 、 （24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22 ） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明讲 已知 ABC 中，AB=AC, D 是 ABC 外接圆劣弧 A
6、C上的点（不与点 A,C 重合） ，延长 BD 至 E。（1 ） 求证：AD 的延长线平分 CDE；（2 ） 若 BAC=30， ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3，求ABC 外接圆的面积。 （23 ） （本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos（ 3）=1 ，M,N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点。（1 ）写出 C 的直角坐标方程，并求 M,N 的极坐标； （2 ）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程。（24 ） （本小题满分 10 分）选修 4-5：
7、不等式选讲设函数 ()|1|fxxa。（1 ） 若 ,a解不等式 ()3f；（2 ）如果 xR, 2f,求 的取值范围。 参考答案(1) B (2) D (3) B (4)B (5)A (6)B (7)D (8) C (9) A(10) C (11)C (12)C (13)1013 (14) 31 (15) 4 (16)9(17)解:在ABC 中， DAC=30, ADC=60DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA， 5 分在ABC 中， ,ABCsinBCsinA即 AB= ,206315sinC6
8、0因此，BD= 。km3.0263故 B，D 的距离约为 0.33km。 12 分（18 ） （ I）解法一：取 CD 的中点 G，连接 MG，NG。设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2， 则 MG CD，MG=2 ，NG= .因为平面 ABCD平面 DCED，所以 MG平面 DCEF，可得MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。因为 MN= 6，所以 sinMNG= 36为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值 6 分解法二：设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，以 D 为坐标原点，分别以射线 DC，DF，DA 为 x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则 M（ 1,
9、0,2）,N(0,1,0),可得 MN=(-1,1,2). 又 DA=（0，0 ，2）为平面 DCEF 的法向量，可得 cos( MN, DA)= 36| AN 所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为cos 36,DAMN 6 分()假设直线 ME 与 BN 共面， 8 分则 AB平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN由已知，两正方形不共面，故 AB平面 DCEF。又 AB/CD，所以 AB/平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 AB/EN。又 AB/CD/EF，所以 EN/EF，这与 ENEF=E 矛盾，故假设不成立。所以
10、 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线. 12 分（19 ）解：（）依题意 X 的分列为6 分（）设 A1 表示事件“第一次击中目标时，击中第 i 部分 ”，i=1，2.B1 表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 部分” ，i=1，2.依题意知 P（A 1）=P(B 1)=0.1， P（A 2）=P(B 2)=0.3，B,所求的概率为 1112()()()PAPAPAB（ ）12)()B（0.9.0.0.3.8 （20 ）解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为 2194b，解得 23b， 24（舍去）所以椭圆方程为2143xy。 4 分（）设直线 AE 方程为： 3()2kx，代入2143
11、xy得2(34)340kx设 ,yE, ()F,因为点 3(1,)2A在椭圆上，所以2x4Fk3Ey 8 分又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以 K 代 K，可得24()1x3FkEy所以直线 EF 的斜率 ()21FEFEykxkKx即直线 EF 的斜率为定值，其值为 12。 12 分(21)解：(1) ()fx的定义域为 (0,)。2 11()1)()axaxaf2 分（i）若 即 ,则2(1)xf故 ()f在 0,)单调增加。(ii)若 1a,而 ,故 12a,则当 (1,)xa时， ()0fx;当 (0,1)xa及 (,)x时， ()0fx故 f在 ,单调减少，在
12、 ,1,)a单调增加。(iii)若 ,即 2,同理可得 ()fx在 单调减少，在 (0,1),)a单调增加.(II)考虑函数 ()gxf211lna则 21()()2()(1)agxxag由于 1a5,故 0，即 g(x)在(4, +)单调增加，从而当 120x时有12()gx，即 1212()0fxfx，故 12()fxf，当120时，有 1221()ffff12 分（22 ）解：（）如图，设 F 为 AD 延长线上一点A，B，C，D 四点共圆，CDF=ABC又 AB=AC ABC=ACB,且ADB=ACB, ADB=CDF,对顶角EDF=ADB, 故EDF=CDF,即 AD 的延长线平分C
13、DE.（）设 O 为外接圆圆心，连接 AO 交 BC 于 H,则 AHBC.连接 OC,A 由题意OAC=OCA=15 0, ACB=75 0,OCH=60 0.设圆半径为 r,则 r+ 23r=2+ ,a 得 r=2,外接圆的面积为 4。（23）解：（）由 得1)3cos(1)sin23co1(从而 C 的直角坐标方程为 )2,3(32)0,0123NMyx， 所 以时 ， ， 所 以时 ，即 （）M 点的直角坐标为（2，0）N 点的直角坐标为 )3,0(所以 P 点的直角坐标为 ),632(,.1点 的 极 坐 标 为则 P所以直线 OP 的极坐标方程为 ),(,（24）解：（）当 a=-1 时，f(x)=x-1+x+1.由 f(x)3 得x-1+x+1|3（）x-1 时，不等式化为1-x-1-x3 即-2x3
