1、精品文档分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程2. 会列出分式方程解简单的应用问题【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未 知数 .（ 2 ） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数 （不是一般的字母系数） . 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（ 3 ）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.
2、 转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母. 在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根. 因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（ 1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母） ；（ 2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（ 3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做
3、原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释： （ 1 ）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的 . 根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为 0 的数，所得方程是原方程的同解方程. 如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（ 2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误， 而是检验是否出现增根， 它是在解方程的过程中没有
4、错误的前提下进行的 .要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题 .列分式方程解应用题按下列步骤进行：（ 1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（ 2）设未知数；（ 3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（ 4）解这个分式方程；（ 5）验根，检验是否是增根；（ 6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程卜列方程中，是分式方程的是（).八 x 3 x 21x 1A.B .4312 x 1c 2 1x aC 3x x 0 D .5a b【答案】B；x 24x 1 x 1x , ( a , b为非零常数)【解析】A C两项中的方程尽管有
5、分母，但分母都是常数;D项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程,只有B项中的方程符合分式方程的定义.【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程,就看其有无分母,并且分母中是否含有未知类型二、解分式方程C2、解分式方程（1） -0-2x 1【答案与解析】解：（1）二0- 2, 2x 1 1 2x将方程两边同乘（2x 1）,得51 2x512；-2- 0.x 3x x x10 ( 5) 2(2x 1).解方程，得x 7 .475检验：将x 代入2x 1,得2x 1 0.42 x 7是原方程的解.4-5- -1 0,x 3x x x方程两边同乘以x(x 3)(x
6、1),得5(x 1) (x 3) 0 .解这个方程，得x 2.检验：把x 2代入最简公分母，得 2X5X 1 = 10W0.原方程的解是x 2 .【总结升华】 将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项.特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根.举一反三：2 x 1【变式】解方程：2-2 .x 3 3 x【答案】解:2 xXT3i3X2,方程两边都乘x 3,得2 x 1 2(x 3),解这个方程，得x 3,检验：当x 3时，x 3 0,x 3是增根，原方程无解.类型三、分式方程的增根【高清课堂 分式方程的解法及应用例3 (1)1C3、m为何值时，关于x的方
7、程-2-一会产生增根?x 2 x2 4 x 2【思路点拨】若分式方程产生增根，则(x 2)(x 2) 0,即x 2或x代入由分式方程转化得的整式方程求出m的值.【答案与解析】解：方程两边同乘(x 2)(x 2)约去分母，得 2(x 2) mx 3(x 2).整理得(m 1)x10 .原方程有增根，(x 2)(x 2) 0,即x 2或x2 .把x 2代入(m 1)x10,解得m 4.把x 2代入(m 1)x10 ,解得m 6.所以当m4或m 6时，方程会产生增根.【总结升华】 处理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求解.举一反三：11 乂【变式】如果方程
8、3 1 有增根，那么增根是 .x 22 x【答案】x 2;提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母x 2 0或2 x 0可得x 2 .所以增根是x 2 .类型四、分式方程的应用 4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种 66棵树所用的时间相等.求甲、乙两班每小时各种多少棵树？66棵树所用的时间相【思路点拨】 本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种9欢迎下载【答案与解析】解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种由题意可得60 幽，解这个方程，得 x 20. x x 2经检验x 20是原方程的根且符合题意.所以x 2 22
