1、第五章 平面电磁波,随时间变化的电荷、电流所激发的电场、磁场也随时间变化。随时间变化的电磁场简称为时变场。由麦克斯韦方程组可知，变化的电场和变化的磁场可以相互激发，从而时变电磁场可以脱离场源以波动的形式向远处传播。预言电磁波的存在是麦克斯韦方程组的重要成果之一。 本章讨论电磁波被场源激励出来以后，远离场源在空间中的传播。该问题是无源空间中麦克斯韦方程组的解。我们首先由麦克斯韦方程组导出电磁波动方程，然后讨论平面电磁波在无界均匀介质中的传播特性。,5.1 无源空间的电磁波动方程,设空间充满各向同性非导电均匀介质，并且无电荷、电流分布。利用介质的本构方程，该无源空间的麦克斯韦方程组可写为,对式(5
2、-1-1)取旋度，并利用式(5-1-2)，有,（5-1-1）,（5-1-2）,（5-1-3）,（5-1-4）,再利用矢量恒等式 ，及式(5-1-3)，可得,（5-1-5）,同理可导出,（5-1-6）,式(5-1-5)、(5-1-6)是齐次波动方程，这表明，在时变情况下，电场与磁场皆以波动的形式在空间传播。由式(5-1-1)和(5-1-2)，时变的电场和磁场可以互相激发。因此，时变电场和时变磁场构成不可分割的统一场电磁场，电磁场以波动的形式在空间传播，这就是电磁波。,在真空中即为,求解无源区域内的电磁波，通常采用下列形式的方程组：,或,（5-1-7a）,（5-1-7b）,（5-1-8a）,（5-
3、1-8b）,与标准齐次波动方程相比较，可得电磁波在介质中的传播速度为,5.2 时谐电磁场的复数表示,时谐电磁场场矢量的每一个分量都随时间按正弦或余弦形式变化。时谐场在工程实践中最常用，而且，任何周期性或非周期性的电磁场都可以分解为许多不同频率的时谐场的叠加。以下我们只讨论时谐电磁场。,5.2.1 时谐电磁场量的复数表示,1场量的复数表示,在直角坐标系中，单一频率的时谐场电场强度的每一个分量为,（5-2-1）,时谐量用复数表示更为方便：,（5-2-2）,于是有,为简便起见，采用记号 来表示上式中方括号内的和：,称为电场强度复矢量，它仅是空间坐标的函数。这样，式(5-2-3)可表为,（5-2-3）
4、,（5-2-4）,（5-2-5）,称为电场强度的复数表示。可见，在复数表示中，空间坐标与时间是分离的。这样有利于微积分运算。为书写方便，以后记复电磁场量时省去其上方的复数符号，简写为,还常常省略 ejt，仅记为 E(r)。,同理，时谐场的其它场量如 D、B、H、J、，都可用复数类似地表示。,（5-2-7）,电磁场的能量密度 和坡印廷矢量 S = E H 都是电磁场量的二次式，计算它们的瞬时值，只能代入场量的瞬时表达式，而不能用场量的复数表示代入计算后再取实部。在实际中，更有意义的是它们的时间平均值，时间平均值可以很方便地用复数表示。为此，先讨论时谐函数二次式求时间平均值的一般表达。,2复能量密
5、度 复坡印廷矢量,设两个时谐函数分别为,它们的乘积在一周期内的平均值为,显然有,所以，时谐函数二次式对时间的平均值用复数表示为,（5-2-8）,按式(5-2-8)，平均电场能量密度、磁场能量密度，平均坡印廷矢量以及平均损耗功率密度分别为：,（5-2-9）,上各式括号中的量分别称为复电场能量密度、复磁场能量密度、复坡印廷矢量和复损耗功率密度，它们均与时间无关，其实部分别为电场能量密度、磁场能量密度、坡印廷矢量以及损耗功率密度的时间平均值。,（5-2-10）,（5-2-11）,（5-2-12）,【例5.2.1】 将下列场矢量的瞬时表示式、复数表示式互相变换。,解：(1)因为,所以,(2)因为,所以
6、,(3),5.2.2 场方程的复数形式,利用场量的复数表示以及微分、积分运算与复数的取实部可以交换顺序，可以得到，对于单一频率的时谐场，麦克斯韦方程组的复数形式为,在各向同性均匀非导电介质的无源区域内，利用本构方程，麦克斯韦方程组变为,（5-2-17）,（5-2-18）,由此可以导出时谐场的复数形式波动方程为,（5-2-19）,其中 。上述方程也称为齐次亥姆霍兹方程。,或,因此，对于时谐场，在各向同性均匀介质的无源区域内，与式(5-1-7)和(5-1-8)相应的方程为,（5-2-20）,（5-2-21）,5.2.3 复介电常数和复磁导率,在时谐场作用下，表征介质电磁特性的参量介电常数 、磁导率
