1、- 1 -ABP_西_南_A_B_C_東_北第 2-3,2-6 節 簡易測量與三角函數值表，基本三角測量焦點一 三角測量1.測量名詞：(1) 鉛垂線：目標物與地心的連線稱為鉛垂線。(2) 水平線：過觀測者眼睛而與鉛垂線垂直的的直線。(3) 視 線：眼睛與觀測物的連線(4) 仰 角：仰視目標物時,視線與水平線間的夾角。俯 角：俯視目標物時,視線與水平線間的夾角。(5) 方 位：除東、西、南，北外，也可以上述四個方位為基準線，加上旋轉角度 ( 0o90 之間 ) 來描述方位。例如：東 30o北表示先面向正東，再往正北方位轉 30o角所面對的方位。舉例如下;A 點的方位就是 O 點的北 30東 ，
2、B 點的方位就是 O 點的北 40西C 點的方位就是 O 點的南 58東40 30582.測量問題的解法：(1)平面測量：如為直角三角形可用畢是定理，若不為直角三角形，則利用正、餘弦定理解之。(2)立體測量：一定要將所有的條件投影到同一平面上再行處理。【例題 1】有一高塔 ，從距離塔底 100 公尺處 P 點，測得塔頂 A 之仰角為 60（如圖）AB，求此塔高度。 Ans: 公尺31060【類題 1】有一高塔 ，從距離塔底 50 公尺處 P 點，測得塔頂 A 之仰角為 7320（參AB考上圖），求此塔高度。（tan7320=3.340，答案按四捨五入取整數）- 2 -Ans: 167 公尺 【
3、例題 2】某人測量一山峰的仰角為 30 ，他向著山前進 200 公尺，再測得山峰的仰角為 45 ，求山高？Ans: 103()【類題 2】某人在 A 處測得高樓頂之仰角為 ，前進 100 公尺到 B 處，再測得仰角為45，則樓高為 公尺。60Ans: 50(3 )公尺3【例題 3】甲生在山麓測得山頂的仰角為 45，由此山麓循 30斜坡上行 200 公尺，再測得山頂的仰角為 60，則山高為 公尺。Ans: 100( 1)3【類題3】某人於山麓測得山之仰角為35，由此山麓循20 的斜坡上行1000公尺，再測得山頂之仰角為65 ，則山高為 公尺。（已知sin35 0.5736）Ans: 811 公尺
4、- 3 -【例題4】如下圖，兩觀測站A，B相距2000公尺，飛機C在D點上空，A站測得CAB 75，B站測得CBA 60，仰角CAD60 ，則飛機高為【 】公尺。Ans: 1500 2【類題 4】一塔高為 20 公尺，在塔的北 45東 A 處和南 15東 B 處各有一觀測站，測3出塔的仰角分別為 60和 30，則 【 2 】公尺。BAns: 20 13【例題5】如下圖，地面上兩點B，C被一池塘隔開，在地面上找一點A，量得 80公AB尺， 50公尺，並測得CAB60 ，則 【 】公尺。BCAns:70 - 4 -【類題 5】海岸上有 A 和 B 兩觀測站，同時發現海上有一艘船 C，在 A 測得B
5、AC75 ，在 B 測得 ABC60，已知 10 公里，則 【 】公BB里。Ans: 5（ 1）公里3【例題 6】站在湖中的小島的山峰上，看對岸的高峰仰角是 ，看湖面這高峰的鏡影俯30角是 ，所站的山峰高度為 250 公尺（從湖面算起） ，求對岸高峰的高度。45Ans: 250(2 )公尺3【類題 6】站在湖中的小島的高塔上，看對岸的高峰仰角是 ，看湖面這高峰的鏡影俯30角是 ，所站的高塔高度為 50 公尺（從湖面算起） ，求對岸高峰的高度。0Ans: 100 公尺【例題 7】一船向北航行，在北 東的方位發現一燈塔後，繼續向北前進 5 公里，此時，30燈塔的方位為南 東，則該船航線與燈塔的最短