9、（棵）.答：甲班每小时种 20棵树，乙班每小时种 22棵树.【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含x的分式表示甲、乙两班种树所用的时间.举一反三：【变式】两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1个月完成总工程的-,这时增3加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？解：设乙队单独施工 1个月能完成工程的1出 口1，总工程量为1. x1 1.2xx 3 6x.【答案】一 一， 、1 1根据工程的实际进度，得 113 6方程两边同时乘以6x ,得2x 解这个方程得x 1 .检验：当x 1时，6x = 6w0, 所以x 1是原分式方程的解.1个月完成任务的由上可
10、知，若乙队单独工作 1个月可以完成全部任务，对比甲队可知乙队施工速度快.答：乙队施工速度快.【巩固练习】一.选择题1.卜列关于x的方程中，不是分式方程的是（A. 1 xB.)3x-2 x2.3.4.C.-33x4解分式方程251x 1D.x16-415x 6A. x要使A.0已知A. y1x 4 一x4的值和21可得结果（）x2 1B. x 14 2x 一 一土上的值互为倒数，则B.-1若用含x的代数式表示C.D.无解x的值为（D.1y ,则以下结果正确的是（）x 103B. y x 210 xc. y 3D. y 7x 25 .若关于X的方程A.3k 1上有增根，则k的值为()1 xB.1C
11、.0D. 16 .完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需所需要的时间是().4，,、A. - (a b)小时b小时，则两人合作完成这项工作的80%,C.4ab 小时5(a b)4,11、B.一()小时5 a babD.小时a b二.填空题327 .当X =时，分式3与的值互为相反数.x 6 x8 .仓库贮存水果a吨，原计划每天供应市场 m吨，若每天多供应 2吨，则要少供应 天.4 .39.10.当 a =时，两分式一与一的值相等.x 4 x 1 2ax 3 5时，关于x的方程 3 5的根是1.a x 4x 111 .若方程x 112 .关于x的方程42 xa-1有增根，则增根是11的解是负数，
12、则a的取值范围为三.解答题13.解下列分式方程:/、11 x(1)x 2 2 x(2)5x 72x2 3x 21 0.x 114 .甲、乙两地相距50km, A骑自行车，B乘汽车，同时从甲城出发去乙城.已知汽车的 速度是自行车速度的 2.5倍，B中途休息了 0.5小时还比A早到2小时，求自行车和汽 车的速度.15 .有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1,这个两位数被个位数字除时，商是8,余数是2,求这个两位数.【答案与解析】一.选择题1 .【答案】C;【解析】C选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.2 .【答案】D;【解析】x 1是原方程的增根.3 .【答案】B;x 4 4 2x2x 4
13、【解析】由题意 土二 上石 1,化简得： 结; 1解得x 1.x 5 4 xx 54 .【答案】C;【解析】由题意 x 1 y 4 x 2 y 3 ,化简得：3y 10 x,所以选C.5 .【答案】A；【解析】将x 1代入3 x 1 k ,得k 3.6 .【答案】C；4 114 ab【解析】由题意4 (- 1) 4 -ab-,所以选C.5 a b5 a b二.填空题7.【答案】18;32 .一【解析】3 0,解得x 18.x 6 x8 .【答案】22a;m 2ma 【解析】原计划能供应 天，现在能供应m9 .【答案】8;43. 一【解析】上，解得x8.x 4 x 1-1710 .【答案】17；
14、3【解析】将x 1代入原方程，得8a 511 .【答案】x 1;【解析】原方程化为：x 1 2 4 x212 .【答案】a 1且aw0；【解析】原方程化为 a x 1, x a 1三.解答题一天，则少供应22a 天.m2m2m m175a12,解得a一.31 ,解得x 1 ,经检验x 1是增根.0,解得 a 1 .x w-1 ,解得 aw。.解：方程的两边都乘x 2,得1x 1 3(x 2).解这个整式方程，得检验：当x = 2时,=2.x2=0,所以2是增根，所以原方程无解.13 .【解析】(2)方程两边同乘(x 2)(x 1)约去分母，得5x 7 2(x 2) 3(x 1).整理，得5x
15、7 5x 7 .这个式子为恒等式.检验：当 x 1 , x 2 时，(x 2)(x 1) 0,所以x 1和x 2是增根.因此，原方程的解是 x 1且x 2的任何实数.(3)方程两边同乘(x 2)(x 1)(x 1),得 x(x 2)2(x1)(x 1) (x2)(x 1) 0 .“、r4解此方程，得x -.54检验：把x 代入(x 2)(x 1)(x 1) 5得 4 24 14 10,555 一、4所以原方程的解是x 4 .514 .【解析】解：设自行车的速度为 xkm/h ,汽车的速度为2.5xkm/h ,由题意，50里0.5 2,x 2.5x解方程得：125 50 6.25xx 12经检验，x 12是原方程的根，30km/h.2.5x 30.所以自行车的速度为 12km/h ,汽车的速度是 答：自行车的速度为 12km/h ,汽车的速度是 30km/h.15.【解析】解：设十位上的数字为 x ,则个位上的数字为 x 1 ,则：10x（X 1）2 8.x 1解方程得：x 3.经检验：x 3是原方程的根.所以个位上的数字为：x 1 = 3+ 1 = 4.所以这个两位数是：3X10+4=34.答：这个两位数是 34.
