1、数学物理方法,行波法与积分变换法,Moving Vave Method and Integral-Trnsform Method,第三章,预备知识：奥斯特洛格拉德斯基（）公式,如果P,Q,R是同一个具有一阶连续偏导数的函数？！,奥斯特洛格拉德斯基公式,附录：推证,记住这个结果，后面要用到。,三维波动方程（三维交变电磁场方程）的球面平均法Poisson 公式,对一维波动方程初值问题，利用DAlembert 法导出了它的解的公式，我们现在利用DAlembert 解法，来推导三维波动方程初值问题的解。 DAlembert 法的核心，就是先求方程的通解，再由初始条件导出定解问题的解，如何求出三维波动方
2、程的通解呢？,考虑定义于 三维波动方程的初值问题：,其中 满足一定的光滑条件。,3.2,利用前面奥斯特洛格拉德斯基积分的结果,变上限积分且对上限求导规则,附录：推证,追求,三维波动方程初值问题的泊松公式,3.2 三维波动方程解的泊松公式 球面波,前一节我们已经讨论了弦振动方程（一维波动方程）的初值问题，获得了达朗贝尔公式。本节考虑三维波动方程的初值问题。,对于这样的定解问题，我们仍然仿照前面的方法，先求出泛定方程的“通解“，再令其适合初始条件，然后定出原问题的解。,小结,是单位球面上的立体角元。,显然，在球面坐标系中有：,是以点 为中心，以 为半径，球面上的面积元。,小结,小结,小结,小结,二
3、维波动方程初值问题的泊松公式,小结,当 时，点 的初始值 、 ，影响的区域 ，这是三维空间中的一个球面，它随着 的增加，以速度 向四周传播。,（1）空间任意一点 在任意时刻 的状态，完全由以 为中心，以 为半径的球面 上的 初始状态决定。,3.2.3 泊松公式的物理意义,设三维空间中某点 与 的距离为 ，则当 这一瞬间， 才落到 的影响面上， 点回复到原来的状态，如果 点的扰动持续了 秒，则在处受到的扰动也持续了 秒，过后又回到原来的状态，只是 点的扰动较 点原有的扰动，推迟发生 秒而已，这种现象最简单的就是声音的传播。,（2）三维空间局部有界域内的初始扰动 、 ，导致空间 各点在有限时间段内
4、受扰，无持续后效。,从某个点发出的声音，经过一定的时间传到耳朵，开始听到的时间，等于离声源的距离 除以音速 ，听到声音的持续时间，一定等于声源发出声音持续时间的长短，过后就听不到了。,（3）三维空间局部初始扰动的传播，有清晰的 前锋与后锋（波速为 ）。 即惠更斯 （Huygens）原理成立。,前阵面,后阵面,其中，前阵面与后阵面之间的部分，表示在时刻 受到扰动影响的区域。,前阵面以外的部分，表示在时刻 扰动还未传到的区域。,后阵面内部的区域，表示扰动已经传过并已恢复原状的区域。,因此，当初始扰动限制在空间某一局部区域内，波的传播有清晰的前阵面和后阵面，这种现象物理上称为惠更斯原理或无后效现象。
5、,设在三维空间某一有限区域 中, 给出初始扰动 、 ，则在 时刻受到初始扰动 和 的影响的区域 ,就是以 的点为球心， 为半径的球面的全体。当 足够大，这种球面族有内、外两个包络面，分别称为前阵面和后阵面。,需要特别注意的是，二维情况与此不同！,其一，在 点， 时的初始扰动，影响区域不是球形域！而是圆域。,这个区域以速度 向外扩大，对于与 点距离为 的点 ，经过开始受到这个扰动的影响，但随着时间的推移，初始值在此点的影响不消失！仍然发挥作用，这是与三维波动方程中扰动传播不同之处。,其二，在二维空间某一有限区域 中，给定的初始扰动 和 ，观察 外任意一点 在时刻 的状态。设 到区域 最近点的距离
6、为 ，则当,函数 ，说明扰动还未到达 点；但当,函数 ，说明从时刻 开始，点 就受到了 中,初始扰动的影响，随着时间的增长， 中的初始扰动总在影响 的值。这说明二 维波动有清晰的前阵面，但无后阵面，即起始扰动对平面上每个点都有持久后效，这种现 象称为波的弥散，Huygens 原理不成立， 这是与三维波动方程的最大区别。,下面举例说明泊松公式的用法。,例 求下述定解问题的解。,解 将所示的初始条件代入（3.31）式,行波法,1. 行波法的适用范围：只适用于波动方程的初值问题。,2. 用行波法求解一维波动方程柯西问题：,（）,求解（）的步骤：,引入新的变量 ，将泛定方程化为标准型；,求出上面标准型
7、方程的通解,捆绑初始条件，确定通解中的待定系数，得（）的解为,称为无限长弦自由振动的DAlembert公式,内容提要,称为无限长弦自由振动的DAlembert公式,达朗贝尔公式的物理意义：弦上的任意扰动，总是以行波形式，分别向两个相反方向传播 出去，传播的速度正好是振动方程中的常数 a .,4. 用齐次化原理，求解一维非齐次波动方程柯西问题：,（）,求解（）的步骤：, 将定解问题（）拆成以下两个问题,（）,（）,内容提要,（）, 对定解问题（）给出齐次化原理：定理（齐次化原理）若 是初值 问题,（）,的解（其中 为参数），则定解问题（）的解为,作变换 ，则定解问题（）的解为,进而，得到问题（）
8、的解为,内容提要, 利用叠加原理，得定解问题（）的解为,5. 三维齐次波动方程柯西问题：,其解为,6. 三维齐次波动方程柯西问题泊松公式的物理意义：, 空间任意一点 M ,在任意时刻 的状态，完全由以该点为心， 为半径的球 面上初始状态决定。,称为三维齐次波动方程柯西问题的泊松公式, 当初始扰动限制在空间某局部范围时，扰动有清晰的“前锋”与“阵尾”，即惠更斯原理 成立。,内容提要,7. 二维齐次波动方程柯西问题：,其解为,称为二维齐次波动方程柯西问题的泊松公式,8. 二维齐次波动方程柯西问题泊松公式的物理意义：, 二维空间任意一点 M ,在任意时刻 的状态，完全由以该点为心， 为半径的圆 盘域上初始状态决定。, 局部初始扰动对二维空间任意一点的扰动有持续后效，波的传播有清晰的“前锋”而无 后锋，此现象称为波的扩散，即惠更斯原理不再成立。,内容提要,本章小结,本章介绍的积分变换适用于热传导方程的初始问题（包括半无界问题）、波动方程的初始问题（包括半无界问题）和一些特殊区域上的位势方程的边值问题. 总的原则是Laplace变换可以用于半空间的变量，如时间变量，而Fourier变换可以用于整空间的变量，如空间变量.,在积分变换中,经常会遇到同一原函数解出不同像函数,或同一像函数解出不同原函数的问题.,
