1、第6章 现代控制方法,6.1 计算机优化控制 6.2 最小拍控制6.3 模糊控制理论 6.4 专家系统6.5 神经网络,返回,计算机优化控制就是依据生产过程的工艺信息（如各种工艺参数的测量值）和其他信息（如市场供销情况、原料、环境等），按照生产过程的数学模型等，计算出各个控制回路的设定值，并在线自动改变模拟控制器或直接数字控制器的设定值，从而使生产过程处于优化工况。这样的系统通常称为计算机监督控制系统（SCC或SPC）。其系统框图为：,计算机监督控制系统可分为两种形式。其一是计算机+模拟控制器系统，这种系统是由计算机算出最优设定值并自动去调整控制器的设定值。其二是计算机+DDC计算机两级计算机
2、控制，在这种系统中，计算机负责全过程的优化计算，并将计算得到的优化操作条件传送给DDC计算机，作为它的设定值，由DDC计算机执行过程的动态控制。具有上位机的DCS系统中，上位机完成优化计算，其他微处理器的功能块，例如基本控制器等完成DDC功能。,图6.1 计算机监督控制系统框图,返回,优化计算由上位机或DCS系统中主控制模块做，其计算结果交给下位机去进行对象控制或回路控制。 该系统对象通常由多个对象组成。 计算机优化控制的目的是求出过程的最优操作变量X使生产过程的目标函数 为最大或最小，并满足一定的约束条件 ，即：,或,（6-1）,式中， 为生产过程的操作条件，也就是第一控制级的各个设定值；
3、为生产过程的静态数字模型； 为生产过程的约束条件。,返回,6.1 计算机优化控制,6.1.1目标函数 6.1.2过程优化模型 6.1.3约束6.1.4最优化方程,返回,6.1.1目标函数,目标函数是标志生产过程的一个单值函数。例如利润最大，成本最低，消耗最小，质量最好等，它属于经济模型；对于大多数工业过程来说，常用利润（收益）函数作为目标函数 ，即要求收益为最大，可表示为：,（6-2）,式中：,-产品数量；,-产品,的出售价格；,-成本；,-设备折旧费。,返回,6.1.2过程优化模型,在过程的目标函数确定后，为了求取过程函数的最优化，即求利润函数为最大的操作条件，就必须建立与产量、质量及其有关
4、的各自变量 之间的数学关系，即过程优化模型。 由于大多数装置是在某些稳态操作点附近尽量窄的界限内运行的，而这些操作目标又是使过程朝着目标最大化方向运行的，所以静态模型已是十分令人满意。另外，静态模型的数学表达式要比相应的动态模型简单的多，静态优化模型容易获得，而动态优化模型较难获取。因此，静态优化控制比动态优化控制要多得多。 过程优化模型主要有机理模型和实验测试两大类，也可将两者结合起来。,返回,(1) 机理模型,图6.2 机理模型示意图,从机理出发，也就是根据过程的内在的物理和化学变化过程来建立稳态数学模型，最常用的是解析法和仿真法。解析法适用于原始方程比较简单的场合，对过程描述来建立：,增
5、量法：对输入变量作小范围变化，求出变量间关系,对输入变量作大范围变化时，这时把大范围分段处理，再求取变量间关系,其中:,（6-3）,:机速,（6-5）,（6-4）,返回,(2) 经验模型,对现有生产装置，若条件许可，可利用测试或积累的经验数据，用统计回归的方法得出经验模型。其步骤是：,(1) 确定输入/输出变量：根据对象特征，先加以分析而后确定。(2) 进行测试：这取决于实际情况，尽量扩大选取测试范围，同时 对时滞系统要注意输入/输出状态下系统是否稳定？(3) 数据回归：对线性系统来说，其系统可描述为：可通过最小二 乘法回归的方式求 ， 这时： 最小；也可以 用线性规划方法求取最小。(4) 检
