1、1非线性规划思想模型建立【摘要】 本题采用非线性规划的思想建立模型,将零件的标定值和容差作为一个整体的解看待,通过求解有约束的非线性规划的最小值问题,找到一组最优解。在模型中还给出了一个合理的质量损失的函数表示，使求解时避免了复杂的概率计算。在具体实现算法时，我们采用了将离散变量和连续变量进行分离处理的方法，综合考虑了算法对最优解的逼近程度和时间开销，得到比较满意的解。在解题时我们应用了 Matlab 5.3 软件。【关键字】非线性规划 期望 方差 一、问题重述一件产品由若干零件组装而成。标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数，零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批
2、零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的三倍。进行零件设计，就是要确定其标定值和容差，这时要考虑两方面因素：1、 当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大。2、 零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计的越小，成本越高。2试通过如下的具体问题给出一般的零件设计方法。粒子分离器某参数（y）由 7 个零件的参数（记作x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）决定，经验公式为 xxy 7616.24/356.02485.012351 .1
3、.242.7 y 的目标值（记作 y0）为 1.50，当 y 偏离 y00.1 时，产品为次品，质量损失为 1，000 元，当 y 偏离 y00.3 时，产品为废品，损失为 9，000 元。零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B 、C 三个等级，用与标定值的相对值表示，A 等为1%,B 等为5%,C 等为10%。7 个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号“/”表示无此等级零件）标定容许范围 C 等 B 等 A 等X1 0.075,0.125 / 25 /X2 0.225,0.375 20 50 /X3 0.075,0.125 20 50 200X4
4、 0.075,0.125 50 100 500X5 1.125,1.875 50 / /X6 12,20 10 25 100X7 0.5625,0.935 / 25 1003现成批生产，每批生产 1000 个。在原设计中，7 个零件参数的标定值为：x1=0.1、x2=0.3、x3=0.1、x4=0.1、x5=1.5、 x6=16、x7=0.75;容差均选最便宜的等级。请你综合考虑 y 偏离 y0 造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差） ，并与原设计比较，总费用降低了多少。二、问题的假设1、假设组成产品的各个零件互不影响。即若将各零件的参数视为随机变量，它们相互独立。2、生产
5、过程中除质量损失外不再有其它形式的损失。3、题目所给经验公式在给定的参数变化范围内有效。4、在大批量生产当中,假设整批零件都处于同一等级。本题中可视 1000 个零件都是 A 等、B 等、或 C 等。三、参数的说明y 表示粒子分离器的某参数y0 表示粒子分离器的该参数的目标值, 为 1.50X0 表示七个零件参数的标定值向量X0=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)表示第 i 种零件ri 的容差 i=1 274表示第 i 种零件的均方差 i=1 27i表示第 i 种零件的相对容差 i=1 27mi表示参数 y 的期望值Ey表示参数 y 的均方差f(X) y 关于 X 的经验公式F(y)
6、 表征质量损失的函数相对容差为 的第 i 种零件的成本 i=1 27imciC(m) 产品的总成本函数P(X,m) 总费用函数E(F(y) F(y)的期望四、模型的建立1、先来讨论质量损失的计算。由题目中所给的“如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大。 ”这说明质量损失的计算应具有两个特点:只要 y 不等于 y0 那麽就有质量损失;损失值与 |y-y0|成正比。因此,给出如下函数 F(y)=k20y其中,k 是常数。将题目中所给的两组损失数值代入上式,求得 k=100000。因此5(1)2501yyF(1)式符合上述的两个特点，称为表征质量损失的函数。2、本题要
