1、线性代数（经管类）考前突击重点解析一、线性代数（经管类）考试题型分析：根据历年考试情况来看，线性代数（经管类）这门课程题型在历年考题中没有发生变化，题型大致包括以下四种题型，各题型及所占比值如下：题号题型题量及分值第一题单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分）第二题填空题（共10小题，每小题2分，共20分）第三题计算题（共6小题，每小题9分，共54分）第四题证明题（共1小题，每小题6分，共6分）由各题型分值分布比重我们可以看出，计算题所占比重最大，只有6个小题，但是分值为54，因此，考试复习重点应放在以计算分析这个主要题型命题的知识点上，对于单选和填空题，较容易拿分，主要是考察考生对一些
2、性质、定理、推论以及一些规律的使用。对于最后一道证明题，学有余力的同学可以力争拿下。其实，只要掌握基础的知识点，保证做题正确率，通过考试还是很有把握的。二、线性代数（经管类）考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章 行列式1简单的二阶、三阶行列式的计算。（P3）（二级重点）填空 对角线法则：行列式的值等于行列式中不同行不同列的所有数的乘积适当附上正好或符号，主对角线（包括与之平行对角线）乘积为正，副对角线为负
3、。2 利用行列式的定义计算行列式。（P9）（一级重点）计算 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.代数余子式和余子式的关系：3 利用行列式的六大性质计算行列式。（P11）（一级重点）单选、填空、计算1）2）用数乘行列式的某一行（列）所得新行列式原行列式的倍。推论。3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数。推论。4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0。5）行列式可以按任一行（列）拆开。6）行列式的某一行（列）的倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等。4利用克拉默法则求解线性方程组。（P27）（三级重点）单选、填空
4、如果n个方程的n元线性方程组的系数行列式D=aijn 0，则方程组必有唯一解。xj = Dj / D，j = 1，2，3，n 其中，Dj 是将系数行列式D中第j列元素对应换为方程组的常数项得到的行列式。第二章 矩阵5矩阵的乘法运算。（P37）（一级重点）单选、填空只有当两个矩阵是同型矩阵（行数与列数分别相等）时，它们才可以相加减。C = AB。A、B两个矩阵可以相乘当且仅当A的列数与B的行数相等。当C = AB时，C的行数 = A的行数，C的列数 = B的列数。C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素的乘积之和。6矩阵乘法运算规律。（P41）（二级重点）单选矩阵乘法没有交
5、换律，除此之外与数的运算公式相同。(如果，可能例如都不为零，但。转置的性质：。对称阵和反对称阵：若，则称为对称（反对称）阵。7方阵的行列式具有的性质。（P45）（一级重点）单选、填空8方阵的逆矩阵及其具有的性质。（P48）（一级重点）填空、计算1）方阵可逆(也称非异，满秩)的充分必要条件是.当可逆时，。其中方阵的伴随阵的定义。特别 当时，重要公式； 与的关系2）重要结论：若n阶方阵满足，则都可逆，且.3）逆矩阵的性质：;当时，；;.4）消去律：设方阵可逆，且，则必有.（若不知可逆，仅知结论不一定成立。）6分快矩阵矩阵运算时，分快的原则：保证运算能顺利进行（包括分块矩阵和子块的运算）如；分快矩阵
6、的运算规则；特别是分快矩阵的转置准对角阵的逆矩阵： 如果 都是可逆阵，则9利用矩阵的初等变换求解逆矩阵。（P66）（一级重点）填空、计算称矩阵的下列三种变换为初等行变换：两行互换；某一行乘一个非零的数；某一行的倍加到另一行上。初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵化为标准形，其中为矩阵的秩。对任意阶矩阵，总存在一系列阶初等阵和一系列阶初等阵使得 矩阵阶与等价的充分必要条件是存在一系列阶初等阵和一系列阶初等阵使得 10矩阵秩的求法。（P70）（一级重点）单选、填空、计算定义矩阵的秩为0，对于非零矩阵，如果有一个阶子式不等于而所有的
7、阶子式（如果有的话）都等于则称矩阵的秩为。显然阶可逆矩阵的秩等于，故可逆阵又称是满秩的.阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数。等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）;从而矩阵左乘（右乘）可逆阵其秩不变。反之两个同形矩阵只要秩相等，则二者必等价。11利用矩阵求解线性方程组。（P75）（二级重点）计算第三章 向量空间12线性表示。（P83）（三级重点）填空13线性相关和线性无关的性质与证明。（P88）（一级重点）填空、计算、证明1）定义: 设是一组维向量.如果存在个不全为零的数，使得,则称向量组线性相关，否则，即如果，必有，则称向量组线性无关。2）个维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其
8、余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合。3）判断向量组线性相关性的方法一个向量线性相关； 含有零向量的向量组必线性相关；向量个数向量维数时，n维向量组线性相关. 向量个数向量维数时, 向量组必线性相关；部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）。若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；向量组线性无关向量组的秩所含向量的个数，向量组线性相关向量组的秩所含向量的个数;向量组线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组有（没有）非零解.14求向量组的极大无关组。（P94）（一级重点）计算设是向量组的一个部分组.如果（1）线性无关；（2）任