6、验：自身检验：用回归模型的数据来检验，目的是回归正确 与否？曲线拟合的是否好？(5) 交叉检验：用其它数据来测试，其目的是更符合实际情况。,返回,6.1.3约束,约束是过程必须在某些范围内进行的限制条件。这些约束通常是由物理上的限制条件或由市场的限制引起的。 从物理上来说，约束可由如安全、质量、设备的容量、过程特性（如为使副产品最少，反应温度有限制）以及其他类似的来源得出。 约束一般可取两种形式，一种是等式约束，如：,它表示第 个产品的生产率是固定的。另一种是不等式的约束，如：,它表示第 个产品的生产被限制在一个规定的范围内。 和 分别为上限和下限值。由线性规划可知：系统的最优解总是约束方程的
7、边界上。,返回,6.1.4最优化方程,1、 线性规划,a 一个自变量 b 两个自变量 图6.3 说明线性规划原理图示,当自变量是三个时，很难用直观图解法。,当目标函数 是线性的，约束条件为不等式约束 ，且 也是线性时，则可由线性规划方法求解；当 是非线性时则用非线性规划方法求解。,返回,2、 非线性规划,最常用的是单纯形法，但单纯形法必须是凸集。梯度法：如果目标函数J与自变量X的解析关系很清楚，而且对X 值没有约束，最优化点必须在 处，至于该点是 极大值或极小值，则需视 是小于或大于零而定。,返回,6.2最小拍控制,6.2.1 最小拍控制系统6.2.2 最少拍控制系统的设计步骤6.2.3 最少
8、拍控制系统的设计6.2.4 典型输入下的最小拍控制系统分析6.2.5 最小拍控制器,返回,6.2.1最小拍控制系统,最小拍控制系统主要设计指标是快速性,在典型输入信号的作用下,经过最少采样周期,使系统输出在采样瞬时的稳态误差为零,故又称为时间最优控制系统或最小调整时间系统或最快响应系统。,要求闭环系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且其闭环脉冲传递函数式：,其中，N是可能情况下的最小正整数，即闭环脉冲响应(z)在N个周期后变为0,对最少拍控制系统设计的具体要求：,（1）对特定的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样点的输出值准确跟随输 入信号，不存在静差。（2）在各种使系
9、统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准确跟踪输入信号所需的 采样周期数最少。（3）数字控制器必须在物理上可以实现。（4）闭环系统必须是稳定的。,返回,6.2.2 最少拍控制系统的设计步骤,（1）根据控制系统的 性能要求和其它约束条 件，确定所需要的闭环脉冲传递函数(z)。（2）求广义对象的脉冲传递函数G(z)。（3）确定数字控制器的脉冲传递函数D(z)。（4）根据D(z)求取控制算法的递推计算公式。,返回,6.2.3 最少拍控制系统的设计,数字控制系统框图,系统的闭环传递函数为:,（6-5）,因此最少拍系统的数字控制器为:,（6-7）,误差脉冲传递函数为,（6-6）,返回,对于典型输入：,其z变
10、换为：,其中B(z)为不含1-z-1因子的z-1多项式；q =1，输入为单位阶跃输入函数；q =2，输入为单位速度输入函数；q =3，输入为单位加速度输入函数。 根据Z变换的终值定理，求系统的稳态误差，并使其为零（无静差，即准确性约束条件），即：,因此：,这里：,则有：,返回,1、根据最少拍控制，确定最少拍控制的闭环脉冲传递函数(z) （快速性约束条件）,可知(z)中z-1的最高次幂为N = p + q，故系统在N拍可以达到稳态。2、当p = 0时，系统可以在最少q拍达到稳态 上述两点可得最少拍控制器选(z) 为：,最少拍控制器D(z)为：,返回,6.2.4 典型输入下的最小拍控制系统分析,（
