1、圆锥曲线一、知识结构1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0 ，则点P0(x 0,y 0)在曲线C上 f(x。/ 0)=0 ;点 P0(x0,y 0)不在曲线 C上 f(x 0,y 0) wo两条曲线的交点若曲线G, G的方程分别为fi(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则fi(x 0,y 0)=0r点P0(
2、x0,y0)是Ci, C2的交点f 2(x 0,y 0) =0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有 n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线 就没有交点.-4 -2.圆圆的定义：点集：M| | OM| 二r,其中定点。为圆心，定长r为半径.圆的方程:(1)标准方程圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a) 2+(y-b)2=12圆心在坐标原点，半径为 r的圆方程是x2+y2=r2(2) 一般方程当D2+E2-4F 0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为心,一 1),半径是也丁配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为(x+ D)2+(y+ E)2=
3、22D2E2 -4F4.22当D+E-4F=0时，万程表布一个点U请);当D2+E2-4FV0时，方程不表示任何图形点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y 0),I MC| v r 点M在圆C内，| MC| =r 点M在圆C上，| MC| r 其中 I MCI =. (x-a)2 (y0-b)2.(3)直线和圆的位置关系直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交有两个公共点直线与圆相切有一个公共点直线与圆相离没有公共点直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法的大小关系来判Aa Bb C(ii) 利用圆心 C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=,与半
4、径r,A2B23.椭圆、双曲线和抛物线基本知识曲质椭圆双曲线抛物线轨迹条件M | | MF | + | MF | =2a, | F1F2 | v 2aM | | MF | - | MF | .= 2a, | F2F2 | 2a.M | MF| 二点 M 到直线l的距离.圆形*71.1* i -b,J标准方程222- + 2-= =1(a b 0) a b222 - -2- =1(a 0,b 0) a by2=2px(p 0)顶点Ai(-a,0),A2(a,0);Bi(0,-b),B2(0,b)A(0,-a),A 2(0,a)O(0,0)轴对称轴x=0,y=0长轴长：2a短轴长：2b对称轴x=0
5、,y=0实轴长：2a虚轴长：2b对称轴y=0住 日Fi（-c,0）,F 2（c,0）焦点在长轴上Fi（-c,0）,F2（c,0）焦点在实轴上f（ , 0） 2焦点对称轴上焦距I F1F2 | =2c, c= Ja2 - b2I F1F2 | =2c, c= Ja2 b2准线2. a x=c准线垂直于长轴，且在 椭圆外.2. a x=c准线垂直于实轴，且在两 顶点的内侧.x=卫 x2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.离心率e= c,0 e 1 ae=14 .圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e
6、0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线 l称为准线，正常数 e称为离心率.当0vev1时，轨迹为椭圆，当 e=1时，轨迹为抛物线当e1时，轨迹为双曲线5 .坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换 (如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改 变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M它在原坐标系 xOy中的坐标是9x,y),在新坐 标系x O y中的坐标是(x
7、 ,y ).设新坐标系的原点 O在原坐标系 xOy中的坐标是 (h,k),则x=x +hx =x -h(1) 或(2) 1 y=y +ky =y -k公式或(2)叫做平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方程住 日焦线对称轴椭圆(x -h)2 +(y-k)22.2ab( c+h,k)2x= +h cx=hy=k(x-h)2 +(y-k)2,22ba(h, c+k)2y= - +k cx=hy=k双曲线22(x -h) (y - k) _12,2ab( c+h,k)2工a =土+kcx=hy=k22(y-k)(x-h)2.2ab(h, 土 c+h)y= +k cx=hy
8、=k抛物线(y-k) 2=2p(x-h)(p +h,k)x= - +hy=k(y-k) 2=-2p(x-h)(-+h,k)2x=1+hy=k(x-h) 2=2p(y-k)(h,-p +k)y=- *+kx=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,- y +k)y寸+kx=h二、知识点、能力点提示( 一 ) 曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 . 特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误 . 另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标 .三、