6、距離為多少公里？6Ans: 公里34【類題 7】一船向北航行，在北 東的方位發現一燈塔後，繼續向北前進 10 公里，此15時，燈塔的方位為北 東，則該船航線與燈塔的最短距離為多少公里？30- 5 -Ans:5 公里【例題 8】海中有一小島 A，今在其四周 8 浬處敷設水雷。現有一艦從西向東行駛，於P 處發現 A 在北 60東，行 5 浬後，於 B 處見 A 在北 45東，若此艦航行方向不變，試問是否有危險？ Ans: 有【類題8】海中一小島周圍x浬內布有水雷，今有一船於A 處望見該島在東15北，此船向東行駛10浬後，至B處再望該島，則在東30 北。若此船航行方向不變，則布雷半徑x最大未超過【
7、】浬時，該船方無危險。Ans: 5 浬【例題9】設從一直線上之三點A，B，C測得某一山頂之仰角分別為30 ，45，60（但A，B，C三點與山頂之垂足不共線），若 600公尺，求山高。ABCAns: 300 公尺6【類題 9】從一直線上之三點 A，B，C 測得一山頂之仰角各為 30，45，60，已知A，B，C 與山腳不共線且 300 公尺， 200 公尺，求山高。BCAns: 100 公尺15- 6 -【例題 10】山頂有一塔，塔高 30 公尺，某人自地面某點測得山頂，塔頂之仰角分別為30，45 ，求山高。Ans: 15（ 1）公尺3【類題 10】某建築物上有一塔，塔頂有一旗桿，已知旗桿長 2
8、公尺，今在平地上某點測得建築物之頂，塔頂及旗桿頂之仰角分別為 45，60 和 75，則建築物之高度為【 】公尺。Ans: 1 【例題 11】在 O 點有一船往正東方向航行，在其左側發現兩燈塔 A 與 B，經測其方位，A 在北 30東，B 在北 75東，該船航行 15 公里後，再測兩燈塔之方位，得A 在北 45西，而 B 在北 60東，則 【 】公里， 【 】公OO里，兩燈塔距離 【 】公里。 Ans: (1)15（ 1）(2) (3)15 3265）（ 34- 7 -【類題 11】有一船自定點 P 往正北方向航行，在其右側發現有二燈塔 A 與 B，經測量其方位A 在北 45東，B 在北 15東
9、 ，該船行駛 20 公里到達 Q 點後，再測得二燈塔方位A 在南 60東，B 在北 30東，試求：(1)點 Q 與燈塔 A 的距離。(2)兩燈塔的距離。(但已知 sin15 )426Ans: (1) 20( 1)公里 (2) 20 公里3325焦點二 三角函數值表：1. 三角函數值表：(1)角度 介於 0o45 時，求其某一三角函數值 )(f，則為 所 在列與上方第一列中)(xf所在之行的交叉處所指之數。角度 介於 45o90 求其某一三角函數值 )(f，則為 所 在列與下方第一列中 )(xf所在之行的交叉處所指之數。(2)觀察三角函數值表可看出其遞增與遞減之變化：當角度介於 0o90 之間時
10、， sin， ta， sec皆為遞增函數；而 cos， t， sec皆為遞減函數。簡單的遞增與遞減之變化如下：0o30o45o60o90osin0 2121231co1 310- 8 -tan0 311 3+co+ 1 10se1 3222 +c+ 2 31(3)線性內插法求三角函數值：當所求之角度在三角函數值表中無法查得時，可用線性內插法求其三角函數值的近似值。此與對數的線性內插法原理相同，請參閱。【例題 1】利用三角函數值表，做下列各題：(1) cos1610 (2) tan1920 (3)sin7920 (4)cos800 o40Ans:(1)0.9605 (2)0.3508 (3)0.