11、1）单位阶跃输入（q =1）,，其Z变换为： 。系统闭环传函为： 误差函数 ： 由Z变换定义可知 e (0)=1, e(T)=e(2T)e(3T)=0 用长除法： 上式说明只在1拍内有误差,可知在单位阶跃输入时,有限拍随动系统的调节时间为1T,其中T为采样周期。,（6-8）,返回,（2）单位速度输入（q =2）,，其Z变换为： ，系统闭环传函为： 误差函数为： 由Z变换定义可知 e (0)=0, e(T)=T，e(2T)e(3T)=0用长除法有：上式说明只在2拍内有误差, 因此系统只需2拍就可以达到稳态,（6-9）,返回,（3）单位加速度输入（q =3）,其Z变换为 ， 系统闭环传函为： 误差
12、函数为： 由Z变换定义可知 用长除法： 上式说明只在3拍内有误差,因此系统只需3拍就可以达到稳态,（6-10）,返回,6.2.5最小拍控制器,1、最小拍控制器的可实现性 所谓控制器的可实现性，是指在控制算法中，不允许出现未来时刻的偏差值，即要求数字控制器D(z)中不能有z的正幂次项，如果广义对象的脉冲 传递函数为： ，则由于广义对象中包含零阶保持器，它是滞后 的，因此有： 设数字控制器D(z)为 ： ，则要求： 其含义是：要产生k时刻的控制量u(k)，最多只能利用直到k时刻的误差e(k)、e(k-1)、.以及过去的控制量u(k-1)、u(k-2),返回,系统的闭环脉冲传递函数：,则：,（6-1
13、1）,因为有：,，,则：,上式确定了D(z) 可实现时,(z)应满足的条件：若G(z)的分母比分子高N阶，则确(z)时必须至少分母比分子高N阶。,返回,2、 最小拍控制器的稳定性,在最少拍控制中，闭环传递函数： ，其全部极点都在z = 0处，因此系统输出值在采样时刻的稳定性可以得到保证。但系统在采样时刻的输出稳定并不能保证联系物理过程的稳定。如果控制器D(z)选择不当，控制量u就可能是发散的。系统在采样时刻之间的输出值以振荡形式发散，则实际连续过程是不稳定的。 在最少拍系统设计中，不但要保证输出量在采样点上的稳定，而且要保证控制变量收敛，才能使闭环系统在物理上真实稳定。,最少拍设计 是针对G(
14、z)稳定无滞后设计的，对一般系统有如下改进办法：,若G(z)有u个零点b1, ,bu在单位圆上或圆外，为了保证控制变量收敛，必须选择,(z)含有相同的零点，即：,这样，根据,选取F(z)时，就不能简单的令 ，而应该根据(z) 中的幂次来确定F(z)的次数。 注意：不能采取D(z)和G(z)零极点对消方式，而从理论上得到稳定的闭环系统，其因是：当参数漂移时，零极点对消不能准确实现，系统将出现不稳定的极点，因此应注意在控制器中不应出现与对象不稳定极点相消的极点，即在e(z)的零点中包含G(z)的不稳定极点。,返回,(2)若G(z)中含有纯滞后环节，则可以直接(z)中增加滞后时间大于等于 G(z)
15、纯滞后时间的纯滞后环节。,（6-12）,一般说来，若被控对象有l个采样周期的纯滞后，并有u个在单位圆上或圆外的零点是bi ，v个在单位圆上或圆外的极点aj ，即：,式中G(z)表示不含单位圆上及圆外零极点部分，则选择系统闭环传函必须满足如下约束条件： e (z)零点必须包括G(z)的单位圆上或圆外的极点 (z)的零点包括G(z)的单位圆上或圆外的零点 (z)中增加滞后时间大于等于G(z) 纯滞后时间的纯滞后环节,因此 ：,（6-13）,（6-14）,其中的项数按： ， ， ， 的原则选取，以保证(z)有z-1的最低幂次。而且，如果aj中有k个在z1处，则e (z)中（1-z-1）的总幂次只需取