9、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质. 椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. (4)了解圆锥曲线的初步应用。四 对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有3 题 (1 个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 ), 共计 22 分左右 , 考查的知识点约为 20 个左右 . 其命题
10、一般紧扣课本, 突出重点 , 全面考查 . 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下， 一般较容易得分， 解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点 , 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系 , 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。- 5 -求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转 化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好 圆锥曲线的定
11、义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用先定形，后定式，再定量 ”的步骤.-38 -定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置定式根据 形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用， 如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=i(m0,n0).定量一心题设中的条件找到我”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小22【例i】 双曲线上 %=i(be N)的两个焦点Fi、F2, P为双曲线上一点,4 b“|OP|5,|PFi|,|FiF2|,|PF2成等比数列
12、，则 b2= 解：设 Fi(c,0)、F2(c,0)、P(X,y),则 |PFi|2+|PF2|2=2(|PO|2+|FiO2) v 2(52+c2), 即 |PFi|2+|PF2250+2c2,又|PFi|2+|PF2|2=(|PFi|_ |pf2|)2+2|pfi| PF2|, 依双曲线定义，有|PF i| |PF2|=4,依已知条件有 |PFi| |PF2|=|FiF2|2=4c2i6+8c2 50+2C2c2 17,3 ,又 c2=4+b2 - ,.-. b2o,bo) b22由 e2= cr2 a2 xa2,得 b 9a 2.两渐近线op1、0P2 方程分别为 y= 3 x y= -
13、 - x 2233设点 P1(x1, - x1),P2(x2,- - x2)(x1 o,x2o),则由点P分RP；所成的比=空=2, PP2得P点坐标为（32x2 X1 2x2又点P在双曲线32 x 2 a,2所以(x1 2X2) 9a2(x124y2.-2-=1 上, 9a_=1 c 2,9a），又 |OR |292x1x14sin P1OF22 tan P Ox1 tan2 P|OxJ3x1,|0P|2 j 12d 91314x2292-x24. 13x22S P10P21八八八& | OF1110P2 | sin F1OF213一 “x?41213274由、得a2=4,b2=922故双曲
14、线方程为上=1.49【例5】过椭圆2C: -y-2 a2K 1(a b 0)上一动点P引圆O： x2 +y2 =b2的两条切线 b2PA、PB, A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于 M、N两点。(1)已知P点坐标为(xo, y0 )并且X0y0W0,试求直线 AB方程；(2)若椭圆的短轴长为22 OR8,并且a25 ,求椭圆 C的万程；(3)椭圆C上| OM |2 |ON |216是否存在点P,由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解：(1)设 A(Xi, y1), B(x2, y2)切线 PA: x1x y1y b2 , PB: x2x y2
15、y b2P 点在切线 FA、PB 上，xiXo yy0,2.2bx2xoy2yo b直线 AB 的方程为 x0x y0y b2(x0y0 0)(2)在直线AB方程中，令2y=0,贝U M( , 0)；令 x=0,贝U N(0 xoyo2, 22222ab ayx0a25222(2)2| OM |2|ON|2 b2a2b2b2162b=8b=4 代入得 a2 =25, b2 =1622椭圆C方程：y 1(xy 0)(注：不剔除xyw0,可不扣分)25 16 假设存在点 P(x。，y。)满足PAXPB,连接OA、OB 由 |PA|=|P B| 知,四边形PAOB为正方形，|OP|二 J2|OA|-
16、222 xy0 2b 又.P点在椭圆C上a2x2 b2y2 a2b2222、2. 2由知x0 b .22b ), ya ba bab0a2 b20当a2-2b20,即a*5b时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直;(2)当a2-2b20,即ba即y 2一 (x 5),过定点(5, 2).k2 1(3)将 A(m,2)代入 y2 4x得m 1,设直线 DE 的方程为 y kx b,D(x1,y1),E(x1,y1),y kx b,)由2得k2x2y 4x一 一 2_2(kb 2)x b2 0,y1 2 y2 22,2一 -y2一2(221),x1 1 x2 1且y1 kx1 b, y2
