1、2012 届高中毕业班高考考前模拟试题（A）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参
2、考公式：锥体的体积公式： ,其中 S 是锥体的底面积，h 为锥体的高V31一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1已知函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，则 等于（ ()1fxM()ln1)gxNM）A B C D|1x|x2若复数 是纯虚数（ 是虚数单位， 是实数） ，则 等于（ ）()2biibbA B C D1223若函数 ，则 是（ ）21()sin()fxxR()fxA最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的奇函数C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的偶函数4已知向量 ， ，若 与 垂直，则 等于（ ）(1,)an(,)b2abaA B C D 45曲
3、线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）xye2(,)A B C D2942e2e2e6已知某本个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位： ） ，可得这个几何体的cm体积是（ ）A B C D340cm380c320cm340cm7设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，若点 在双曲线上，且 ，则1F2219yxP12PF等于（ ）12PA B C D02105258一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 、 、 ，则 等于（ ）1h212:hA
4、B C D3:33:23:2二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 30 分，其中 913 题为必做题，14、15 为选做题，考生只选做一题）9在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ，若 在 内取值的概率为 ，2(1,)0N(,1)0.4则 在 内取值的概率为 。(0,2)10设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 。xy13xy4zxy11已知函数 的图象恒过定点 ，则点 的坐标为 。log()a(0)a且 A12某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。 （用数字作答）20正 视 图 侧 视 图
5、10俯 视 图13设 是定义在 上的奇函数，且当 时， 。若对任意的 ，不等()fxR0x2()fx,2xt式 恒成立，则实数 的取值范围是 。2()tft14如右图，点 是圆 上的点，且 ，则圆 的面积,ABCO04,5ABCO等于 15以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相x同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ，它与曲线 （ 为()4R12cosinxy参数）相交于两点 A 和 B，则|AB|=_.三、解答题（本题 6 小题，共 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16 （12 分）设 是公比大于 1 的等比数列， 为数列 的前 项和。已知 37
6、s，且nanSna13， ， 构成等差数列。234求数列 的通项；n令 ，求数列 的前 项和 。31l,ba nbnT17 （14 分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动） 。该校合唱团共有 100 名学生，他们参加活动的次数统计如图所示。求合唱团学生参加活动的人均次数；从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；从合唱团中任选两名学生，用 表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望 。E18 （14 分）如图所示，在四面体 中，已知PABC, , , ， 是线6PABC108234F段 上一点， ，点 在线段 上，且534
7、7FE。EFPB证明 ；平 面 CEF求二面角 的平面角的正弦值。19 （12 分）如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行，302乙船按固定的方向匀速直线航行。当甲船位于 处时，乙船位于甲船1A的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里，当甲船航行105o1B分钟到达 处时，乙船航行到甲船的北偏西 方向的 处，22A20o2B此时两船相距 海里，问乙船每小时航行多少海里？020 （14 分）如图，矩形 的两条对角线相交于点 ， 边所在直线的方程为ABCD(2,0)MAB，点 在 边所在直线上。360xy(1,)T求 边所在直线的方程；求矩形 外接圆的方程；若动圆 过点 ，且与矩形 的外接圆
