1、DBFQ SYY DFDF DYPT时尚购 WWW.WYFDX.COM 福清房.产网 WWW.FQ-FC.COM 兴农农资 WWW.XNWAY.COM 2005 年全国各地高考试题分类汇数列部分整理选择题1. （广东卷）已知数列 满足 ， ， 若 ，则(B)nx12x12nnx3,4lim2nx（） （） （） （）322. （福建卷）3已知等差数列 中， 的值是 （ A ）na12497,6a则A15 B30 C31 D643. （湖南卷）已知数列 满足 ，则 = （B ）n )(3,0*11 Nnan 20A0 B C D3 34. （湖南卷）已知数列 log2(an1)（nN *）为等差
2、数列，且 a13， a25，则= （C）nna12312lim(A2 B C1 D 215. （湖南卷）设 f0(x) sinx， f1(x) f0( x)， f2(x) f1( x)， fn1 (x) fn( x)， nN，则 f2005(x)（C）A sinx B sinx Ccos x D cosx6. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列 an中，首项 a1=3 ，前三项和为 21，则 a3+ a4+ a5=(C )( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )1897. (全国卷 II) 如果数列 是等差数列，则(B )na(A) (B) (C) (D) 1845a1
3、8451845a18458. (全国卷 II) 11 如果 为各项都大于零的等差数列，公差 ，则(B)12, 0d(A) (B) (C) (D) 18451845a1845a1845a9. （山东卷） 是首项 =1，公差为 =3 的等差数列，如果 =2005，则序号 等于(C )ndnn（A）667 （B）668 （C）669 （D）67010. （上海）16用 n 个不同的实数 a1,a2,a n可得 n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3一个 n!行的数阵.对第 i 行 ai1,ai2,a in,记 bi=- ai1+2ai2-3 ai3+(-1) nnain, 1 3 2i=1
4、,2,3, ,n!.用 1,2,3 可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3是 12,所以,b 1+b2+b 6=-12+2 12-3 12=-24.那么,在用 1,2,3,4,5 形成 2 3 1的数阵中, b 1+b2+b 120等于 3 1 23 2 1答( C )(A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720DBFQ SYY DFDF DYPT时尚购 WWW.WYFDX.COM 福清房.产网 WWW.FQ-FC.COM 兴农农资 WWW.XNWAY.COM 11. （浙江卷） ( C )limn213n(A) 2 (B) 4 (C) (D)02112
5、. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为 2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是( C)(A) 4；(B) 5；(C) 6；(D) 7。填空题1. （广东卷）设平面内有条直线 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点若用 表示这条直(3)n ()fn线交点的个数，则 _5_；当时， ()fn_ _4f )1(2n2. （北京卷）已知 n 次多项式 ,101()nn nPxaxax如果在一种算法中，计算 （k2，3，4， n）的
6、值需要 k1 次乘法，计算 的值共需要 9 次运算（6 次0 30()Px乘法，3 次加法），那么计算 的值共需要 n(n3) 次运算()nx2下面给出一种减少运算次数的算法： （k0， 1，2， n1）利用该算法，0011),)()kkPaxPa计算 的值共需要 6 次运算，计算 的30()Px(nx值共需要 2 n 次运算3. （湖北卷）设等比数列 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，S n+2成等差数列，则 q 的值为 -2 .na4. (全国卷 II) 在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 _216 _83275. （山东卷） 23l
7、im_(1)nnC6. （上海）12、用 个不同的实数 可得到 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 行的数阵。对na,21 ! !n第 行 ，记 ， 。例如：用 1，2，3 可得数阵如图，由iinia,21 iniiiiab)(31 !,32,1n于此数阵中每一列各数之和都是 12，所以， ，那么，在用4621 bb1，2，3，4，5 形成的数阵中， =_-1080_。021DBFQ SYY DFDF DYPT时尚购 WWW.WYFDX.COM 福清房.产网 WWW.FQ-FC.COM 兴农农资 WWW.XNWAY.COM 7、计算： =_3 _。123limnn8. （天津卷）设 ,则N1