17、 kx2 b2、，一 ,、，(k 2)x*2 (kb 2k 2)(x1洛2(kb 2)b2府 K x2 2,x1x2k2k2b (k 2).将bk2代入ykxb彳导ykx将b2k代入ykx京导ykx定点为(1, 2)2【例8】已知曲线合2 aB (0, b)两点，原点。到l2(2) (b 2)2 0,代入化简得b2 (k 2)2, b (k 2).k2k(x1)2,过定点(1, 2).2kk(x1)2,过定点(1,2),不合，舍去，二 1(a 0,b 0)的离心率e，直线l过A (a, 0)、 b23.3.2(I )求双曲线的方程;(n)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若OMON 23 ,
18、求直线m的方程.解：(I)依题意，1方程冬-y- a b为啦，得 ab ab 332.a2 b2 c 22故所求双曲线方程为工y2 131,即bx ay ab 0,由原点。到l的距离又e c 21b 1,a.3a 3(n)显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx- 1,则点M、N坐标(x1，y1)、(X2, y2)是方程组y kx 1的解消去 y,得(1 3k2 所求的椭圆方程为1. 94 (2)方法 由题知点D、M、N共线，设为直线 m,当直线m的斜率存在时，设为 k,则直线m的方程为y = k x +3代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x2 +54 k +45 = 0 由判别式 (
19、54k)2 4 (4 9k2) 45 0 ,得 k2 5. 再设 M (x 1 , y 1 ), N ( X2 , y2),则一方面有DM(X1* 3) DN(X2,y2 3) ( X2, (y2 3),得)x2 6kx 6 02依设，1 3k 0,由根与系数关系，知XiX26k6-72, xi X2-723k 1 3k 1OM ON (X1,y1)(X2,y2) X1X2 y1y2x1x2(kx1 1)(kx2 1)22=(1 k )x1x2 k(x1x2) 1 = 6(1 k ) 6k3k2 1 3k2 13k2 16.1OM ON23z- 1=-23, k= 3k2 121当k= 1时，
20、万程有两个不等的实数根2故直线I方程为y 1x 1,或y -x 12222【例9】 已知动点P与双曲线 匕 1的两个焦点23FF2的距离之和为定值,1且 cos F1PF2的最小值为 一.9(1)求动点P的轨迹方程;(2)若已知 D(0,3) , MN在动点P的轨迹上且DMDN ,求实数的取值范围.解：(1)由已知可得:、.5a2 a2 (2c)22a22222a 9 , b a c 4x1x2yi3(V2 3)另一方面有Xi X254k452 , XiX24 9k24 9k将XiX2代入式并消去X 2可得32444362-2 9 ,由刖面知， 0 - 一5（1） kk 59324 281,解
21、得 15.5（1）255又当直线m的斜率不存在时，不难验证： 1或 55所以15为所求。5方法二：同上得X1X2yi3(y23)设点 M (3cos a , 2sin a ), N (3cos 3 ,2sin 3 )则有cos cos2sin 3(2 sin 3)由上式消去a并整理得13 2185 ,十sin 2, 由于 1 sin 112()1 13一218一5 1 ,解得15为所求.12()5方法三：设法求出椭圆上的点到点D的距离的最大值为 5,最小值为1.进而推得的取值范围为15。5【求圆锥曲线的方程练习】一、选择题1 .已知直线 X+2y3=0与圆X2+y2+X 6y+m=0相交于P、
22、Q两点，O为坐标原点，若 OPXOQ,则m等于（）A.3B.-3C.1D.-12 .中心在原点，焦点在坐标为（0, 5四）的椭圆被直线3X-y-2=0截得的弦的中点的横 ，, ， 1 一，一、一一， 坐标为1 ,则椭圆方程为（）2_ 2_ 2八 2x22y2.A.-1257522x yC. 一 -125 75B.至75x2D.-75宜1252匕125二、填空题3 .直线l的方程为y=x+3，在l上任取一点P,若过点P且以双曲线12x2 4y2=3的焦点作 椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为 .4 .已知圆过点P(4, 2)、Q(1, 3)两点，且在y轴上截得的线段长为 4/3,则该圆的方
23、程为.三、解答题5 .已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，它的一个焦点为 F, M是椭圆上的任意 点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以 y=x为轴的对称点 M1和M2,I且|M1M2|=W0 ,试求椭圆的方程.6.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.2x-2 a7.已知圆C1的方程为(x2)2+(y1)2=20，椭圆C2的方程为32J2三=1(a b 0), C2的离心率为-，如果C1与C2相交于A、b22B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线 AB的方程和椭圆 C2的方程.参考答案一、1.解析：将直线方
