1、第四章 功 和 能,Work and Energy,力的瞬时作用规律第二章 牛顿第二定律 力对时间积累作用规律第三章 动量定理 力对空间积累作用规律？,第四章 功和能,质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功）会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究，是经典力学中重要的组成部分。,与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律），是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。,4-1 功,Work,功力在位移方向上的分量与位移大小的乘积。,1.功的定义,设质点受力为 ，它的空间位置发生一无限小的位移位移元 ，则该力做功 表示为,质点
2、沿曲线 从 到 ，整个路径上的功为元功之和：,结论：合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。,如果质点同时受到多个力的作用，计算它们等效合力的功：,功率的定义：单位时间内所做的功。即,2.合力的功,3.功率,设两个质点m1和m2之间的相互作用力为：,4.一对力的功,这两个力的元功之和为：,与参照系的选取无关,例已知地球质量为M，半径为R一质量为m的火箭从地面上升到距地面高度为2R处在此过程中，地球引力对火箭作的功为 _,解：选择地心为原点，坐标轴如图所示,例一个力作用在质量为1.0Kg的质点上，使之沿x轴运动。已知在此力作用下质点的运动方程为 。在0到4s的时间间隔内： （1）力 的冲量大
3、小I= (2)力 对质点所作的功W=,解：,解：,平衡时：,4-2 动能定理,Theorem of Kinetic Energy,力对空间的积累（即做功）会给质点带来怎样的结果？,引入动能 Ek：,考虑合力的功：,即,过程量,状态量 在B点的取值,状态量 在A点的取值,动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,功是能量传递或转化的量度。,1.质点的动能定理,例把一质量为m0.4 kg的物体，以初速度v 020 m/s竖直向上抛出，测得上升的最大高度H16 m，求空气对它的阻力f（设为恒力）等于多大？,木块对子弹所做的功： （对子弹应用动能定理）,子弹对木块所作的功： （对木块应用动能
4、定理）,例人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的 (A)动量不守恒，动能守恒(B)动量守恒，动能不守恒 (C)对地心的角动量守恒，动能不守恒 (D)对地心的角动量不守恒，动能守恒,C,考虑两个质点构成的质点系：,即,2.质点系的动能定理,相加，得,定理：质点系外力功和内力功的总和等于总动能的增量。,内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。,4-3 4-4 引力势能和弹性势能,Gravitational Potential Energy and Elastic Potential Energy,考虑质点系中的两个质点m1和m2之间的万有引力一对力的功：,（1
5、）万有引力做功,结论：万有引力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态的相对位置。,保守力与非保守力,（2）弹簧的弹性力做功,考虑一劲度系数为k 的弹簧系着一质点 m，弹簧一端固定于O点，弹性力 的功：,为弹簧的伸长量,结论：弹性力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态的相对位置（决定了弹簧伸长量）。,（3）保守力和非保守力,与之等价的另一种定义：,一质点相对另一质点沿闭合路径运动一周，它们的相互作用力做功为零，则该力就是保守力。,引入势能的概念：保守力做功等于势能的减少量。,势能,说明： 势能是与质点系内质点的相对位置相关的能量。, 实际上只能定义势能的减少量（或增加量
6、），势能的数值无意义势能零点具有相对意义。, 不同的保守力引入的势能也不同。,引力势能：,弹性势能：,A点势能可表为,小结： 只有系统的内力为保守力，才可引入相应的势能。 计算势能必须规定零势能参考点。质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点的过程中保守力所做的功。 势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单值函数。 势能是属于具有保守力内力相互作用的质点系统的。是一种相互作用能。,势能曲线, 引力势能曲线,引力势能是空间变量 r 的函数势能函数,重力势能是在地球表面小区域内的引力势能：,RE h, 弹性势能曲