16、为max（q，k）。,返回,3、最小拍控制器的局限性与适应性 按最小拍原则设计数字控制系统，设计方法直观简单，数字控制器便于在计算机上实现，但也存在不少缺点和问题。存在纹波。最小拍设计只在采样点上保证稳态误差为零，而在采样点之间 输出响应可能是波动的，有时甚至能振荡发散。在这种情况下，系统实际 上是不稳定的。存在着输出纹波，尤其是较大的纹波是系统设计不能允许 的。系统适应性差。最小拍设计原则是根据某类典型输入信号设计的，对其他 类型的输入信号不一定是最小拍的，甚至会产生很大的超调和静差。对参数变化的灵敏度大。最小拍设计是在结构和参数不变的条件下得到的 理想结果（最小拍），当系统的结构和参数发生
17、变化时，系统的性能会有 较大的变化。最小拍闭环系统所有的极点都位于Z平面原点，理论上是可 以证明，这一多重极点系统的参数灵敏度是较大的。控制幅值的约束。按最小拍原则设计的系统是时间最速系统。理论上讲， 采样时间越小，调整时间越短。实际上这是不可能的，因为被控对象一般 存在着饱和特性，控制机构所能提供的能量是受约束的。因此在采用最小 拍设计方法时，必须合理地选取采样周期的大小。,返回,4、有限拍无纹波系统设计 最小拍系统采用Z变换方法进行设计，采样点上的误差为零，不能保证采样点之间的误差值也为零，最小拍系统输出响应在采样点之间存在纹波。纹波不仅造成误差，也消耗功率，浪费能量，而且造成机械磨损。
18、最小拍无波纹系统的设计，是在最小拍控制存在波纹时，对期望闭环响应(z)进行修正，以达到消除采样点之间波纹的目的。系统输出在采样点之间的波纹，是由控制量序列的波动引起的，其根源在于控 制量的Z变换中含有非零极点。 设计最小拍无波纹控制器时，除了选择(z)以保证控制器的可实现性和闭环系统的稳定性之外，还应将被控对象G(z)在单位圆内的非零零点包括在(z)中，以便在控制量的Z变换中消除引起振荡的所有极点 若被控对象有l个采样周期的纯滞后，并有w个非零零点bi，v个在单位圆上或圆外的极点aj，则设计最小拍无纹波系统时，选取：,（6-15）,其中的项数按有波纹设计类似的原则选取，即： ， ， ， 。,返
19、回,举例：,对被控对象 针对单位速度输入设计最少拍无波纹控制器，选择,无纹波系统的调整时间比有纹波系统的调整时间增加若干拍，增加的拍数等于G(z)在单位圆内的零点数目。,（6-16）,（6-17）,（6-18）,返回,6.3 模糊控制理论,6.3.1 模糊集合及其运算 6.3.2 隶属函数6.3.3 模糊矩阵的定义及其运算 6.3.4 模糊逻辑与模糊推理 6.3.5 模糊推理的方式6.3.6 模糊控制器6.3.7 模糊单点算法优化,返回,6.3.1 模糊集合及其运算,1、模糊集合的基本概念,支撑集 (support)：论域U上模糊集A的支撑集是一个清晰集， 它包含了U中所有在A上具有非零隶属度
20、值的元素，即 如图所示：如果一个模糊集合的支撑集为空，则称该模糊集为空模糊集。,(6-19),图6.4 支撑集与 截集,返回,(2) 截集合：模糊集A的截集包含所有在A上具有大于某一隶属度的模糊集合。,(6-20),同理，可以定义模糊集的强截集为,(6-21),图6.5 单点模糊集合,(3) 单点 (singleton) 模糊集合：在论域U中，若模糊集合A的支撑集A仅有一个元素 ，且 ，则称A为单点模糊集合。单点模糊集合A的Zadeh表示法为 。单点模糊集合不仅给出了元素 ，而且给出了元素的隶属度 ，因此，单点模糊集合在模糊控制中特别有用。,(4) 模糊集的高度：模糊集的高度是指 在任意点达到