24、程变为x=32y,代入圆的方程x2+y2+x6y+m=0,得(3 2y)2+y2+(3 2y)+m=0.整理得 5y220y+12+m=0,设 P(xi,yi)、Q(X2,y2)12 m yiy2=,yi+y2=4.5又二 P、Q在直线x=3 2y上,xix2=(3 2yi)(3 2y2)=4yiy2 6(yi +y2)+9故 yiy2+xix2=5yiy26(yi+y2)+9= m 3=0 ,故 m=3.答案：A222.解析：由题意，可设椭圆方程为：22 。=i,且a2=50+b2,a b22即方程为_y_ A_=i.50 b2 b2将直线3xy 2=0代入，整理成关于 x的二次方程.由 x
25、i+x2=i 可求得 b2=25,a2=75.答案：C二、3.解析：所求椭圆的焦点为Fi( 1,0),F2(1,0),2a=|PFi|+|PF2|.l上找一点P.使|PFi|+|PF2|最小，利用对称性可解.欲使2a最小，只需在直线22答案：二匕=1544.解析：设所求圆的方程为2(4 a) ( 2 b) 则有(1 a)2 (3 b)：|a |2 (2 3)2 r2(x a)2+(y b)2=r22ab2 r13ab2 r27由此可写所求圆的方程 答案：x2+y2 2x 12=0 或 x2+y210x8y+4=0三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=a c,则(a+c)(ac)=
26、a2c2=b2,22，b2=4,设椭圆方程为三工1a24设过Mi和M2的直线方程为y= - x+m将代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m2 4a2=0设 Mi(xi,yi)、M2(x2,y2),MiM2 的中点为(x0,y0),21 ,、 a mx0= - (xi + x2)=242代入y=x,得-a-4 a,y0= xo+ m=a4m/2 ,4 a4m4 a2由于 a24,，m=0,，由知 Xi+x2=0,xix2=-4a22a又|MiM2|= . 2 (x1 x2)2 4x1 x24.103代入xi+x2,xix2可解a2=5,故所求椭圆方程为:=i.6.解：以拱顶为原点，水平线为
27、x轴，建立坐标系,如图，由题意知，|AB|=20, |OM|=4, A、B 坐标分别为(10, 4)、(10, 4)设抛物线方程为 x2= 2py,将A点坐标代入，得 100= 2pX4),解得p=12.5,于是抛物线方程为 x2=-25y.由题意知E点坐标为(2,4), E 点横坐标也为2,将2代入得y=0.16，从而 |EE |=(0.16) ( 4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.2227.解：由e=匚,可设椭圆方程为 J =1,22b2故所求椭圆方程为-匕=1.168b2又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y+y2=2,2222又三，1,丹冬=1,两式
28、相减，得2bb 2bb2 x12 x22b222y1y22- =0,b即(Xi+x2)(xi x2)+2(y1+y2)(y1 y2)=0.化简得y-y2 = 1,故直线AB的方程为y=-x+3, Xi X2.230代入椭圆方程得3x2 12x+18 2b2=0.有 A=24b2720,又伊8|=45r1x2)2 4x1x2得跖,%g0 ,解得b2=8.191 3直线与圆锥曲线【复习要点】直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置 关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析
29、问题和解决问题的能力、计算能力较 高，起到了拉开考生 档次”，有利于选拔的功能.1 .直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2 .当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用笔达定理法”设而不求计算弦长(即应用 弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用 差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点 坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q,
30、且OPOQ, FQF、10 ,求椭圆方程.解：设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m0,n 0), P(xi,yi),Q(x2,y2)y x 1由 22得(m+n)x2+2nx+n1=0,mx ny 134n2 4(m+n)(n1) 0,即 m+n mn0,由 OPOQ所以 x1x2+y1y2=0，即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,2(n 1) 2n +1=0, m+n=2 m n m n又 2 4(m n mn)m n呼)2,将m+n=2,代入得m n= 34由、式得 m= ,n= 或 m= ,n= 一2222故椭圆方程为 工+3y2=1或3*2y2=1.2222【例2】如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5, 0),倾斜角为一的4直线l与线段OA相交(不经过点。或点A)且交抛物线于 时直线l的方程，并求 4AMN的最大面积.M、N两点，求4AMN面积最大解：由题意，可设l的方程为y=x+m,5vmv 0.y x mcc由方程组 2，消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 y 4x直线l与抛物线有两个不同交点M、N,，方程的判别式A=(2m 4)2 4m2=i6(1 - m)0,解得mv 1,又一5v mv 0,，m的范围为(一5, 0)设 M (Xi,yi),N(X2,y2)则 xi+x2=4 2m, xi X2=m2,|MN|=4 2(1 m).点A到直