7、 一般为复数，且其实部和虚部都是频率的函数，即,式中，、”、 ” 都是正数。,复介电常数的虚部反映介质的极化损耗；复磁导率的虚部反映介质的磁化损耗。以极化为例来说明这一点。由式(5-2-12)可得，单位体积极化损耗功率的时间平均值为,（5-2-22）,（5-2-23）,复介电常数、复磁导率的幅角的正切称为损耗角正切，即,（5-2-24）,对于理想的无损耗介质，” = 0，” = 0。所以其介电常数 、磁导率 为实数。 对于导电介质，有 J = E，因此，(5-2-17)第二式写为,上式表明，导电介质中的传导电流和位移电流可以用一个等效的位移电流代替，电导率和介电常数的总效应可用一个等效复介电常
8、数表示，即,(5-2-25),引入等效复介电常数后，导电介质的场方程与有损耗介质的场方程形式上完全相同。,5.2.4 复坡印亭定理,时谐场情形下，由场量和场方程的复数形式，可以得到复数形式的坡印亭定理。 利用矢量恒等式 ，有,将(5-2-17)的第一和第二式代入，作体积分，应用散度定理，有,(5-2-26),上式即为复坡印亭定理。 设介质介电常数 、磁导率 为复数，电导率为 ，则有,将上各式代入式(5-2-26)，得,等式右边实部体积分表示区域V 中的总电磁损耗功率,其中 是单位体积的平均导电损耗功率，后两项分别为单位体积的平均极化损耗功率和磁化损耗功率。总电磁损耗功率等于式左边面积分的实部所
9、表示的通过封闭面流入区域中的平均功率。 式(5-2-27)右边虚部表示的是流入区域中的无功功率，它不能转变为其他形式的能量。,(5-2-27),5.3 理想介质中的均匀平面电磁波,均匀平面电磁波的等相位面为平面，且等相位面上各点的场矢量的方向和振幅都相等。严格地说，在物理世界中并不存在均匀平面电磁波。如果场点远离波源，实际的电磁波，无论是球面波还是柱面波，其波面上的一小部分就十分接近平面了。另外在数学上，无论是球面波还是柱面波，它们都可以表示为平面波的叠加。因此，均匀平面电磁波在理论和实践中都有着重要意义。,5.3.1 均匀平面波解,设无界空间中充满了各向同性均匀理想介质。建直角坐标系。在该坐
10、标系中，电场复矢量表示为,（5-3-1）,(5-3-2),解三个常微分方程(5-3-3)，得,(5-3-4),(5-3-3),E 满足矢量亥姆霍兹方程，因此，每个直角分量 Ei 满足标量亥姆霍兹方程：,变量分离，令 ，代入上方程，可得,于是有,(5-3-6),式中,式(5-3-5)乘以 ejt 取实部，可得其瞬时表达式：,(5-3-5),所以,(5-3-7),称为波矢量，其大小称为波数：,(5-3-8),k 的方向表示波的传播方向。如右图所示。与 k 垂直的平面 S 上，任一点的位矢在 k 上的投影都等于rk，即对于 S 上的任意点，有,(5-3-9),同理可得，H 的亥姆霍兹方程的均匀平面波
11、解为,其瞬时表达式为,(5-3-10),(5-3-11),(5-3-12),式(5-3-9)两边对 t 求导，可得平面电磁波的相速度,平面电磁波的波长,(5-3-13),即 S 是沿矢量 k 方向推进的等相位面。故式(5-3-5)表示沿 k 方向传播的均匀平面电磁波。,1E、H 的振动方向与电磁波传播方向之间的关系,对式(5-3-5)取散度，可得,5.3.2 均匀平面电磁波的特性,因为 E = 0，故,（5-3-15）,(5-3-14),这表明电场强度矢量在垂直于传播的方向上振动。,可见，磁场强度矢量也在垂直于传播的方向上振动，并且 H 与 E 相互垂直。,综上可知，在无界空间传播的电磁波为横