7、线,弹性势能曲线为抛物线，存在极小值。势能极小值点是稳定的平衡点。,例 讨论悬挂弹簧的势能。,设平衡点处,重力势能,弹性势能,引力势能,（取弹簧原长为势能零点）,（取无限远处为势能零点）,常见的势能,（取高度 处为势能零点）,研究问题中若涉及多种势能，可以为每一种势能选择一个零势能参考点。,4-5 由势能求保守力,How to Find a Conservative Force from Potential Energy,保守力及其势能都是空间分布的函数（力场，势函数）,取极限得方向导数：,坐标方向上的方向 导数偏导数,保守力等于相联系的势能的梯度的负值，即,梯度算符“grad”：,4-6 机
8、械能守恒定律,Law of Conservation of Mechanical Energy,引入机械能：,考虑质点系的动能定理：,质点系所受外力的功与非保守性内力的功的总和等于机械能的增量。,解：,质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点的过程中保守力所做的功。,说明： 机械能守恒定律是由牛顿定律导出的，它在惯性系中适用。,如果 ，则 常量。,机械能守恒定律：在只有保守性内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。,能量守恒定律：在封闭系统中，无论其内部经历怎样的变化，该系统的所有能量的总和保持不变。, 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动中的特例。,
9、质点系动能定理,机械能守恒定律,综合题类型,作题过程中要重点分析,过程、系统、条件,例 求第一宇宙速度、第二宇宙速度。,第一宇宙速度物体绕地球运行的最小速度； 第二宇宙速度物体脱离地球引力的最小速度。,（2）第二宇宙速度 物体脱离地球引力的条件是：当物体离地球无限远时，速率刚好为零。,例如图所示，一轻绳两端各系一球形物体，质量分别为M和m (Mm)，跨放在一个光滑的固定的半圆柱体上，圆柱半径为R，两球刚好贴在圆柱截面的水平直径AB两端今让两个小球及轻绳从静止开始运动，已知m到达圆柱侧面最高点C时刚好要脱离圆柱体，求： (1) m到达最高点时M的速度 (2) M与m的比值,撤去外力后，从 变化到
10、 的过程中，系统除受到重力和弹力（保守内力）外，只受到地面的压力，但刚提离地面说明临界状态，没有位移，所以地面压力没有做功，系统机械能守恒。,取O为弹性势能零点，B为重力势能零点,4-8 碰 撞,Collisions, 碰撞的特点,物体由接近、产生强烈的相互作用，到分离的过程。, 碰撞中总动量和总机械能,特点：持续时间短、作用力大物体运动状态变化明显（有动量、能量传递）,动量 不变，动量守恒。, 碰撞问题的求解, 例：完全非弹性碰撞（三维）：,讨论：设, 例：完全弹性碰撞（一维）：,例 一质量为 m1 的小球以 v0 的速率与前方静止的质量为 m2 的另一小球发生弹性碰撞。 m2 获得动量后又
11、与前方第三个质量为m3 的小球发生弹性碰撞。两次碰撞均发生在同一条直线上。求m2为多大时，第三个小球可以获得最大的速度。,解：第一次碰撞后 m1 和 m2 分别获得 v1 和 v2 的速度，第二次碰撞后 m3获得 v3 的速度。,解：未爆炸前炮弹,爆炸中系统动量守恒,落在正下方的1：,第二块作斜抛运动,落地时，y2=0 所以t2=4s t21s(舍去） x2=5000m,4-10 流体的稳定流动,流体：能够流动的物质 液体、气体。 流体静力学 流体动力学,2.稳定流动：流体流经空间各点的流速不随时间变化。,理想流体的稳定流动1.实际流体：可压缩，有粘滞性。理想流体：不可压缩，无粘滞性。,连续性
12、方程（理想流体在同一流管中稳定流动 时，流速与截面的关系）,2. 连续性方程的适用范围：理想流体、同一流管、稳定流动。,则：,4-11 伯努利方程,内容：理想流体在同一流管中稳定流动时，流体压强、流 速、高度的关系。,一、伯努利方程,伯努利方程是流体力学中的能量转换与守恒定律。,3.伯努利方程物理意义：,恒量,单位体积 压强能,动能,势能,4. 适用范围：理想流体，同一流管，稳定流动。,b.,可见,为流体静压强公式，可见流体静 力学是流体动力学的特殊情况。,a.,5. 特例：,结论：小孔流速与物体自水面自由降落到小孔处的速度相同。,二、伯努利方程的应用,1.小孔流速,2.汾丘里流量计,b. 公式：,3. 空吸作用 水流抽气机,原理：,a. 装置与原理,本章结束,The End of This Chapter,