9、给，都有线性相关，则称是向量组的一个极大无关组。15向量组的秩具有的性质。（P97）（二级重点）单选、填空16求向量组的秩。（P99）（一级重点）计算17求向量空间的基与维数。（P106）（三级重点）填空1） 维向量空间的定义：维实向量的全体构成的集合称为维向量空间，记为.2）向量空间的一个向量组线性无关，且中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间的一个基.零空间没有基，定义它为0维，否则，称向量空间的基所含向量个数为该空间的维数.设，称为在这组基下的坐标。第四章 线性方程组18齐次线性方程组的性质。（P110）（二级重点）填空设都是的解，则也是的解(C1，C2为任意常数)19求解齐次线性
10、方程组。（P114）（一级重点）计算设是齐次方程组的一组解.如果它满足：（1）线性无关；（2）的任何一个解都可以表示为的线性组合，则称为该齐次方程组的基础解系.如果齐次方程组有非零解（即），则它有基础解系.重要结论:齐次方程组的基础解系含个线性无关的解；齐次方程组的任意个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系。20非齐次线性方程组解的判别定理。（P119）（一级重点）单选、填空定理： 个未知数，个方程的线性方程组中，（系数矩阵是阶矩阵）是增广矩阵.则1）当且仅当（未知数的个数）时，方程组有惟一解；2）当且仅当（未知数的个数）时，方程组有无穷多解；3）当且仅当时，方程组无解.从以上定理可见：1
11、）线性方程组有解的充分必要条件是。2）当线性方程组，方程的个数未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式。21非齐次线性方程组的求通解方法。（P117）（一级重点）计算非齐次方程组的通解的结构 其中是方程的一个特解，为系数矩阵的秩，为它的导出组（与它对应的）齐次方程组的基础解系.第五章 特征值与特征向量22特征值与特征向量的定义求法。（P129）（一级重点）填空、计算是n阶方阵的特征值，是指存在非零列向量，使得.这时，称为矩阵属于特征值的特征向量.由此知，是n阶方阵的特征值，这时，齐次方程组的非零解都是矩阵属于特征值的特征向量。23特征值与特征向量的一些重要结论。（P131）（
12、一级重点）单选、填空1）实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量。2）三角矩阵的特征值就是它的全体对角元。3）一个向量p 不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量。24特征值的性质。（P132）（一级重点）填空1）与有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）设都是矩阵属于特征值的特征向量，是数，只要，则也是矩阵属于特征值的特征向量；3) 设阶方阵的个特征值为,则 (2).4）矩阵属于不同特征值的特征向量线性无关;5）设是矩阵属于特征值的特征向量，则是矩阵属于特征值的特征向量，其中.6)设是可逆矩阵的特征值.则，且是矩阵的特征值.25求特征值与特征向量的一般方法。（P133）（
13、一级重点）计算26相似矩阵具有的性质。（P138）（一级重点）单选、填空、计算1）设都是阶方阵，如果存在可逆阵使得，则称与相似.2）相似矩阵的性质：反身性，对称性，传递性；3）若方阵与相似，则与有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）进而，且,其中表示矩阵的迹，即,为方阵的n个特征值；注意：反之，若与有相同的特征值，与不一定相似；例如有相同的特征值，但与不相似。27求向量内积。（P146）（三级重点）填空向量内积的定义:设28正交矩阵的性质与证明。（P150）（三级重点）填空、证明1）正交矩阵的定义；如果阶方阵满足，则称它为正交阵2）正交矩阵的性质：设方阵为正交阵，则必可逆，且；如果都是阶
14、正交阵，则也是正交阵；是正交阵的充分必要条件是的列（行）向量组构成的标准正交基.第六章 实二次型29实二次型与矩阵之间的相互转换。（P164）（三级重点）单选、填空,称矩阵的秩为该二次型的秩30实二次型转化为标准形的方法。（P166）（二级重点）计算定理：对任意实二次型，总存在正交变换，使得该二次型化为标准型，其中为实对称矩阵的n个特征值。此定理说明：对任意实对称矩阵，总存在正交阵，使得其中为实对称矩阵的n个特征值.（即实对称矩阵必能与对角阵合同。31用配方法求实二次型的标准形。（P168）（二级重点）计算32求二次型的规范形。（P169）（二级重点）填空、计算定理 任意的元二次型，一定可以经
15、过可逆的线性变换化为规范形 而且其中的和是由原二次型惟一确定，与所做的变换无关，为规范形中系数取的项的个数，称为该二次型的正惯性指数，为该二次型的秩，为为规范形中系数取的项的个数，称为该二次型的负惯性指数.33正定矩阵的判定。（P173）（二级重点）填空、计算1）二次型正定性的定义：元二次型和对应的实对称矩阵如果对任意的非零实向量，都有，则称为正定（负定）二次型，称为正定（负定）矩阵.如果对任意实向量，都有，则称为半正定（半负定）二次型，称为半正定（半负定）矩阵。其它的二次型称为不定二次型，其它的实对称矩阵成为不定矩阵。2）二次型正定（实对称矩阵正定）的充分必要条件正定的充分必要条件是它的正惯性指数。正定的充分必要条件是与单位阵合同。正定的充分必要条件是的所有特征值都大于零。正定的充分必要条件是的各阶顺序主子都大于零。3）二次型正定性的判别方法元二次型正（负）定它的正（负）惯性指数；元二次型半正（负）定它的负（正）惯性指数0；元二次型不定它的正，负惯性指数都大于0。