12、波，场矢量 E 和 H 均与电磁波传播方向垂直，且 E 与 H 相互垂直。这种波型称为 TEM 波。,对式(5-3-12)取散度，由 H = 0 可得,且有,（5-3-16）,仍有与上面相同的结论。,2E、H 复振幅之间的关系,由上述讨论可得，均匀平面电磁波电场和磁场复振幅的比值为,对于理想介质， 为实数，这表明，E = H，即在理想介质中的传播的均匀平面电磁波，电场与磁场同相位。, 具有阻抗的量纲，称为介质的波阻抗。真空的波阻抗为,（5-3-17）,（5-3-18）,3相速度 理想介质中的均匀平面波的相速为,（5-3-19）,可见，vp的表达式中不显含 。如果介质的介电常数以及磁导率不是频率
13、的函数，则相速度与频率无关。,4均匀平面电磁波的能量,对于各向同性理想介质中的均匀平面电磁波，由式(5-3-17)，可得电场、磁场的能量密度为,（5-3-20）,可见，在理想介质中，电场能量密度与磁场能量密度时刻相等。由式(5-2-9)和(5-2-10)，电场、磁场的平均能量密度为,均匀平面电磁波的平均能流密度为,根据平均能流密度和平均能量密度的关系，可得，电磁能量传播速度的大小为,（5-3-21）,（5-3-22）,（5-3-23）,（5-3-25）,（5-3-26）,电磁场的总平均能量密度为,【例5.3.1】 理想介质中均匀平面电磁波的频率 f = 151018 Hz ，电场为,试求 (1
14、)波的传播方向； (2) 波长、相速、理想介质的介电常数（设 = 0）； (3)电场振幅中的常数Ey0 ； (4)磁场强度表达式； (5)通过与电磁波传播方向垂直的单位面积的平均功率。,解：(1),所以波矢量的三个方向余弦为,(2),又因 ，所以,(3),所以,(4),(5),所以，通过与电磁波传播方向垂直的单位面积的平均功率为,5.4 导电介质中的平面电磁波,在导电介质中，电场将引起传导电流，这个传导电流会产生焦耳热，从而导致电磁波能量不断损耗。因此，导电介质中的电磁波是一种衰减波。此外，损耗还导致波阻抗、相速、能量和能流都与理想介质中的不同。,5.4.1 导电介质中自由电荷的分布,设导电介
15、质中的电场为 E(r, t)，某区域内存在自由电荷分布 (r, t)。由麦克斯韦方程，有,（5-4-1）,在电场作用下，导体内将产生传导电流。根据欧姆定律，有,（5-4-2）,式(5-4-2)两边取散度，设介质均匀，即 、 皆为常数，利用式(5-4-1)和电流连续性方程 ，有,解此微分方程，可得,（5-4-3）,由此可见，均匀导电介质中，电荷密度总随时间指数衰减。因此，即使在均匀导电介质中引入自由电荷，它将很快流散开去，最终停留在介质表面。故时变情形下，均匀导电介质内部电荷密度为零。,5.4.2 导电介质中的平面电磁波,导电介质中， = 0，J = E。麦克斯韦方程组为,（5-4-4a）,（5
16、-4-4b）,（5-4-4c）,（5-4-4d）,（5-4-5）,则式(5-4-4b)在形式上与理想介质中的相应方程完全一样，即,对于导电介质，可引入等效复介电常数(这里仅考虑导电损耗)：,因此，引入等效复介电常数后，导电介质中的亥姆霍兹方程与理想介质中的亥姆霍兹方程形式也完全一样：,（5-4-6）,其中,（5-4-7）,（5-4-8）,（5-4-9）,其中,（5-4-10）,(5-4-6)第一式的平面波解为,则,导电介质中，平面电磁波的性质：(1)振幅沿传播方向指数衰减由式(5-4-7)，对于导电介质，k 是复矢量：,（5-4-11）,矢量 与 不一定同向。这里仅考虑它们同向的简单情况。设电
17、磁波沿 z 方向传播，即 k = ezk =ez( -j )，则,可见，导电介质中，电磁波的振幅沿传播方向指数衰减。复波矢量的虚部描述波振幅的衰减，称为衰减常数；实部描述波传播的相位关系，称为相位常数。,对式(5-4-11)取平方，并利用式(5-4-7)，可得,比较上式两边的实部和虚部，有,解得,（5-4-13）,（5-4-14）, 和 可如下求得：,2E 与 H 不同相,由式(5-4-9)，可得电场和磁场的复振幅的比值为,(5-4-15),由式(5-4-10)，可得复波阻抗的模和幅角分别为,(5-4-16),(5-4-17),因为 0 ，故 0 /4。可见，E 与 H 不同相，存在相差 E
