1、精品资源欢下载课 题：9. 4直线和平面垂直（四）教学目的：1 .掌握三垂线定理及其逆定理的证明 .2 .正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教 具：多媒体、实物投影仪 .教学过程：一、复习引入：1.直线和平面的位置关系（1）直线在平面内aua （无数个公共点）；（2）直线和平面相交 apa =A （有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行 a/ （没有公共点）2 .线面平行的判定:定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直/ .线平行，那么这条直线和
2、这个平面平行.l推理模式：l 二1m 二：l/m= l/二 .m -.3 .线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：l / ： ,1： , ：n：=m = l / m ,4 .线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直.其中直线叫做平面的 垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.直线与平面垂直简称 线面垂直，记作：a a.5,直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.6 .直线和平面垂直的
3、性质定理：如果两条直线同垂直于 一个平面，那麽这两条直线平行.7 三垂线定理 在平面内的一条直线， 如果它和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面 的一条斜线的垂直关系；PO _La,O wet（2）推理模式：PApct = A = a_LPA .aca,a 1 OA8.三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂 直，那麽它也和这条斜线的射影垂直.PO _Lct,OW a推理模式： PADs=A =a_LAO.a 二吃 a _ AP注意：三垂线指 PA PQ AO都垂直”内的直线a其实质是：斜线和平面
4、内 一条直线垂直的判定和性质定理.要考虑a的位置，并注意两定理交替使用 三、讲解范例：例1如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔AB ,高15m,只有量角器和皮尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？解：在道路边取点 C ,使BC与道路边所成的水平角等于 90：, 再在道路边取一点 D，使水平角/CDB =450，测得C,D的距离等于20m BC是AC在平面上的射影，且 CD _L BCCD _L AC （三垂线定理） 因此斜线段AC的长度就是塔顶与道路的距离，ZCDB =45,CD _L BC,CD =20m,BC =20m ,在 Rt MBC 中得 | AC |= Jab2 +BC2 =
5、J13 +202 = 25（m）, 答：电塔顶与道路距离是 25m .例2.点A为ABCD所在平面外的一点，点 O为点A在平面BCD内的射影, 若 AC _LBD,AD _L BC ,求证：AB .LCD .证明：连结OB,OC,OD,. AO _L 平面 BCD，且 AC _L BDBD _OC （三垂线定理逆定理） 同理OD _ BC , . O 为 MBC 的垂心，OB_LCD, 又AO _L 平面 BCD , AB _LCD （三垂线定理） 例3.已知：四面体S-ABC中，SA_L平面ABC,AABC点A在面SBC上的射影，求证： H不可能是ASBC的垂心. 证明：假设H是&SBC的垂
6、心，连结BH，则BH _LSC, . BH _L 平面 SBCBH是AB在平面SBC内的射影，SC _L AB （三垂线定理）又 SA _L平面ABC , AC是SC在平面ABC内的射影AB 1 AC （三垂线定理的逆定理）MBC是直角三角形，此与“ MBC是锐角三角形矛盾假设不成立，所以，H不可能是ASBC的垂心.例4.已知：如图，在正方体 ABCDAB1C1D1中，E是CC1的中点, F是AC,BD的交点，求证： AF _L平面BED .证明：AA _L平面ABCD , AF是AF在面ABCD上的射影又AC _L BD ,A1F _L BD取BC中点G ,连结FG, B1G ,A1B1 _
7、L 平面 BCC1B1, FG _L 平面 BCGBi , B,G为AF在面BCGB上的射影，又.正方形BCCiBi中，E,G分别为CCi,BC的中点,BE _LB1G , A1F _LBE （三垂线定理）又. EBp|BD=B,AF _l 平面 bed .四、课堂练习：BC= 10, PA= 5,求点 P到直线1 .如图，PAL ABC所在平面，AB= AC= 13, BC的距离.参考答案：设BC的中点为D,连结PDAB= AC= 13, BC= 10,ADL BC.且 AD= 12.又 PA1平面 ABG - PD BC即PD的长度就是 P到直线BC的距离.而 PD= 13.2 .如图，l
8、是平面a的斜线，斜足是O, A是l上任意一点，AB是平面a的垂线,B是垂足，设 0或平面a内与OB不同的一条直线，AC垂直于OD于C,若直线 l与平面a所成的角。=45 , / BOC= 45 ,求/ AOC勺大小.参考答案：连结BCAC是斜线、ABi a0BC_LCOW3=ct, V 0 =45BC是射影AC10DOCu 0.* BO 褊 A0= 72a*在RtABOC中，,/BOC = 45，OC二，在RBOC11中，有/ AOC=60 .五、小结：我们学习了三垂线定理及其逆定理，定理的证明方法是证明空间两 条直线互相垂直的基本方法，我们称之为线面垂直法；还通过练习的训练加深 了定理的理解，同时得到立体几何问题解决的一般思路.六、课后作业：.七、板书设计（略）.八、课后记：
