1、1第 12 章 轴测投影图工程图样通常是采用多面正投影图，它们能够准确地表达物体的形状及大小，作图简便、尺寸清晰。多面正投影图的缺点是缺乏立体感、不直观，须几个投影图对照起来才能想象出物体的结构和形状，必须具有一定的投影知识才能看懂。轴测投影图属于单面投影图，具有很强的立体感，任何人都能看得懂，也能想象出所表达的物体形状。其缺点是不精确、度量性差。轴测投影图常常用于科技书刊、资料中作辅助性说明图样。用于表达复杂的空间机构、管路及机器外形等。12.1 轴测投影图的基本知识12.1.1 轴测投影图的形成将空间几何体连同确定其空间位置的直角坐标系，用平行投影的方法，投影到单一投影面 P 上，所得到的
2、能反映物体三个方向形状的投影图称轴测投影图，如图 121 所示。由于是平行投影，因此必须具备投影的三要素。在这里，S 1 是投影方向，空间立方体及确定该立方体的空间直角坐标系 OXYZ 是投影物体，平面 P 是轴测投影面。空间直角坐标系 OXYZ 的三根坐标轴，OX、OY、OZ 在轴测投影面 P 上的对应投影O1X1、O 1Y1、O 1Z1 称为轴测轴。12.1.2 轴测投影图的性质及两个重要定义1 轴测投影的特性轴测投影图是由平行投影生成的，因此凡是平行投影所具有的性质，轴测投影都满足。这些性质包括：（1）同素性直线轴测投影，一般情况下仍然是直线；平面多边形的轴测投影是边数相同的类似形。（2
3、）平行性空间两平行线段的轴测投影，仍然平行，且两线段的轴测投影长度之比等于两线段实际长度之比。（3）从属性和定比性直线上点的轴测投影，仍然在直线的轴测投影上，且点分割线段之比等于其轴测投影图 121 轴测投影图的形成2两线段之比。（4）实形性所有与轴测投影面平行的直线和平面（平面多边形、圆等等） ，其轴测投影反映直线的实长或平面的实形。（5）积聚性当直线或平面与轴测投影线平行时，则直线的轴测投影积聚为一点，面平面的轴测投影积聚为一直线。当然，为了使所画出的轴测投影图具有较强的立体感，在画轴测投影图时应尽是避免出现积聚性投影。上述五条性质适合于所有种类的轴测投影图。这些特性是绘制轴测投影图的依据
4、，同时也是绘制轴测投影图时必须遵循的规则。2. 轴间角和轴向伸缩系数轴间角：空间直角坐标系 O XYZ 的三根坐标轴 OX、OY 、OZ 在轴测投影面 P 上的投影 O1X1、O 1Y1、O 1Z1 称为轴测轴。每两根轴测轴之间的夹角X 1O1Y1、Y 1O1Z1、Z 1O1X1 则称为轴间角。轴向伸缩系数：某一坐标轴在轴测投影面上的投影长与该轴的实际长度之比称为该轴的轴向伸缩系数。若 OX 轴的轴向伸缩系数用 p 表示；OY 轴的轴向伸缩系数用 q 表示；OZ 轴的轴向伸缩系数用 r 表示，则有：O1X1 O1Y1 O1Z1p= q= r=OX OY OZ根据轴向伸缩系数，再考虑到平行性和定
5、比性，在画轴测投影图时只能沿着平行于轴测轴的方向测量尺寸，而不能在其它方向上直接测量尺寸。12.1.3 轴测投影图的分类根据轴测投影方向 S 和轴测投影面 P 的夹角，可将轴测投影分为正轴测投影和斜轴测投影两大类。若投影方向 S 垂直于轴测投影面 P，如图 12-1 所示，则称为正轴测投影；若投影方向 S 倾斜于轴测投影面 P，如图 12-2 所示，则称为斜轴测投影。再考虑到轴向伸缩系数，可将轴测投影图再细分类如下：对于正轴测投影图，若轴向伸缩系数 p=q=r，则称为正等轴测投影图；若 p=qr 或pq=r 或 p=rq，则称为正二测轴测投影图；若 pqr ，则称为正三测轴测投影图。遵图 12