18、- H = 。,如果电磁波沿 z 方向传播、E 沿 x 方向，则 E 和 H 的瞬时表达式分别为,3相速度是频率的函数,可见，导电介质中，vp 是 的函数，即不同频率的电磁波在导电介质中传播的相速不同，这一现象称为色散。导电性不仅导致了相速的降低，还导致了色散。也就是说，既使介质参数 、 与频率无关，导电介质仍将发生色散。,（5-4-18）,可得，导电介质中平面电磁波的相速度为,4磁场能量大于电场能量,导电介质中，电场、磁场平均能量密度分别为,（5-4-20）,（5-4-19）,可见，磁场平均能量大于电场平均能量。,平均坡印廷矢量为,由于导电作用，Sav 从两个方面被减弱了，一是由于场量振幅的
19、衰减；二是由于 E 与 H 的相位不同。,（5-4-21）,5.4.3 良导体,处于时变电磁场中的导电介质，其内部既存在传导电流也存在位移电流。若导电介质中的位移电流与传导电流相比较可以忽略，则称其为良导体。 对于时谐场，位移电流 ，而传导电流 J = E。良导体条件 表示为,（5-4-22）,若 ，则为不良导体； ，则称为电介质。,对于良导体，由式(5-4-13)、(5-4-14)、(5-4-16)和(5-4-17)，有,(5-4-23),设电磁波从表面 z = 0 进入良导体，则在导体中深度为 z 处，电场为,由式(5-4-23)可知，电导率越大、频率越高，电磁波进入导体后衰减就越快。因此
20、，高频电磁波只能存在于良导体表面的一个薄层内，这一现象称为集肤效应。,(5-4-24a),(5-4-24b),即,定义电磁波场强衰减为表面处的 1/e 时所透入的深度为穿透深度，用 表示，即,所以,对于理想导体，其电导率 ，故 0，即电磁波不能进入理想导体。,5.4.4 导体的损耗 表面电阻,电磁波进入导体，将在导体中引起传导电流。设电磁波沿 z方向传播、E 沿 x 方向，导体表面为 z = 0。则电流密度,（5-4-25）,（5-4-26）,电流沿 z 方向指数衰减，故仅存在于导体表面层内，因此也称为表面电流。通过单位宽度导体截面的电流（亦即表面电流密度的大小）为,表面电流的存在将引起功率损
21、耗。导体内平均损耗功率密度为,所以，单位表面积下导体的平均损耗功率为,(5-4-29),(5-4-27),(5-4-28),由式(5-4-21)，并利用式(5-4-24)和(5-4-23)，可求得，通过单位表面积进入导体的电磁波平均功率为,(5-4-30),式(5-4-29)与(5-4-30)的结果相同，这表明，单位表面积下导体的损耗功率是由通过单位表面积进入导体的电磁波功率转化而来的。 按电路的观点，可将单位表面积下导体的损耗看作是表面电流通过单位表面积下的电阻（简称表面电阻）而产生的，即,(5-4-31),比较式(5-4-29)和(5-4-31)，可得，良导体的表面电阻为,(5-4-32)
22、,比较式(5-4-24b)和(5-4-32)，有,(5-4-33),【例5.4.1】 一平面电磁波垂直向海里传播。海水的电磁参数为 = 80, = 1， = 4 S/m。电磁波在紧切海平面(z = 0)处的电场为求：(1) 海水的损耗角正切，衰减常数，相位常数，波阻抗，相速，穿透深度； (2) 电场强度幅值减小为初值的十分之一时传播的距离； (3) 海平面下处电场和磁场的表达式，以及该处穿过单位面积的平均功率。,解：（1）,，故该频率下海水可以视为良导体，所以,（2）规定海平面下 z 0，则距海平面为 z 处的电场幅值为 E0e- z。由题意，令 e- z = 0.1，得,(3)在海平面下 z