11、9827 (4)0.1622【類題 1】利用三角函數值表，做下列各題：(1) sin1740 (2) cot7040 (3)sec7840 Ans:(1)0.3035 (2)0.3508 (3)5.089【例題 2】已知 sin33 o30 = 0.5519，sin33 o40 = 0.5544，試用線性內插法求 sin33 o33？Ans: 約 0.5527【類題 2】已知 tan59 o40 = 1.709，tan59 o50 = 1.720，且 tan=1.715，試用線性內插法求？(0 90 )Ans: 約 59o45【例題 3】已知 sin23 o10 = 0.3934，sin33
12、o20 = 0.3961，若 270o360o，且 sin=- 9 -0.3968，則=? Ans: 336o37【類題 3】已知 sin47 o20 = 0.7353，sin47 o30 = 0.7373，試用線性內插法求 sin227 23。Ans:-0.7359【例題 4】設 ，試比較 a，b，c，d 之大小。 80sec,tan,80cos,sindbaAns: d c a b【類題 4】試比較 sin15 o，cos25 o，sin35 o，tan55 o，sec65 o之大小。Ans: sec65 tan55 cos25 o sin35 o sin15 o課後練習1. 某人要測河川
13、之寬，在岸之一邊取兩點A，B；在對岸取一目標 C，得 CAB45，- 10 -CBA60， 100公尺，則河寬為 【 】公尺。AB2. 根據氣象預報，某颱風於某日下午 2 時的中心位置在鵝鑾鼻燈塔正南方 300 公里處，暴風半徑為 250 公里，以每小時 50 公里的速率朝北 30西等速直線前進。設此颱風的速度，方向及暴風半徑都不變，則鵝鑾鼻燈塔在此暴風圈內前後共計有【 】小時。3. 有一砲臺從地平面上一點測得仰角為 30，向砲臺走近 10 公尺，再測得其仰角為 45，則砲臺之高為【 】公尺。4. 設有一梯子靠牆放與牆成 15 度角，梯長 6 公尺，則梯腳到牆角之距離為【 】公尺。 )4261
14、5(sin5. 有一條道路，其兩旁有一棟較高的大廈和一棟較低的公寓（在大廈的正對面），從大廈屋頂測得對面公寓屋頂之仰角為45，再測公寓的腳底點的俯角為60 ，已知公寓高為15公尺，則大廈的高度為【 】公尺。（求至小數點以下第二位）6. 在一塔的正西 A 處與正南 B 點，測得塔頂之仰角分別為 45，15，設 100 公尺，AB則塔高為【 】公尺。（已知 tan152 ）37. 一漁船在湖上等速直線前進。已知上午9時50分，漁船在觀測點O 的北方偏西70，離O點2浬處。上午10時10分則在觀測點O的北方偏東50，離O點1浬處。則：(1)此漁船的時速為【 】浬時。(2)這段時間內，漁船離觀測點 O
15、 的最近距離為【 】浬。8. 從平地上 A，B，C 三點，測得某大樓頂之仰角均為 30，設ABC45 ， 300AC公尺，則此大樓高為【 】公尺。9. 自塔之東一點 A，測得塔頂之仰角為 45，在塔之南 60東一點 B，測得塔頂之仰角為 30，設 A，B 相距 471 公尺，則塔高為【 】公尺。10. 設有一湖，欲測湖岸兩點 長，但湖岸築有鐵絲網不能靠近，在鐵絲網外取A ，BD兩點間距離為30公尺，分別自A，B可看到其餘三點 C，D ，B或C，D ，A，因而測得如下圖，CAB 120 ，DBA135 ，DAB30， CBA=45，則 長為【 】公尺。11. 某人於山麓測得山頂的仰角為 60，由此山麓循 30斜坡上行 200 公尺，再測得山頂的仰角為 75，試求山高 (A) 100( 1) (B) 100( 1) (C) 100(3 ) (D)100(3 ) (E) 25(3 )3333312. 老張從旗桿底 O 點的正西方 A 點測得桿頂 T 點的仰角為 30，他向旗桿前進 30 公尺至 B 點，再測得桿頂的仰角為 60，則：