6、2 斜轴测投影图的形成3循同样的规则，斜轴测投影图也分为斜等测(p=q=r) 、斜二测(p=qr 或 pq=r 或 p=rq) 和斜三测(pqr) 。国家标准规定：一般采用正等轴测投影图，正二轴测投影图和斜二轴测投影图。12.2 正轴测投影图物体的正轴测投影图立体感强，一般不产生失真现象，故工程上常采用它来表达物体的形状。由于正轴测投影图的投影方向 S 垂直于轴测投影面，为了避免出现积聚性投影，使所画出的轴测投影图具有较强的立体感，必须使各坐标轴倾斜于轴测投影面 P，如图 12-1 所示。12.2.1 正轴测投影图的轴向伸缩系数空间直角坐标系的三个坐标面和轴测投影面 P 构成了一个四面体，称为
7、三轴四面体，如图 12-3 所示。若将空间坐标系向 P 平面作正投影，则 O 点的投影为 O1。三根坐标轴与P 平面的交点 X1、Y 1 和 Z1 的投影必与其自身重合。即 OX 轴、OY 轴和 OZ 轴的投影分别为 O1X1、O 1Y1、O 1Z1，它们就是轴测轴。 X 1Y1Z1 的三条边是直角坐标系 O-XYZ 的三个坐标面与轴测投影面 P 的交线，即坐标面相对于平面 P 的迹线，所以又称为迹线三角形。由直角坐标系的定义和直角投影定理可知，轴测轴 O1X1、 O1Y1、O 1Z1 是迹线三角形的三条高线，即O1X1Y 1Z1， O1Y1X 1Z1， O1Z1X 1Y1。同时由图 12-3
8、 可以看出：O1X1 p = = cos=sin 1 OX1 O1Y1 q= = cos=sin 1 OY1 O1Z1r= =cos=sin 1OZ1 4角 1、 1、 1 为确定 OO1 在空间位置的方向角，由解析几何中的方向余弦定理知：cos2 1+cos2 1+cos2 1=1即 (1-sin2 1)+(1- sin2 1 )+(1-sin2 1)=1代入 p、q、r 得：(1-p2)+(1-q2)+(1-r2)=1所以有：p2+q2+r2=2 (12-1)上式表明：在正轴测投影图中，无论直角坐标系与轴测投影面的相对位置如何，三个轴向伸缩系数的平方和总等于 2。12.2.2 正等轴测投影
9、图的轴向伸缩系数和轴间角在正等轴测投影图中，三个轴向伸缩系数都相等即 p=q=r，代入式 12-1 则得：3p2=3q2=3r2=2即： p=q=r=2/3 0.82又因为 ： cos= p， cos= q， cos= r所以有： = 因此：OO 1X1OO 1Y1OO 1Z1所以：OX 1= OY1= OZ1故： O X 1Y1O Y 1Z1 OX1Z1故： X1Y1= Y1Z1= X1Z1因此迹线三角形X 1Y1Z1 是等边三角形。又由于轴测轴是迹线三角形的三高线，所以图 12-3 正轴测投影图的轴向伸缩系数和轴间角图 12-4 正等轴测投影图的轴间角和轴向伸缩系数与轴向简化系数5正等轴测
10、投影图的三个轴间角相等，即全为 120，可以很方便地使用丁字尺与 30三角板绘制正等轴测投影图的轴测投影轴及物体的正等轴测投影图，如图 12-4a 所示。为了简化作图，国家标准规定，正等轴测投影图的轴向伸缩系数可以取为 1，即：p=q=r=1称为正等轴测投影图的简化轴向伸缩系数。采用简化的轴向伸缩系数后，凡是平行于轴测轴的线段均可以直接按测量的尺寸绘制，不必再进行换算，从而大大地方便了正等轴测投影图的绘制。然而若采用简化的轴向伸缩系数绘制轴测投影图，则画出来的图形比真实的正等轴测投影图放大了 1/0.821.22 倍，但不影响立体感。如图 12-4b、c 所示。严格地说，用简化伸缩系数绘制的物