23、 处,所以,5.5 电磁波的极化,无界空间中平面电磁波是横波，因此有偏振现象。偏振也被称为极化。极化方式用电场矢量 E 的端点在垂直于波线的固定平面内的轨迹类型来表示：若 E 矢量端点轨迹是直线，称为线极化；若轨迹是圆，称为圆极化；若轨迹是椭圆，称为椭圆极化。 设均匀平面电磁波沿 z 方向传播，则 E 在 xy 平面内，其复数表达式为,相应的瞬时表达式为,(5-5-1),(5-5-2),联立上两式，消去 t，得到矢量端点的轨迹方程：,(5-5-3),(5-5-4),可见，矢量端点的轨迹取决于两分振动的相差 x-y 以及分振幅 Ex 和 Ey。,1.线极化 若 Ex 、Ey 同相，即 x-y =
24、0，由式(5-5-4)，有,I、 象限内过原点的直线。,上式表明，在给定的平面 z = z0上，矢量端点的运动可以分解为两个相互垂直的同频率简谐振动，其分振动分别为：,2圆极化,若 x-y = /2 ，且 Ex = Ey = E0 ，由式(5-5-4)，有,再由式(5-5-3)可得，任意时刻，矢量与 x 轴的夹角,可见，E 矢量端点的轨迹为圆，E 矢量的旋转角速度 。“+”表示迎着传播方向观察，E 逆时针旋转，称为右旋圆极化波；“-”表示 E 顺时针旋转，称为左旋圆极化波。,若 Ex 、Ey 反相，即 x-y =，则有,、象限内过原点的直线。,3椭圆极化,对于 x 和 y 、 Ex 和 Ey
25、之间为其他关系的情况，由式(5-5-4)可知，矢量端点的轨迹一般为斜椭圆。特别地，当 x- y = /2时，有,长短轴与坐标轴一致的正椭圆。,由上述讨论可知，无论何种极化波，都可以由两个极化方向相互垂直、具有恒定相差的线极化波叠加而成。,判断旋向的简单方法：右手的四指从相位超前的分量以小于 的转角转向相位落后的分量，若拇指的指向与波的传播方向一致，则为右旋，反之为左旋。,【例5.5.1】 判断下列电磁波的极化形式：,解：(1),电磁波沿 z 方向传播，且 Ex 、Ey 相等，x-y =/2，所以为右旋圆极化波。,(2),Ex 、Ey 的相差为 ，故为二、四象限的线极化波。,(3),电磁波沿 y
26、 方向传播， Ex 、Ez 不相等，z -x = /2，为右旋椭圆极化波。,5.6 群速度,单一频率的时谐电磁波的传播速度为相速度。携带着信息的电磁波（简称信号）是由多个频率成分组成的。由于色散，不同的频率成分，其相速不同，因而信号的传播速度不能用相速来描述。对于具有多种频率成分的电磁波，引入群速的概念。 以由两个频率成分组成的信号为例讨论。设这两电磁波的振幅相等，频率相差不大，因而在色散媒质中传播的相位常数也相差不大，其表达式分别为,合成波为,(5-6-1),波形图为,可见，合成波的振幅是受调制的，即合成波是一列行进的波包，称为包络波。包络上最高点的相位推进速度定义为群速度，记为vg。 由式
27、(5-6-1)，包络上最高点的相位为 d z - d t = 0。由此可得，群速度为,(5-6-2),利用相速度的表达式 ,有,可得，群速度与相速度的关系为,可见，当相速不随频率变化即 dvp /d = 0 时，vg=vp。即在无色散情况下，群速等于相速。 若包络的形状随波的传播发生变化，则群速将没有意义。对于宽频带信号，信号包络在传播过程中会发生畸变。因此，只有对窄频带信号，群速才有意义。,(5-6-3),小结内容：无界空间中平面电磁波的传播出发点：无源麦克斯韦方程组方法：引入场量的复数表示,由无源麦克斯韦方程组可以得到亥姆霍兹方程,处理的问题：1. 均匀平面电磁波,TEM 波,理想介质, k, 均为实数平面电磁波的特性：(1) 振幅保持不变(2) E、H 同相(3) 不显含(4) We= Wm,2. 电磁波的极化 两个相互垂直的线极化波可以合成为线极化波 ( = 0 或 )、圆极化波 ( = /2且等幅) 或椭圆极化波 ( 0,)。反过来，一个任意极化波可以分解为两个相互垂直、有恒定相差的线极化波,导电介质c=-j / 为复数,k= - j, =ej也为复数良导体 /1, , 振幅指数衰减 衰减系数E、H 有相差 E -H = 显含We Wm,