8、23266nnnCC (7)n9. （天津卷）在数列 an中, a1=1, a2=2,且 ， )2Nan则 =_2600_ _.10S10. (重庆卷) = -3 .321limn解答题1.（北京卷）设数列 an的首项 a1=a ，且 , 4124nna记 ， nl， 2，3，21nb（I）求 a2， a3；（II）判断数列 bn是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求 123lim()nb解：（I） a2 a1+ =a+ ， a3= a2= a+ ；418（II） a4=a3+ = a+ , 所以 a5= a4= a+ ,8316所以 b1=a1 =a , b2=a3 = (a ), b
9、3=a5 = (a ),41猜想： bn是公比为 的等比数列证明如下：因为 bn+1 a2n+1 = a2n = (a2n1 )= bn, (n N*)414所以 bn是首项为 a , 公比为 的等比数列（III） .1112()2lim()lim2()4nnn bbaDBFQ SYY DFDF DYPT时尚购 WWW.WYFDX.COM 福清房.产网 WWW.FQ-FC.COM 兴农农资 WWW.XNWAY.COM 2.（北京卷）数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， ， n=1，2，3，求1nS（I） a2， a3， a4的值及数列 an的通项公式；（II） 的值.62解：（I）
10、由 a1=1， ，n=1，2，3，得1nnS， ， ，23S3124()9a31236()7aSa由 （n2），得 （n2），11()nnn1nn又 a2= ，所以 an= (n2),243 数列 an的通项公式为 ；21()nn（II）由（I）可知 是首项为 ，公比为 项数为 n 的等比数列，242,na 324() =2462na 221()()137n3（福建卷）已知 是公比为 q 的等比数列，且 成等差数列.n 231,a（）求 q 的值；（）设 是以 2 为首项， q 为公差的等差数列，其前 n 项和为 Sn，当 n2 时，比较 Sn与 bn的大小，并说明理nb由.解：（）由题设 ,
11、2,1113 qaa即 .012,01q.21或q（）若 .231)(, nnSn则当 故.0,21bnnn时 .nbS若 .49)2(,12nSqn 则当 ,10,21bnn时DBFQ SYY DFDF DYPT时尚购 WWW.WYFDX.COM 福清房.产网 WWW.FQ-FC.COM 兴农农资 WWW.XNWAY.COM 故对于 .,1;,10;,92, nnn bSbSbSnNn 时当时当时当4. （福建卷）已知数列 an满足 a1=a, an+1=1+ 我们知道当 a 取不同的值时，得到不同的数列，如当 a=1 时，得n到无穷数列： .0,12:,2;,352,1 得 到 有 穷 数
12、 列时当（）求当 a 为何值时 a4=0；（）设数列b n满足 b1=1, bn+1= ，求证 a 取数列b n中的任一个数，都可以得到一个有穷数列)(1Nnan；（）若 ，求 a 的取值范围.)4(23an（I）解法一： ,1,1nn.0.11.1,.1,:)( .032.,1.2,1.,0,: .32.231,12212321 423444 312nnnn nnababbaaI aaaaa a中 的 任 一 个 数 不 妨 设取 数 列解 法 一 时故 当解 法 二 时故 当故 a 取数列b n中的任一个数，都可以得到一个有穷数列 an5. （湖北卷）设数列 的前 n 项和为 Sn=2n2
13、， 为等比数列，且b .)(,121bab（）求数列 和 的通项公式；nab（）设 ，求数列 的前 n 项和 Tn.nccDBFQ SYY DFDF DYPT时尚购 WWW.WYFDX.COM 福清房.产网 WWW.FQ-FC.COM 兴农农资 WWW.XNWAY.COM 解：（1）：当 ;2,11San时 ,24)(,22nn时当故 an的通项公式为 的等差数列.,41dan 公 差是即设 bn的通项公式为 .4,1qdbq则故 242111 nnn bq的 通 项 公 式 为即（II） ,4)(11nnbac4)12(4)32(45341 ,51321nnnTc 两式相减得 .54)6(9
14、1 5)6()()3132nn nnnT6. （湖北卷）已知不等式 为大于 2 的整数， 表示不超过 的最大nn其 中,log232 log2nn2log整数. 设数列 的各项为正，且满足na ,43,),0(11 abann（）证明 ,543,log22nbn（）猜测数列 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；na（）试确定一个正整数 N，使得当 时，对任意 b0，都有n.51na解：（）证法 1：当 ,1,0,2 11annnn 时即 ,1nan于是有 .1,31,22312 naan所有不等式两边相加可得 .1nDBFQ SYY DFDF DYPT时尚购 WWW.WYFDX.CO
