1、叠合正多边形叠合正多边形的有趣性质如图，把两个全等的正多边形 A1A2 A3An 与正多边形 B1B2 B3Bn 叠合，使它们重合的部分是一个凸 2n 边形 P1P2 P3P2n，则有下列有趣性质：（1）P1P2nP2P3P2n-3P2n-1 P1P2P3P4P2n-1P2n；（2）P1P2n 2P2P3 2P2n-3P2n-1 2 P1P2 2P3P4 2P2n-1P2n 2.证明：（1）根据已知条件，易知A1P1P2n，A2P2P3，AnP2n-3P2n-1 彼此相似.若设 A1P1A1P2nkP1P2n （显然 k1） ，则应有A2P2A2P3kP2P3，AnP2n-3AnP2n-1k
2、P2n-3P2n-1，以上各式相加，得A1P1A1P2nA2P2 A2P2AnP2n-3AnP2n-1k(P1P2nP2P3 P2n-3P2n-1)又(A1P1A1P2nA2P2A2P2AnP2n-3AnP2n-1)(P1P2 P3P4 P2n-1P2n) p n（这里 pn 为正多边形 A1A2A3An 的周长）k(P1P2nP2P3 P2n-3P2n-1)(P1P2P3P4P2n-1P2n)p n同理可证k(P1P2 P3P4 P2n-1P2n) (P1P2n P2P3 P2n-3P2n-1)p n以上两式相减并整理，得(k1)(P1P2nP2P3P2n-3P2n-1)(P1P2P3P4
3、P2n-1P2n)0P1P2nP2P3P2n-3P2n-1 P1P2P3P4P2n-1P2n（2）由A1P1P2n，A2P2P3，AnP2n-3P2n-1 彼此相似，若设A1P1P2n mP1P2n 2，则应有A2P2P3 mP2P3 2，AnP2n-3P2n-1mP2n-3P2n-1 2，以上各式相加，得A1P1P2n A2P2P3 AnP2n-3P2n-1(P1P2n 2P2P3 2P2n-3P2n-12)P1P2n 2P2P3 2P2n-3P2n-1 2 (A1P1P2nA2P2P3m1AnP2n-3P2n-1)正 n 边形 A1A2An2n 边形 P 1P2P2n同理可证P1P22P3P4 2P2n-1P2n 2正 n 边形 B1B2Bn2n 边形 P 1P2P2n又正 n 边形 A1A2An2n 边形 P 1P2P2n正 n 边形 B1B2Bn2n 边形 P 1P2P2n，P1P2n 2P2P3 2P2n-3P2n-1 2P1P2 2P3P4 2P2n-1P2n 2常用符号： -?