21、最大隶属度的值。设模糊集合 ，若 ，则称A为U上的正则模糊集合。,返回,(5) 正则（Normal）模糊集：设模糊集合 ，若 ，则称A为U上的正则模糊集合。(6) 凸模糊集 (Collvex)：设 ，模糊集合 ，且 ， 若存在 则称A为U上的凸模糊集。(7) 模糊集的中心（Center）：如果模糊集的隶属函数达到其最大值的所有点的均值是有限值，则将该均值定义为模糊集的中心，如果该均值为正（负）无穷大，则将该模糊集的中心定义为所有达到最大隶属值的点中最小（最大）点的值。,图6.6 正则、非正则凸模糊集 图6.7 典型模糊集合的中心,返回,2 模糊集合的表示法, Zadeh表示法离散论域：如果论域
22、U中只包含有限个元素，该论域称为离散论域。设离散论域U=x1,x2,xn，U上的模糊集合A可以表示为：,其中 不是分数，“+”也不是通常意义上的求和运算，只具有符号意义，,它表示点xi对模糊集A的隶属度是A(xi)。,连续论域：如果论域U是实数域，即UR，论域中有无数多个连续的点，该论域称为连续论域。连续论域上的模糊集合可以表示为,同样这里“”不是积分号， 也不是分数，该式只表示对论域中的,每个元素x都定义了相应的隶属函数A(x)。,(6-22),(6-23),返回,序偶表示法,向量表示法,若将论域U中元素 与其对应的隶属函数值 组成序偶 来表示模糊子集A的话，可以写成：,(6-24),如果单
23、纯的将论域A中的元素 所对应的隶属度值 按顺序写成的矢量形式来表示模糊子集A的话，则可以写成：,(6-25),返回,例：小张家中有五件电器设备 ，其智能化程度的隶属度分别为 、 、 、 、 。则模糊子集A由Zadeh表示法记作,在前面已介绍过了对于supp 称为A的支撑集，对于隶属度为0的元素，认为它不属于此集合，该项表示式可不列入，其表达式为,同样，对于一个有限个数的支撑集来说，则写成一般形式为：,(6-26),对于上述例子用偶序法可以表示成：,对于上述例子用向量法可以表示成：,返回,3、模糊集合的运算 既然模糊集合是普通集合的推广，那么普通集合的一些性质也可以相应地被扩展到模糊集合中。模糊
24、集合之间运算的定义与普通集合的定义是平行的，是普通集合运算的推广。由于模糊集合中没有点与集合之间的绝对隶属关系，因而其运算的定义只能以隶属函数之间的关系来确定。 两个模糊集合A和B的等价(equality)、包含(containment)、补集(complement)、并集(union)和交集(intersection)的定义如下：（1）一般运算：设A，B是同一论域U上的两个模糊集合，它们之间的包含、相等关系定义如下：A包含B，记作 ，有,(6-27),A等于B，记作 ，有,(6-28),返回,（2）交、并、补运算：设A，B是同一论域U上的两个模糊集合，它们之间的交，并，补运算定义如下：A与B
25、的交（intersection），记作 ，有A与B的并（union），记作 ，有 A的补（complement），记作 ，有其中，min和表示取小运算，max和表示取大运算。,(6-29),(6-30),(6-31),返回,模糊集合之间的交和并运算可以推广到U上的n个模糊集合A1，A2，An，表示为,(6-32),(6-33),(6-34),(6-35),返回,4、模糊集合的基本运算定律论域U上的模糊全集E和模糊空集定义如下：,(6-36),(6-37),设A，B，C是论域U上的三个模糊集合，它们的交，并，补运算有下列定律：,恒等律：,交换律：,结合律：,分配律：,吸收律：,同一律：,复原律：
