1、第七章 随机模拟技术及其在金融 中的应用,7.1.蒙特卡罗模拟简介7.2.分布的模拟实现 7.3.用蒙方法模拟股价运动 及衍生产品定价,参考资料：,蒙特卡罗方法电子版文档 （MonteCarl随机模拟）金融工程，郑振龙，高等教育出版社，2006基于SAS系统的金融计算，朱世武，清华大学出版社，2004,7.1.1. 背景7.1.2. 原理7.1.3. 应用领域7.1.4. 主要方法7.1.5. 改进技术,7.1. 蒙特卡罗模拟简介,什么是蒙特卡罗模拟?,根据韦氏词典的解释：Monte Carlo relates to or involves “the use of random samplin
2、g techniques and often the use of computer simulation to obtain approximate solutions to mathematical or physical problems especially in terms of a range of values each of which has a calculated probability of being the solution” Merriam-Webster, Inc.,1994,P754-755,7.1.1. 背景,蒙特卡罗方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利
3、用。17世纪，人们用事件产生的“频率”近似事件的“概率”。19世纪，人们用投针试验决定圆周率 。20世纪40年代，计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。Stanislaw Ulam和Von Neumann就在此时为研制核武器而首先提出“蒙特卡罗模拟”的概念。,考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？,例,Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，若有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N,蒙特卡罗解决方法：,7.1.2. 模拟原理,蒙特卡罗方法
4、的基本思想是，为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算参数的统计特征，最后给出求解问题的近似值。而解的精确度可用估计值的标准误差来表示。蒙特卡罗方法以概率统计理论为其主要理论基础，以随机抽样为其主要手段 使用蒙特卡罗方法的前提是已知随机变量服从的分布或可以化为已知分布的变量的函数。其模拟行为之所以有效的依据就是概率统计理论中的中心极限定理及大数定律。,例：,(7.1),7.1.3. 应用领域,例、一个项目决策问题：,某工程投资项目的几个主要参数都具有不确定性, 根据专家的意见和调查分
5、析,这些参数的分布和特征值如下:1.初始投资正态分布, 期望值和标准差分别为50 000万美元和1000美元;2.研究期(项目的寿命周期) 均匀分布, 最短10年, 最长14 年;3. 年销售收入离散分布, 有三种可能: 年收入(美元) /概率 35 000 40 000 35 000 0.4 0.5 0.14. 年经营成本(包括税收等支出)正态分布,期望值和标准差分别是30 000美元和2000 美元。5. 基准贴现率(MARR) 确定为10%。试用以上参数模拟该投资项目的净现值(PW)的分布和特征值。,解：,由于净现值与所给的参数有相当复杂的函数关系,无法用分析的方法求净现值的分布和特征值
6、。可用电子表格进行模拟。根据模拟输出的样本, 进行统计拟合, 按净现值的分布、估计的期望值和标准差给出净现值PW O 的概率和置信区间。,因此我们在解决金融问题时，对于难以给出显示解的积分问题或微分、随机问题都可以尝试用蒙特卡罗方法进行近似估计求解,蒙特卡罗模拟的一般步骤,1、对求解的问题建立简单而又便于实现的概率统计模型，使问题的解恰好是所建立模型的概率分布或数学期望;2、通过随机抽样产生一定数量的服从给定分布的随机数。3、给出问题解的统计估计值及其方差或标准误差表示的估计误差；,随机数：现实中，我们不可能通过计算机产生真正的随机数，退而求其次，我们只能选择通过某种数学或物理方法，如平方取中
7、法等，产生一定数量内具有类似随机性质的数，即伪随机数。在excel2003中，可以产生1 trillion(1万亿)个不重复的随机数。,7.1.4. 随机变量主要抽样方法,随机变量抽样方法： 直接抽样方法 舍选抽样方法 复合抽样方法 复合舍选抽样方法 近似抽样方法 变换抽样方法参见参考资料1:P98145,7.1.5. 减小方差技术,(7.2),(7.3),(7.4),因此为提高蒙特卡罗方法的模拟效果，我们希望估计误差能够尽量减小。另外由于蒙特卡罗方法需要进行大量的计算机计算，如何能够提高其收敛速度，缩短计算时间也是改进蒙特卡罗方法的一个方向。考虑到这两个方面，减小方差相对提高计算次数来说具有
