1、第四章截面的几何性质 4 1截面的静矩与形心 4 2惯性矩 惯性积和惯性半径 4 3平行移轴公式 4 4转轴公式主惯性矩 4 1截面的静矩与形心 一 静矩的定义定义为截面对于z轴和y轴的静矩 c dA y y y 0 z z z 说明 a 静矩是对一定坐标轴而言的 同一截面对不同坐标轴的静矩不同 b 静矩可能为正 为负或为零 c 静矩的量纲为 长度 3 二 静矩与形心的关系若将图中截面图形看作为均质等厚的薄板 则它的重心即为截面图形的形心 则重心即截面形心C的坐标为 c dA y y y 0 z z z 当截面的形心位置已知时静矩 平面图形内通过形心的轴称为形心轴 截面图形对其形心轴的静矩等于
2、零 反之 若截面图形对某轴的静矩为零 则该轴必定通过截面的形心 即该轴必为形心轴 三 组合截面的静矩由几个简单图形 如矩形 圆形 三角形等 组成的截面称为组合截面 组合截面对某轴的静矩 等于组合截面中各简单图形对该轴静矩的代数和 即 将上式代入可得组合截面形心坐标的计算公式 4 2惯性矩 惯性积和惯性半径 一 惯性矩定义为截面对z轴和y轴的惯性矩 说明 同一截面对不同坐标轴的惯性矩不同 但恒为正值 惯性矩的量纲为 z dA y y 0 z 二 惯性积定义为截面对z y轴的惯性积 说明 a 截面对不同坐标轴的惯性积不同 b 惯性积也可能为正 为负或为零 c 惯性积的量纲是 z dA y y 0
3、z 三 惯性半径或式中的分别定义为截面对z轴和对y轴的惯性半径 其量纲为 长度 四 极惯性矩定义为截面对坐标原点的极惯性矩 因有即 z dA y y 0 z 结论 1 同一截面对不同坐标轴的惯性矩 惯性积都是不同的 2 截面对任意一对正交轴y z轴的惯性矩和之和 恒等于该截面对次两轴交点的惯性矩 结论 3 惯性矩 和极惯性矩恒为正值 而惯性积的数值可能为负 也可能为零 不过它们的量纲均为 4 两正交坐标轴中 只要有一根轴是截面的对称轴 则截面对这一对坐标轴的惯性积等于零 例 计算矩形截面对对称轴y轴和z轴的惯性矩 解 取平行于y轴的狭长矩形为微面积dA 则dA bdz c z b y h dz
4、 z 4 3平行移轴公式 y z轴分别与平行则 z c dA y 0 y b z a 同理上式称为平行移轴公式 z c dA y 0 y b z a 图形对任意轴的惯性矩 等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距平方的乘积 图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积 等于图形对于平行于该坐标轴的形心轴的惯性积 加上图形面积与两对平行轴间距的乘积 图形对于形心的惯性矩最小 而由形心轴移轴后所得的惯性积有可能增加也有可能减少 4 4转轴公式主惯性矩 一 转轴公式由转轴的坐标变换于是 因为得到 这就是惯性矩和惯性积的转轴公式 二 主惯性轴和主惯性矩若截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积
5、为零 则这对轴称为主惯性轴 简称主轴 截面图形对主轴的惯性矩 称为主惯性矩 简称主惯矩 当主轴为形心轴时 称为形心主惯性轴 简称形心主轴 截面对形心主轴的惯性矩 称为形心主惯性矩 若截面图形有一根对称轴 则此轴即为形心主轴之一 另一形心主轴为通过截面形心并与对称轴垂直的轴 截面没有对称轴时 主轴的位置通过计算来确定 将代入令 有得 将求得的角代入下式可求得主惯性矩 也可利用三角关系式 得到再代入上式得到主惯性矩的一般公式为 若zoy坐标系的原点是截面的形心 则由上式计算的主惯性矩也就是形心主惯矩 另外 因为 是的连续函数 通过求导可求得它们的极值 得到 与比较得 说明 a 通过截面某点的主轴正是通过该点的各轴中惯性矩取极值的轴 b 截面对通过某点的任意一对正交轴惯性矩之和为一常数 截面对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值 就是对过该点主轴的主惯矩 如果这里所说的平面图形是杆件的横截面 则截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面称为形心主惯性平面 杆件横截面的形心主惯性轴 形心主惯性矩和杆件的形心主惯性平面在杆件的弯曲理论中有重要意义 截面对于对称轴的惯性积等于零 截面形心又必然在对称轴 所以截面的对称轴就是形心主惯性 它与杆件轴线确定的纵向对称面就是形心主惯性平面