8、外切，P(2,)NABCD求动圆 的圆心的轨迹方程。21 （14 分）设函数 ，其中 。2()ln(1)fxbx0b当 时，判断函数 在定义域上的单调性；12bf求函数 的极值点；()fx证明对任意的正整数 ，不等式 成立。n2311l()nnFEBCAPCBA 2B乙11A2甲 o0o5北NMTDACBOyx504321参加人数活动次数3参考答案一、选择题 18：CADCDBBB二、填空题 9：0.8 10：11 11： 12： 240 13： 14： 15：(2,1)2,)84三、解答题16解：由已知得： ，解得 （2 分）12327()(4)aa2设数列 的公比为 ，由 得 ，naq21
9、3,q又 可知 ，即37S27250q解得 （4 分）12,q由题意得 ， （5 分）1a故数列 的通项公式为 （6 分）na2n由于 31l,b由得 （8 分）2n3lnlb又 是等差数列（10 分）1ln12()(l23ln)2nnTb（12 分）3()l17解：由图可知，参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别 10、50 和 40.该合唱团学生参加活动的人均次数为（2 分）05402.1从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为（4 分）221054019CP从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加 1 次活动，另一人参加 2 次活动”为事件 A， “这两人中
10、一人参加 2 次活动，另一人参加 3 次”为事件 B， “这两人中一人参加 1 次活动，另一人参加 3 次活动”为事件 C。易知 （6 分）110504225()()9PPB（8 分）10428(2)(9C（10 分）0P的分布列的数学期望： （14 分）415082993E18证明： ，0,6,2PCBP 21036PCBPB是 以 为 直 角 的 直 角 三 角 形（2 分）PBC1S=10632而 ，故 （5547PBCFSF分）又已知 ，EPBCEF。（7 分）平 面解： 2 236410AP0 1 2P FEBCAP（12 分）PAC是 以 为 直 角 的 直 角 三 角 形，同理A
11、B， （9 分）BPC平 面，E平 面 E由知 ， （10 分）CAB平 面,F是二面角 的平面角（11 分）EBEF（13 分）10534sincos2ABP。 （14 分）34BCEF二 面 角 的 平 面 角 的 正 弦 值 是19解：如图，连结 ，由已知得 ，12A210120126A（3 分）12又 806ooB是等边三角形（4 分）12A（5 分）2由已知 （7 分）110,06ooBA在 中，由余弦定理得12A，即 （10 分）2112cos4520BBA 120B因此乙船的航行速度的大小为 （11063(/)海 里 小 时分）答：乙船每小时航行 海里。（12 分）3220解：因
12、为 边所在直线的方程为 ，且 与 垂直AB360xyADB所以直线 的斜率为 。（1 分）D又因为点 在直线 上，(1,)TA所以 边所在直线的方程为 ，即 。（4 分）3()yx20y由 ，解得点 的坐标为 （5 分）3602xyA(0,2)因为矩形两条对角线的交点为 ,M所以 为矩形 外接圆的圆心MBCD又 （7 分）22(0)()A从而矩形 外接圆的方程为 。（8 分）2()xy因为动圆 过点 ，所以 是该圆的半径PNP又因为动圆 与圆 外切M所以 2即 （10 分）P故点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线的左支（11 分）N、 2因为实半轴长 ，半焦距2ac所以虚半轴长 （13
13、分）b从而动圆的圆心的轨迹方程为 。（14 分）21 (0)xyx注：没注明条件 扣 1 分。0x21解：由题意知 的定义域为 （1 分） ，()f(,)2()21bxbfx2B乙11A2甲 o0北 NMTDACBOyx设 ，其图象的对称轴为 ，2()gxxb1(,)2xmin1()当 时，2bmin02x即 在 上恒成立()0gx(1,)当 时，(fx当 时函数 在定义域 上单调递增。（3 分）2b)1,)由得当 时函数 无极值点（4 分）1(fx 时， 有两个相同的解2b2)()0f12x时， ， 时，1,xfx1(,)()0f函数 在 上无极值点（5 分）(),)当 时， 有两个不同解，
14、 ，12b0fx12bx12bx时 ， ，即0122(,)(,)时， 、 随 的变化情况如下表：b()fxfx2,22(,)x()fx0 极小值 由此表可知 时， 有唯一极小值点 ；（7 分）0b()fx212bx当 时， ，12112,(,)此时， 、 随 的变化情况如下表：()fxfxx1(,)x112(,)x2x2(,)f00(x 极大值 极小值 由此表可知： 时， 有一个极大值点 和一个极小值102b()fx12bx点 ；（9 分）2x综上所述： 时， 有唯一极小值点 ； 时，0b()fx12bx102有一个极大值点 和一个极小值点 ； 时，()fx12b无极值点。（10 分）f当 时，函数 ，1b2()ln(1)fxx令函数 ，33()h则22()1xx当 时，0,)()0h函数 在 上单调递增，又(hx()0h时，恒有,)()x即 恒成立（12 分）32ln(1x故当 时，有 （13 分）0,)23l()xx对任意正整数 ，取 0,n则有 ，故结论成立。（14 分）2311ln()n