26、,对偶律：,以上八条运算定律，模糊集合和普通集合是完全相同的，但是普通集合的“互补律”对模糊集合却不成立，即,这是因为模糊集合不具有“非此即彼”或“非真即伪”的特性，也可以说，这是模糊集合带来的本质的特性。,返回,6.3.2 隶属函数,1、隶属函数的确定(1)表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合 一般来说，在一定范围内或一定的条件下，所用语言的语义分析中的模糊概念的隶属度具有相当的稳定性；所以根据专家经验确定的隶属函数就有一定的可信度，尤其是最大隶属度中心点或区域的确定。然而从最大值向两边模糊延伸点的隶属度就可能差别较大，它们的确定可以根据人们对于实际情况的不同以及经验的不同而不同。以温度为
27、例：要确定“舒适”温度的隶属函数，某人可以根据他自身经验表示如下： 其中30的隶属度可能确定为0.5，当然你也可以将其隶属度确定为0.4，甚至可能是0.6。这从连接各点后经过平滑处理的特征曲线来看，隶属度减小，该曲线就变得尖锐；增大，曲线就平坦。从控制角度看，曲线越平坦，其响应灵敏度和分辨率就越低，但控制平滑性越好；反之亦然。所以这是一种“大处确定，小处含糊”的处理策略。尽管小处可以含糊，但是还必须遵守一条原则，那就是由最大隶属度区域向两边延伸时，其隶属度只能单调递减，而不允许呈波浪形。这实际上是很好理解的，比如把30的隶属度定为0.5而把40的隶属度定为0.6的话，那就是说，认为20左右是“
28、舒适”温度的情况下，又认为40比30更接近于“舒适”温度，这显然是不合逻辑的。形象地说，这就要求所确定的隶属函数必须是呈单峰馒头形，用数学语言说，就是要求是凸模糊集合。这是第一个要遵守的原则。在实际应用中为了简化计算，常把隶属函数设定成三角形或梯形，这是满足凸模糊集合要求的。,返回,(2) 变量所取隶属函数通常是对称和平衡的 在模糊系统中，每个语言变量可取多个语言值，（语言变量稍后作介绍）。一般情况下，描述变量的语言值安排的越多，即论域中的隶属函数的密度越大，模糊控制系统的分辨率就越高，其控制相应的结果就越平滑；同时计算时间也大大增大。反之则会出现相反的效果甚至有时候系统输入会在希望值附近振荡
29、。经实践证明，变量的语言值取奇数个，在零或正常作用集合两边语言值的隶属函数经常取对称和平衡的。这就是说：设计了变量“温度”的模糊区域“低”，那么一般就有相应的模糊区域“高”与之对应，这也符合人的正常思维。(3) 隶属函数要遵循语意顺序和避免不恰当的重叠 在相同论域上使用的具有语义顺序关系得若干语言值的模糊集合其排列一定要遵循语意顺序排列，不能违背常识和经验，例如把“暖”和“热”的位置对调一下就不适合了；同时由中心值向两边延伸的范围也有限制，间隔的两个模糊集合的隶属函数不能相交重叠这显然与人的感觉相矛盾。在一个模糊控制系统中，隶属函数之间的重叠程度直接影响着系统的性能。在一个极端，如果隶属函数没
30、有重叠，该模糊系统就退化为一般的基于布尔逻辑的系统。当有多个隶属函数相重叠时，给一个确切的输入值，就会同时激活多个规则。隶属函数之间不恰当的重叠，就可能最终导致模糊控制系统产生随意的混乱行为。所以确定隶属函数的第三个原则是间隔的模糊集合不要交叉越界。在大多数实用的例子中，都采用相同斜率的三角形以避免产生交叉越界现象。,返回,(4) 确定模糊控制系统隶属函数的原则意见 .论域中的每个点应该属于至少一个隶属函数的区域，同时它一般应 该属于至多不超过两个隶属函数的区域。 .对同一个输入没有两个隶属函数会同时有最大隶属度。 .当两个隶属函数重叠时，重叠部分对两个隶属函数的最大隶属度不 应该有交叉。 .