8、更重要的意义，引起人们的广泛注意和极大兴趣。,减少方差的技巧,对偶变量技术 控制方差技术 重点抽样法 间隔抽样法 样本矩匹配法准随机序列抽样法树图取样法,参见参考资料1: P186196,7.2. 分布的模拟实现,7.2.1. 单个随机变量分布模拟 均匀分布随机数 正态分布随机数 泊松分布随机数 t分布随机数 分布随机数 离散分布随机数,7.2.2. 随机变量和的分布模拟,7.2.3. 随机变量均值的分布模拟,7.2.4. 统计抽样中的分布模拟,7.2.1. 单个随机变量的分布模拟,常见的随机变量的数学期望,常见随机变量的方差,注：标准差=方差的平方根,各分布随机数模拟：,均匀分布：ranun
9、i(seed);指数分布：ranexp(seed);正态分布：rannor(seed);二项分布：ranbin(seed,n,p);泊松分布：ranpoi(seed,);Gamma分布：rangam(seed,a,); Beta分布：betainv(ranuni(seed),a,b);卡方（chi-square）分布：cinv(ranuni(seed), n);t-分布:tinv(ranuni(seed), n);F-分布：finv(ranuni(seed), n1,n2);列表离散概率分布：rantbl(seed,p1,pn),例7.2.1：,生成服从下述概率分布的100个随机数.,data
10、 a(keep=x);seed=0; input m1-m3 p1-p3 ; /*m1-m3为取值列表，p1-p3为概率列表*/array m3 m1-m3;do i=1 to 100;x=mrantbl(seed,of p1-p3); /*随机生成数组下标*/output; /*将x的值输出到数据集*/end;cards;10 2.5 0.760.1 0.4 0.5;run;,程序：,例7.2.2,生成1000个n=100,p=0.001的二项分布随机数生成1000个=0.1的泊松分布随机数生成1000个n=100,p=0.2的二项分布随机数；生成1000个均值为20,方差为16的正态分布随
11、机数；分别画出上述随机数的频数柱状图（见程序说明）,中心极限定理（对于和）： 假设X1,Xn独立同分布，均值和标准差分别为和。令,，如果n足够大（比如，n大于30），则Sn近似地服从正态分布，均值为n，方差为,7.2.2. 随机变量和的分布模拟,例7.2.3,指数分布和的模拟。设 独立同指数分布， =6, 令 ，每次随机抽取100个随机数 ，模拟 的分布。密度为 的指数分布的均值为 ，方差为 。对于 =6的指数分布，分别模拟出n=1, 10, 20, 50, 100, 200, 1000.时，和 的分布。,7.2.3. 随机变量均值的分布模拟,中心极限定理（对于均值）：假设X1,Xn独立同分布
12、，均值和标准差分别为和。令,，如果n足够大（比如，n大于30），则,近似地服从正态分布，均值为，方差为,中心极限定理表明，满足一定条件的独立同分布随机变量的和或均值将服从正态分布，而与它们的分布情况无关。下面分别给出中心极限定理的模拟实现结果。,例7.2.4. 对于 =6的指数分布，分别模拟出N=1, 10, 20, 50, 100, 200, 1000.时，均值的分布 。,7.2.5. 统计抽样中的分布模拟,例7.2.5 设总体为 =6指数分布的100个随机数。设样本容量为80, 进行n次抽样，分别用 表示第1次, 第n次抽得的随机数。 ，模拟 和 的分布。对于求和 ，随机抽取的次数分别为n
13、=5, 10, 20, 50, 100, 200, 1000.,symbol; goptions ftext= ctext= htext=;options nodate nonotes nosource;data rv; /*创建由100个随机数构成的总体*/retain _seed_ 0;do _i_ = 1 to 100;exp = ranexp(_seed_)/6; output;end;drop _seed_ _i_;data rv80; /*从总体中选择80个作为样本*/delete;,%macro b(y);%do i=1 %to %eval(,data random;set tm
14、p(obs =80); /*取前80个*/drop _ran_;rename exp=exp,%b(5);%b(10);%b(20);%b(50);%b(100);%b(200);%b(1000);run;,样本均值的分布模拟。例7.2.6 准备数据集：产生100个指数分布的随机数。每次随机抽取的次数分别为 n=5, 10, 20, 50和80, 抽取180次样本进行模拟。,产生100个指数分布的随机数。,symbol; goptions ftext= ctext= htext=;options nodate nonotes nosource;data rv;retain _seed_ 0;d