7、求的是使总费用最少的设计方案。总费用由两部分组成：零件成本和 y 偏离 y0 造成的质量损失。零件成本只取决于零件的相对容差 ，设第 i 种零件mi的成本为 ，则七种零件总成本为mci 71iicCy 是由零件参数 X0=(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)决定的，即经验公式 y=f（X0） ，由假设 xi 可视为相互独立的随机变量，那麽 y 也是随机变量。大量生产时，平均每件产品的质量损失费用应该用表征质量损失的函数 F(y)的期望来度量。而该期望又由各种零件参数的标定值 X0 和相对容差决定。设总费用函数为 P,那麽mi(2)mCyFEPX,03、下面讨论(2)的具体表达式。由 2
8、501yyF2525 )0(01yyyy 其中 是 y 的期望值, 是的 y 方差。y现在来推导 与 。Eyy将 y=f(X0)在 X0=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)处进行 Taylar 展6开,并略去二阶以上各项。则y= +Xf07100|i iiXixf那麽 = Eyf0=D y27100|i iiXixf= ( ) D( )71i 0|Xif2xii0= ( ) D( )71i 0|Xixf2i= (3)71idi2i其中 = 是 的均方差i0|Xixfii从题目中以知,零件的容差 , 相对容差 ,将这3rii iixrm些代入上式(3),则目标函数的最终表达式为= +
9、+ (*)mPX,02051yXf712059iiixd71iiC五 模型的求解由于所求解中,包含连续变量标定值 X0,也包括离散变量相对容差 mi,因此给求解带来困难，我们采用分离方法求解。从容差表中可知,七种零件的7容差共有 1233132=108 种组合,可以采用穷举法,求出每种容差组合 m0=(m1,m2,m7)下的最优解 X0 和P1,此时求 P1 的表达式为 :Min = +01xp205yXf712059iiimxds.t. i=1,2,3,4,5,6,7iiiba0、 是标定值的上下限 ii而此种组合下的总成本为P=P1+C(m0)再对 108 个总费用进行比较，找出其中最小的
10、，其对应的X0 和 m0 组合，既是所要找的解。六、结果与分析原设计的单位零件费用为: 6507.2 元求得最优的零件标定值和相对容差为:x1 x2 x3 x4 x5 x6 x70.0750 0.3643 0.1250 0.1089 1.2761 15.9834 0.6328m1 m2 m3 m4 m5 m6 m75% 5% 5% 10% 10% 5% 5%对应的单个零件的最小费用为:P=751.0918 元参数分析:8为了了解各参数对最优设计方案的影响，有必要将各参数对优化设计方案的影响进行分析。在求得的最优解的基础上，有规律的变化其中某一变量值，而保持其它参数值不变，观察其对目标函数值的影
11、响。下面为目标函数在最优解附近对各参数的敏感程度曲线。 8 6 4 2 0 1 0 1 5 8 6 4 2 0 1 00 从上图可以看到，9x1，x2，x3 的变化对目标函数值的影响较大；而x4，x5，x6，x7 的变化对目标函数值的影响较小。而且各参数标定值在减小和增大时对目标函数的影响亦不同。再考虑各参数的容差的变化对目标函数的影响。在最优解容差的基础上，改变一个参数的相对容差，可求得对应的一组参数标定值和单个零件的最小费用。列表如下：相对容差 m2=10% m3=1% m4=1% m6=1% m7=1%单个产品费用（元）845 858.8753 1186.8 808.8 808.8相对容
12、差 m3=10% m4=5% m6=10%单个产品费用（元）853.5556 792.3693 780.4050由表格可以看到，m4 的变化对目标函数值的影响最大，其次为 m3、m2，而 m6、m7 影响最小。七、 模型的评价优点：1、模型有概率理论作基础，得到的结果将总费用从原来的 6507.2(元/单个产品)降低到 751.0918(元/ 单个产品), 降幅达 88.46%,这个结果是令人十分满意的。同时，报告中所采用的模型对求解这一类问题有一定的通用性。102、该模型对于质量损失函数的计算,采用了 y 对 y0 的偏离会连续的影响最终产品的质量这一思路。也可以采用如下的分段函数形式。(*
13、)3.0|1.01.|9yyF若采用上述形式,得到的结果会小些,但并不完全符合质量损失函数的两个特点,并且采用(*)式建模需要进行复杂的概率计算。所以我们采用(*)式作为表征质量损失的函数,无论目标函数的形式还是算法都大为简化。3、 在用 Matlab 编程求解时，先使用了符号变量的形式对公式进行运算，再将数值代入求解非线性最优化问题的解。这样有利于提高运算速度和计算精度。缺点：1、 在对时间和计算复杂性综合考虑的基础上，我们对 y=f(X)进行 Taylor 展开时，忽略了二阶和二阶以上各项。这样会引入一定的误差，但是对参数标定值和容差的选取影响并不大，不会影响所求的最优解。2、 从理论上讲，非线性最优化问题是无法保证得到全局最优解的，因此我们只能得到一个局部的最优解。