31、当两个隶属函数重叠时，重叠部分的任何点的隶属函数的和应该小 于等于1。,返回,2、常用的隶属函数常用的隶属函数有三角形、梯形和正态形3种:（1）三角形隶属函数,（2）梯形隶属函数,（3）高斯隶属函数,三角形隶属函数,梯形隶属函数,高斯型隶属函数,图6.8 隶属函数的三种形态,（6-39）,(6-41),(6-40),返回,6.3.3 模糊矩阵的定义及其运算,1、模糊矩阵 如果对任意的 及 ，都有 ，则称 为模糊矩阵。通常以 表示全体 行 列的模糊矩阵。,2、模糊矩阵的基本运算 模糊矩阵的运算亦类似于模糊集合的运算可分为一般运算和交、并、补运算。,(1) 一般运算：,对任意 ， ， 。,如果 ，
32、 则称模糊矩阵R被模糊矩阵S包含，记为 。,如果 ， 则称模糊矩阵R和模糊矩阵S相等。,模糊矩阵的并： 模糊矩阵的交： 模糊矩阵的补：,(2) 交、并、补运算：,返回,3、模糊关系笛卡儿积： 普通关系是建立在经典集合的笛卡儿积的基础上的。设A和B为论域U上的经典集合，xA，yB，则由U上的序偶(x, y)所构成的集合称为集合A和B的笛卡儿积，亦称叉积或直积。记作,(6-42),可见，笛卡儿积是所有序偶(x, y)的全体所构成的集合。笛卡儿积可以用矩阵表示，设 ， ，则笛卡儿积AB为,(6-43),返回,笛卡儿积的性质：(1) 在笛卡儿积AB中，每个元素分别含A的元素和B的元素，且A的元素在 前
33、，B的元素在后。(2) 笛卡儿积不满足交换律和结合律，即因为(x, y)(y, x), 因此: AB BA；(AB)CA(BC) (6-44)(3) 任一集合可以对自己求笛卡儿积(4) 两个集合的笛卡儿积可以扩展到多个集合的笛卡儿积，如,(6-45),(5) 特别对于三个集合的笛卡尔积，则具有如下性质,若 或 ，则, ； ；,返回,关系的定义： 对于任意n个非模糊集 的笛卡儿积 是所有n对有序对 的非模糊集合，其中 ； 即: 集合 中的一个(非模糊)关系是笛卡儿积 上的一个模糊子集。即，若用 表示 中的一个关系，则:,(6-46),(6-47),返回,模糊关系是定义在清晰集 的笛卡尔积空间 上
34、的模糊集合，它表示为: 其中： 通常用得较多的是n=2时的模糊关系，又称为二元模糊关系。应当指出：模糊关系也是模糊集合，所以可用表示模糊集合的方法来表示。通常当x,y为有限集合时，一般用模糊矩阵来表示。在这个矩阵中的元素是相应有序对属于该模糊关系的隶属度值。,4、模糊关系的定义及其表示,(6-48),返回,当 为有限域时，二元模糊关系 的模糊集表示方法为： 同样，n元模糊关系可以表示为,（1）模糊集表示法,(6-49),(2) 模糊矩阵表示法,(6-50),(6-51),模糊矩阵通常用来表示二元模糊关系，并可进行相应运算。 设 , 为有限集合，AB上的模糊关系R可用nm阶矩阵来表示：,这样的矩
35、阵称为模糊关系矩阵。由于其元素均为隶属函数，因此它们均在0,1中取。,返回,下面介绍模糊关系的合成运算，它在模糊控制中有着很重要的应用。 定义：设R是XY中的模糊关系，S是YZ中的模糊关系，定义R和S的合成 是XZ中的模糊关系，其隶属函数为: 式中xX；yY ；zZ。显然， 是XZ上的一个模糊集合。由定义所表示的模糊关系合成，通常称为 - * 合成运算。最常用的两种关系合成就是最大最小（maxmin）合成和最大代数积（maxproduct）合成，它们的定义如下： 其中：最大-最小合成法，在写出矩阵乘积RS中的每个元素，只不过把每个乘积运算看作一个min运算，每个求和运算看作一个max运算。最大
