1、2019 年高考数学二轮复习平面几何考察的三大问题平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。 有些问题看起来好像很简单， 但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是平面几何考察的三大问题。几何三大问题是:1. 化圆为方 - 求作一正方形使其面积等於一已知圆 ;2. 三等分任意角;3. 倍立方 - 求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢 ?若已知圆的半径为 1 则其面积为 （1）2= ，所以化圆为方的问题等於去
2、求一正方形其面积为，也就是用尺规做出长度为 1/2 的线段 （ 或者是的线段） 。三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90。 、 180。三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢?例如 60 。 ，若能三等分则可以做出20。的角，那麽正18 边形及正九边形也都可以做出来了 （ 注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为 360。 /18=20 。 ） 。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。第三个问题是倍立方。 埃拉托塞尼 （ 公元前 276年公元前 195年) 曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的 8 倍。这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。1637年笛卡儿创建解析几何以彳矍，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。 1837 年旺策尔 (Wantzel) 给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。 1882 年林得曼(Linderman) 也证明了的超越性 ( 即不为任何整数系数多次式的根 ) ，化圆为方的不可能性也得以确立。2019 年高考数学二轮复习平面几何考察的三大问题分享到这里，更多内容请关注高考数学知识点栏目。 第 2 页