11、体轴测投影图，已不是原来意义上的轴测投影图了，所以不应叫轴测投影图，而称为轴测图。12.2.3 正二轴测投影图的轴向伸缩系数及轴间角在正二轴测投影图中，三根轴测轴的轴向伸缩系数，国家标准规定：p=r ， q=p/2代入式(12-1) 得：p2+p2/4+p2=2所以：p=r0.94， q0.47根据轴间角与轴向伸缩系数之间的关系，可以证明(过程略) 正二轴测投影图的轴间角为X 1O1Y1= Y1O1Z1=13125、Z 1O1X1=9710 ，如图 12-5a 所示。在实际作图时，习惯上 O1Z1 轴画成铅垂位置。为了简化作图，国家标准规定：正二轴测投影图的轴向伸缩系数，可以简化为：p= r
12、= 1， q=0.5，此时三个轴向尺寸都放大了1/0.94(0.5/0.47)1.06 倍，如图 12-5b 所示。即凡是平行于 X 轴或平行于 Z 轴的线段均可以按实际尺寸直接测量，而与 Y 轴平行的线段均取实际尺寸的一半作图。轴间角可以简化为：Y 1O1Z1 = 131 ，Z 1O1X1=97。而 ta71/8，ta417/8，所以可以采用如图12-5b 所示的方法，近似地画出正二轴测图的轴测轴和轴间角。12.2.4 属于或平行于坐标面圆的正轴测投影在正轴测投影中，空间直角坐标系的三个坐标面和轴测投影面 P 不平行，而处于倾斜状态。因此属于或平行于坐标面的圆在轴测投影面上的正投影为椭圆，其
13、中心为圆心的轴测投影；长轴的方向垂直于属于该坐标面的第三坐标轴的轴测投影，长度等于该圆的直径d；短轴垂直于长轴，长度等于 dcos( 为该坐标面与轴测投影面的夹角 )。7图 12-5 正二轴测投影图中轴向伸缩系数和轴间角6如图 12-6 所示，在 O-XY 坐标面上有一圆 E，在其上作一过圆心 E 并与轴测投影 P 平行的直径 CD，则 CD 在轴测投影面 P 上的投影 cd 反映实长，且 CDX 1Y1。由正投影的原理可知，空间所有线段的投影长应满足不等式 0L 1L，式中 L 为线段的实长、L 1 为线段 L 的投影长。所以在圆的所有直径中，CD 在轴测投影面上的的投影 cd 为最长，即
14、cd是椭圆的长轴。过圆心并垂直于 CD 的另一条直径 AB 是该坐标面上对平面 P 的最大斜度线，所以直径 AB 在轴测投影面 P 上的投影 ab 是圆的所有直径中在 P 平面上投影长度为最短的一条，且 abdcos 。另由直角投影定理可知，直径 AB 在轴测投影面 P 上的投影 ab垂直于 cd，所以 cd 是椭圆的短轴。因为 CD 是 O-XY 坐标面上平行于轴测投影面 P 的直线，所以它在 P 面上的投影 cd 必平行于 OXY 坐标面在轴测投影面 P 上的迹线 X1Y1。由直角坐标系的定义可得，Z 轴应垂直于 OXY 坐标面，所以 Z 轴应垂直于 X1Y1。再由直角投影定理可知， Z
15、轴在轴测投影面 P 上的投影 O1Z1 垂直于 X1Y1，由此得 cd 垂直于 O1Z1。同理可证明，属于或平行于 OYZ 和 OZX 坐标面上圆的正轴测投影所得椭圆的长轴和短轴方向和大小。对于正等轴测投影，由于 coscos cos0.82，因此 3516，所以椭圆的短轴 ab=ABcos ABcos （903516） 0.58d。即属于或平行于OXY、OYZ 和 OZX 坐标面上圆的正等轴测投影椭圆的短轴长全都等于 0.58d，如图图 12-6 属于坐标面上圆的正轴测投影图 127 圆的正轴测投影椭圆的长短轴方向和大小7127a 所示。若采用简化的轴向伸缩系数绘制圆的正等轴测投影时，则长轴