36、-代数积合成法，在写出矩阵乘积RS中的每个元素，只不过把每个求和运算看作一个max运算。即当x, y和z是离散的有限论域时， - ， - 可分别用max - min和max - 来替换。,5、模糊关系的合成,(6-52),(6-53),(6-54),返回,例: 设模糊关系 ， ， 且模糊关系R和S分别为,， 试用上述两种合成方法求解T的合成关系。,解：（1）最大 - 最小合成法,返回,解：（2）最大 - 代数积合成法,返回,6.3.4 模糊逻辑与模糊推理,1、模糊语言算子 通常在模糊语言前面加上“极”、“非”、“相当”、“比较”、“略”、“稍微”等修饰词，这类用于加强或减弱语气的词可视为一种模
37、糊算子，用于表达模糊值的肯定程度。其中“极”、“非”、“相当”称为集中化算子。“比较”、“略”、“稍微”称为散漫化算子，两者统一称为语气算子。这类修饰词改变了该模糊语言的含义，其相应的隶属度也要改变。 为了规范语气算子的意义，扎德曾对此作了如下约定：用 作为语气算子来定量描述模糊值。若模糊值为 ，则把 定义成,(6-55),设 代表“极”或者“非常非常”，其意义是对描述的模糊值求4次方； 代表“很”或者“非常”，其意义是对描述的模糊值求2次方； 代表“较”或者“相当”，其意义是对描述的模糊值0.5次方； 代表“稍”或者“略微”，其意义是对描述的模糊值求0.25次方；,返回,由于隶属函数的取值范
38、围在闭区间0,1，由于集中化算子的幂乘运算的幂次大于1，故乘方运算后变小，即隶属函数曲线趋于尖锐化，而且幂次越高，越尖锐；相反，松散化算子的幂次小于1，乘方运算后变大，隶属函数曲线趋于平坦化，幂次越高越平坦。,图6.9 集中化算子的强化作用,图6.10松散化算子的强化作用,例如，设原来的模糊语言A，其隶属函数为 ，则通常有,返回,2、蕴涵关系 定义：设A,B分别表示X和Y上的两个模糊集合，则由 所表示的模糊蕴涵是X到Y上的一个模糊关系，即定义在 上的一个二元模糊集。 在模糊控制中，模糊模型是由模糊控制规则构成的，而模糊控制规则的实质就是模糊蕴涵关系。在模糊逻辑控制中，由于模糊关系有许多种定义方
39、法，所以，模糊蕴涵关系相应得也有许多定义方法，在模糊逻辑控制中，常用到如下几种模糊蕴涵关系的运算：,(1) 模糊蕴涵最小运算(Mamdani),(6-56),对于有限集 ， ，有,(6-57),返回,(2) 模糊蕴涵积运算(Larsen),(6-58),对于有限集 ， ，有,(6-59),(3)模糊蕴涵算术运算(Zadeh),(6-60),返回,(4)模糊蕴涵最大最小运算(Zadeh),(6-61),(5)模糊蕴涵布尔运算,(6-62),除上述5种模糊蕴涵关系运算方法外，还有其它定义方法，这里不再赘述。但无论哪种方法，其推理结果必须符合人们的直观判据，不能出现相反的推理结果，实践证明在上述五种
40、蕴涵关系运算中，只有 和 的推理结果较满足人们的直观判据。,返回,6.3.5 模糊推理的方式,1.推理模型,2.推理方法,3.模糊推理的性质,返回,在形式逻辑中，我们经常使用三段论式的演绎推理，即由大前提、小前提和结论构成的推理。这种推理可以写成如下模型： 大前提： 如果X是A，则Y是B 小前提： X是A 结 论： 则Y是B 在这种推理过程中，如果大前提中的“A”与小前提的“A”是完全一样的，则结论必然是“B”，这即是二值逻辑的本质。在这种推理过程中，不管“A”与“B”代表什么，推理是普遍适用的。目前的计算机就是基于这种形式逻辑推理进行设计和工作的。如果大前提中的“A”与小前提的“A”不一致，形式逻辑就无法再进行推理，因此计算机也无法进行推理。,1、推理模型,返回,(1) 单输入单输出模糊推理模型 大前提： 如果X是A，则Y是B 小前提： X是 结 论： 则Y是 其中，A和 是x上的模糊集；B和 是y上的模糊集。,但是在这种情况下，人是可以进行思维和推理的。关于模糊推理可以概括成以下几个模型：,(2) 多规则、单输入单输出模糊推理模型 大前提1： 如果X是A1，则Y是B1， 大前提2： 如果X是A2，则Y是B2 大前提m： 如果X是Am，则Y是Bm。 小前提： X是 结 论： 则Y是 其中， 和 是X上的模糊集，B和 是Y上的模糊集。,