15、o _i_ = 1 to 100;exp = ranexp(_seed_)/6; output;end;drop _seed_ _i_;run;,样本容量分别为5, 10, 20, 50和80, 抽180次样的分布模拟。本,symbol; goptions ftext= ctext= htext=;options nodate nonotes nosource;%macro b(y,z);data rv,proc means data=random noprint; var exp;output out=b mean= exp_m;data rv,例中，采用了不同于前面的横向加总方法（用到了P
16、ROC MEANS纵向计算均值），并在分别计算EXP_M的基础上用SET语句汇总了每次循环所得的180个数值，最后进行模拟,思考1：为什么统计抽样的样本均值和样本和均随着样本数量增加会服从正态分布，试从理论上进行证明，试问样本数量少的情况下，在增加抽样次数时会发生什么情况，请结合实验，进行分析说明.,7.3.用蒙方法模拟股价运动及衍生产品定价,7.3.1 股票价格运动路径模拟7.3.2 欧式期权的定价7.3.3 美式期权的定价7.3.4 美式期权定价的蒙特卡罗模拟方法改进,例7.3.1：设某支股票的价格过程服从几何布朗运动，当前价格S(0)=20,无风险收益率r =0.14，股价波动率为 =0
17、.2,a.试模拟1年间，股票价格运动的一条路径；（分20个等分时间段）b.试模拟10000条路径，估计该股票一年后的价格；c.试模拟10000条路径，步长为1年的该股票一年后的价格。,7.3.1 股票价格运动路径模拟,在风险中性世界中，设该股票价格满足 (5.1)为了模拟期权的路径，我们把期权的有效期分为N个长度为t时间段，则上式的近似方程为,或,设时间步长为0.05，计算步骤为：a）每步从标准正态分布样本中抽取的 的值，代入上式，可以得到股票价格运动的一条路径；b）重复a一万次，计算t=1时模拟的股票价格均值，即为t=1是股票价格的估计值c)将步长改为1,重复a),b)两步即得问题c的结果。
18、,思考2：1、股票的期望价格有无精确值表达式，精确值是多少？与估计值的差别多大？2、步长大小对其期望价格的估计有无影响？,7.3.2 欧式期权的定价,例7.3.2.股票信息同例7.3.1, S(0)=20, r =0.14，=0.2,求到期期限为1年，执行价格为18的欧式看涨和看跌期权的价格。并验证欧式期权平价公式。,思考3：此时步长大小对欧式期权是否有影响？,设时间步长为0.05，计算步骤为：1）每步从标准正态分布样本中抽取的 的值，代入上式，可以得到股票价格运动的一条路径；2）对上述路径的期末价值计算期权的期末回报3）重复上述过程N次，求得N个期末回报值；4）对上述回报值求平均得到期权的期
19、望回报值5）对上述期望回报贴现得到期权的价格。,7.3.3. 美式期权的定价,例7.3.3股票信息同例7.3.1, S(0)=20, r =0.14，=0.2,求到期期限为1年，执行价格为18的美式看涨和看跌期权的价格。并观察美式期权与欧式期权价格的关系？,思考4：为什么这里美式看涨期权的价格比欧式看涨期权高？是估计误差还是方法误差？,设时间步长为0.05，计算步骤为：1）每步从标准正态分布样本中抽取的 的值，代入上式，可以得到股票价格运动的一条路径；2）对上述路径的期末价值计算期权的期末回报；3)在该条路径上的每一点比较折现价值与立即执行价值的大小，确定该点的期权价格；3）重复上述过程N次，
20、求得N个期初期权价格模拟值；4）对上述模拟值求平均得到期权的当前价格估计值？,7.3.4 美式期权定价的蒙特卡罗模拟方法改进最小二乘蒙特卡罗模拟,参考文献：F. A. Longstaff ABI/INFORM Global,pg.113147.许浩然，关于可转换债券定价模型-Monte Carlo模拟定价方法分析与改进，本科毕业论文。参考程序: 见程序说明文档,单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟,蒙特卡罗模拟的优点之一在于无论回报结果依赖于标的变量S所遵循的路径还是仅仅取决于S的最终价值，都可以使用这一方法。同时，这个过程也可以扩展到那些回报取决于多个标的市场变量的情况。,当回报仅仅取决于到期时
21、S的最终价值时,可以直接用一个大步（ ）（假设初始时刻为零时刻）来多次模拟最终的资产价格，得到期权价值 ：,当回报依赖于多个市场变量时,当存在多个标的变量时，每次模拟运算中对每个变量的路径都必须进行抽样，从样本路径进行的每次模拟运算可以得出期权的终值，假设期权依赖于n个变量, ，其离散形式可以写成：,注：关于多个变量的情形具体可参见蒙特卡罗方法电子版文档，正文：PP129144，总页数：PP133-148,蒙特卡洛方法是一种比较粗糙的计算方法，它与其说是一种数学的方法，不如看成一种实验方法。它有很多优点，如但也有不足的地方，就是：,总结：,有的时候人们不得不依赖于此种方法。一来人们的才智不够，二来它的确在某些方面给我们知识；但不可否认对于可控参数比较少的情况，蒙特卡洛法不失为一个对研究对象获得认识的一个有效方法；,谢谢！,