16、的长度为1.22d，短轴的长度为 1.220.58d0.71d。对于正二轴测投影：coscos 0.94，所以：1930因此 ab=ABcosABcos（901930）0.33d。即属于或平行于 OXY 和 OYZ 坐标面上圆的正二轴测投影椭圆的短轴长都等于0.33d，如图 127b 所示；而cos0.47，所以 61 53因此 ab=ABcosABcos（906153）0.88d即属于或平行于 OZX 坐标面上的圆的正二轴测投影椭圆的短轴长等于 0.88d，如图127b 所示。当采用简化的轴向伸缩系数绘制圆的正二轴测投影时，则长轴的长度为 1.06d，短轴的长度分别放大为 1.060.33d
17、0.35d，1.060.88d0.94d。12.2.5 属于或平行于坐标面圆的正轴测投影椭圆的近似画法一般情况下，对投影椭圆的精确程度要求不高，因此，常采用近似画法。由于椭圆的轴对称性，近似画法可采用四心扁圆法，即用四段圆弧来代替。其关键是求四段圆弧的圆心、半径和连接点。显然，圆心一定在椭圆的长轴和短轴上。1. 正等测图在正等轴测投影图中，属于或平行于三个坐标面圆的投影椭圆形状相同，只是长短轴的方向不同。因此，仅以 O XY 坐标面上的圆的轴测椭圆的画法为例，说明椭圆的作图过程，如图 128 所示。（1）作轴测轴 O1X1、O 1Y1、O 1Z1，并以 O1 为圆心、圆的半径为半径画辅助圆，该
18、辅助圆与三根轴测轴分别交于 A、C、B、D 、E、F 各点，如图 128a 所示。（2）分别以 E、F 为圆心，以 EA（或 EB、FA、FB）为半径画两条大圆弧，如图128b 所示。（3）以 O1 为圆心以 O1G 为半径画圆弧交长轴于 1、2 两点，分别连接E1、E2、F1、F2 并延长分别交两大圆弧于 M、N、K 、L 等点，如图 128c 所示（4）分别以 1、2 为圆心以 1M 为半径画小圆弧 MN、KL，结果如图 128d 所示。2. 正二轴测水平面和侧投影面上的圆，其正二轴测投影椭圆的画法相同，现以水平面上椭圆的画法为例，说明椭圆的作图过程。（1）过椭圆圆心 O1 作轴测轴 O1
19、X1 和椭圆的长轴与短轴，并在 O1X1 轴上截取O1AO 1B圆的半径，如图 129a 所示。（2）在短轴上截取 O11O 13圆的直径；然后再以 1、 3 为圆心、以 1B 为半径画两大圆弧，如图 129b 所示。图 128 平行于水平面圆的正等轴测投影图椭圆的近似画法8（3）连接 3A、1B 分别交长轴于 2、4 两点，再以 2、4 两点为圆心、以 2A 或 4B 为半径画两小圆弧。结果如图 129c 所示。正平面上椭圆的画法与水平面和侧平面上椭圆的画法不同，其近似画法步骤如下：（1）作轴测轴 O1X1、O 1Z1，并在其上量取 O1AO 1B O1CO 1D圆的半径；再过A、B 、 C
20、、D 四点分别作 O1X1 轴或 O1Z1 轴的平行线，如图 1210a 所示。连接所作平行四边形的对角线，则两对角线即分别为椭圆的长、短轴。（2）过 A、B 两点分别作水平方向直线，分别交长短轴于 1、4、2、3 四点，该四点即为四段圆弧的圆心，如图 1210b 所示。（3）以 1、2 为圆心，以 1A 或 2B 为半径画 AD、BC 两段小圆弧；以 3、4 为圆心，以 3B 或 4A 为半径画 AC、BD 两段大圆弧，结果如图 1210c 所示。12.2.6 非圆曲线和其它面上的圆的轴测投影的画法非圆曲线、空间曲线和其它面上的圆的轴测投影，都可以采用坐标法作图，即首先作出曲线上或圆上一系列