15、M 福清房.产网 WWW.FQ-FC.COM 兴农农资 WWW.XNWAY.COM 由已知不等式知，当 n3 时有， .log21nan .log2.llog21, 21 nbabba nn 证法 2：设 ，首先利用数学归纳法证不等式nf3)( .,54,)(1nbfan（i）当 n=3 时， 由 .)3(1231312 bfaaa知不等式成立.（ii）假设当 n=k（k3）时，不等式成立，即 ,)(bkfk则 1)()1()()1(1 fkakka ,)()1()()( bkfbkfbkfk 即当 n=k+1 时，不等式也成立.由（i）、（ii）知， .,543,)(1nbfan又由已知不等
16、式得 .,543,log2log22nbn（）有极限，且 .0limna（） ,51log2,llog222 nb令则有 ,04,10log1nn故取 N=1024，可使当 nN 时，都有 .5a7. （湖南卷）已知数列 为等差数列，且)(log*2Nn.9,31aDBFQ SYY DFDF DYPT时尚购 WWW.WYFDX.COM 福清房.产网 WWW.FQ-FC.COM 兴农农资 WWW.XNWAY.COM （）求数列 的通项公式；na（）证明 .111232 na（I）解：设等差数列 的公差为 d.)(logna由 即 d=1.,8logl9,32221 a得所以 即,)1()(log
17、2n.1n（II）证明因为 ，nnna211所以 nna 2113212312 .2nn8. （湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn表示某鱼群在第 n 年年初的总量，nN *，且 x10.不考虑其它因素，设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn成正比，死亡量与 xn2成正比，这些比例系数依次为正常数 a，b，c.（）求 xn+1与 xn的关系式；（）猜测：当且仅当 x1， a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（）设 a2，b1，为保证对任意 x1（0,2），都有 xn
18、0， nN *，则捕捞强度 b 的最大允许值是多少？证明你的结论.解（I）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群的繁殖量为 axn，被捕捞量为 bxn，死亡量为.(*),1( .(,1 22 Nncxbaxcn即 因 此（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则 xn恒等于 x1， nN*，从而由（*）式得.0,0)( 1cbacbann 即所 以恒 等 于因为 x10，所以 ab.猜测：当且仅当 ab，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.cx1（）若 b 的值使得 xn0，nN*由 xn+1=xn(3b xn), nN*, 知00.又因为 xk+1=xk(2 xk)=( xk1) 2+110，
19、nN*，则捕捞强度 b 的最大允许值是 1.9. （江苏卷）设数列 an的前项和为 ,已知 a1=1, a2=6, a3=11,且 , S 1(58)(52)nnSSAB其中 A,B 为常数 .,32,1n()求 A 与 B 的值;()证明数列 an为等差数列;()证明不等式 .51mnmn对 任 何 正 整 数 、 都 成 立解：()由 ， ， ，得 ， ， 1263aS2318S把 分别代入 ，得,2n1(8)(52)nnSAB2,4解得， ， 0AB()由()知， ，即115()08nn， 15828naS又 1()20()nnS-得， ，2 12naa即 213(5)nn又 2(5)7
20、-得， ，31)0nn ，3210naa ，又 ，325na 215a因此，数列 是首项为 1，公差为 5 的等差数列()由()知， 考虑54,()nN5()20mnam21 1nnmnnaa25()9mn 1()2950n即 ， 2()mn5nn因此， 5ma10. （辽宁卷）已 知 函 数 设 数 列 满 足 ， 数 列 满 足).1(3)(xf na)(,1nnafnb|,3| *21NnbbSbnn （）用数学归纳法证明 ；1)3(nnDBFQ SYY DFDF DYPT时尚购 WWW.WYFDX.COM 福清房.产网 WWW.FQ-FC.COM 兴农农资 WWW.XNWAY.COM
21、（）证明 .32nS解：（）证明：当 因为 a1=1，.12)(,0xfx时所以 2 分*).(1Nna下面用数学归纳法证明不等式 .2)3(1nnb（1）当 n=1 时，b 1= ，不等式成立，（2）假设当 n=k 时，不等式成立，即 .2)13(kkb那么 6 分kkaab1|)3(|1.2)(23kk所以，当 n=k+1 时，不等也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任意 nN*都成立。 8 分（）证明：由（）知， .2)13(nnb所以 1221 )3()()( nnnbS 10 分 213)()3(n .321)3(故对任意 （12 分）.,nSN11. (全国卷) 设正项等比数列 的首项 ，前 n 项和为 ，且 。na21nS0)12(120301 S（）求 的通项；na（）求 的前 n 项和 。ST解：（）由 得 0)12(120301 S,)(21020310SS即 ,(2210 aaa
