1、2003 年研究生入学考试题欧氏空间20030107 在欧氏空间 中，已知 ，则 ，4R(2,13),(,21)|与 的夹角为 （内积按通常的定义） 。200301012 （15 分）设 是 n 维欧氏空间 V 中的一个单位向量，定义 V 上的变换 如下： ，其中 表示 与 的内积，证明：,()2(,)V(,)（1） 是 V 上的正交变换；（2） V 中存在一组标准正交基 使得12,n 1(),()1,2.iin200301013 （18 分）已知矩阵 ，6034A（1）求 A 的逆；（2）求 A 的初等因子；（3）求 A 的若当标准形。20030117（24 分）设 A 是可逆的 n 阶方阵
2、，求证：存在正交阵 T 和对角线元素全是正实数的下三角阵 U，使得 A=UT；并且这个表达式是唯一的。20030125（12 分）证明：奇数维欧式空间中的旋转变换（第一类正交变换）一定有特征值 1。200300102 设 是欧氏空间 的一个变换.试证：如果 保持内积不变，即对于nRA中任意两个向量 都有 nR,(,)(,A那么，它一定是线性的，而且是正交的。 200300207 设 与 是 维欧氏空间 中两个向量组，满足1,m 1,m nV这里 表示内积，试证存在正交变换,ijij ，使A,.ii200300310 设 是 维欧氏空间 的对称变换（即 是 的线性变换，且对任意fnVf都有 ）
3、，证明： 的像子空间 是 的核子,V(),(,)fIf空间 的正交补子空间。Kerf2003013-1-4 设 为欧氏空间,则有柯西- 施瓦茨不等式: .nR2003013-1-5 在欧氏空间 中,向量 ,则 与 的长度分别为 ,它n651,02们的夹角为 .2003013-1-6 已知 是欧氏空间 的2132121 ,0,0, 3R一组标准正交基,则 向量在这组基下的坐标为 .,2003013-6 对给定的 n 阶实满秩矩阵 A,设计一种方法,实现矩阵的正交三角分解 QR分解,即找出一个正交矩阵 Q 与一个三角矩阵 R,使得 A=QR 并对矩阵 A= ,求其3120QR 分解 .200301
4、6-3正交矩阵的实特征值为 1，-1.2003016-5 如果 是 n 维欧氏空间 V 的线性无关的向量组，那么，存在一12,个向量 使得().ii200300505 已知实对称矩阵 ，求正交矩阵 P 使得 成为对角矩阵。42ATA200300506 设 V 是 n 维欧氏空间，内积记为 ，又设 T 是 V 的一个正交变换，记(,)试证明：（1） 都是 V 的子空间；12|,|VTTV12,（2） 。1200300508 设 是 n 维欧氏空间 V 的子空间，且 的维数小于 的维数。证明：2,V12中必有一非零向量正交于 中的一切向量。2V120030060109 设 ，则向量 y 的长度01
5、,2,231AxyAx_.y20030060202 设 是 5 维的 Euclid 空间 的一组标准正交基，12,e 5R，其中 ，求 的一组123(,)VL321243125,eee1V标准正交基。200300705 设 是具有通常内积的欧氏空间，W 是 的子空间.4R4R（1） 如 W 是下列方程组1234039xx的解空间，求 W？W 在 的正交补4R?（2）求 W 和 的标准正交基200300707 设 V 是实数域 R 上的 n 维线性空间， 是 V 的子空间且12,W120（1） 如 分别是 与 上的内积，证明：存在 V 上的内积 满足(,)iWi12 (,)(,),iWi（2） 满足（1）中的内积 是否唯一，为什么？(,)20030090301 证明题 在欧氏空间 V 中两个向量 的距离定义为 的长度,，记为 ，证明：(,)d（1） 当 时，(,)0（2） (,)（3） 对任意向量 ,()(,)(,rVdrd20030090402 设 V 是 n 维欧氏空间， n 3, 给定非零向量 ，令V:2证明：（1） 是正交变换（2）如果 是正交基，则存在不全为零实数 使得123,n 12,nk是 V 上的恒等变换。12nkk