21、点的轴测投影，然后用曲线板光滑地依次连接各点即可完成作图。图 1211 所示即为一正垂圆的轴测投影图的画法。图 12-9 属于或平行于水平面圆的正二轴测投影椭圆的近似画法图 1210 属于或平行于正平面的圆的正二轴测投影椭圆的画法912.3 正轴测图的画法在实际绘图中，用得最多的是正轴测图。这类投影图的画法相对简单且立体感强，适合用来表达结构较为复杂的零件、机器、空间管道等。其中正等测图又以画法方便、快捷，用得最多，其缺点是立体感稍逊于正二测。因此本节主要介绍正等测的画法。12.3.1 平面立体正轴测图的画法平面立体轴测图的常用画法主要有坐标法和切割法两种。一般是根据物体的结构和形成原理作图。
22、其作图步骤通常是根据物体的结构和特点建立空间坐标系；然后选择轴测投影的种类并画出相应的轴测轴；最后根据该物体的各个顶点的坐标用简化的轴向伸缩系数绘制出各个顶点的轴测投影，并由点连成线、面，从而得到平面立体的轴测图。切割法是在坐标法的基础上，先画出基本形体的轴测图，然后再切去该基本形体被切割掉的部分，从而得到被切割后的平面立体轴测图。例 121：已知三棱锥 SABC 的 V、H 两投影，如图 1212a 所示，试作其正等测图。解：对于三棱锥来说，只要求出四个顶点的正等轴测投影，然后依次连接各点即可完成作图，因此，选用坐标法作图。绘图步骤如下：（1）建立坐标系。为了简化作图，所选坐标系的 OXY
23、坐标面与三棱锥的底平面重合，并使 X 轴、Y 轴分别通过 C、B 两点，如图 1212a 所示（2）画出正等轴测投影轴 O1X1、O 1Y1、O 1Z1，并根据 S、A、B、C 四个顶点的坐标图 1212 三棱锥的正等测图的画法图 1211 其它面上的圆的轴测投影的画法10求出各个顶点的轴测投影，如图 1212b 中所示的 S 点坐标求法。（3）依次连接 SA、SB、SC、AB 和 AC，擦去多余的作图线并加深、完成全图，如图 1212c 所示。边 BC 的轴测投影不可见，通常不画，而在本题中为了加强三棱锥轴测投影图的立体感，故而用虚线表示。例 122：试作正六棱柱的正二测图，图 1213。解
24、：由于正六棱柱前后、左右对称，故选用坐标法绘制，同时利用轴测投影的性质加快绘图速度。绘图步骤如下：（1）建立坐标系。为了简化作图，所选坐标系的 OXY 坐标面与正六棱柱的上底平面重合，并使 OXZ 坐标面和 OYZ 坐标面分别通过正六棱柱的前后和左右对称面，如图 1213a 所示（2）画出正等测投影轴 O1X1、O 1Y1、O 1Z1，并根据 A、B 两点的坐标求出该两点的正等测投影，然后利用平行性和对称性求出 C、D、E、F 等四点的正等测投影，如图1213b 所示。（3）从 A、B、C、D 四点分别向下作 O1Z1 轴的平行线并截取正六棱柱高 H，依次连接各点，擦去多余的作图线加深、完成全
25、图，如图 1213c 所示。如采用正等测表达正六棱柱，则所得的立体图，立体感不强。因此在该例中采用正二测绘制。由于轴向伸缩系数 q=0.5，因此在绘图时，沿着平行于 OY 轴方向所测量的尺寸，应乘上 0.5。12.3.2 回转体的正等测画法画回转体的正等测，通常是先画出与坐标面平行的圆的正等测图，再用直线或包络线画出其投影轮廓线即可。例 123：画出如图 1214a 所示的圆柱正等测。解：该圆柱轴线为铅垂线，所以上底平面和下底平面平行于 H 面。其作图步骤如下：（1）建立坐标系。为了简化作图，所选坐标系的 OXY 坐标面与圆柱体的上底平面重合，并使 OZ 轴和圆柱体轴线重合，如图 1214a 所示，此时圆柱体的上底平面和下底图 1213 正六棱柱的正二测的画法图 1214 圆柱体的正等测画法
