1、高考概率大题专项题型一.解答题1 .某年级星期一至星期五每天下午排 3节课，每天下午随机选择1节作为综合 实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践 课程.(1)求这两个班 在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班 在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的概率分布表 与数学期望E (X).2 .甲、乙两人组成 星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语, 在一轮活动中，如果两人都猜对，则星队”得3分；如果只有一个人猜对，则星队”得1分；如果两人都没猜对，则 星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是-J, 影响.假设 星队”参加两轮活动，求:乙每轮
2、猜对的概率是每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不(I)星队”至少猜对3个成语的概率；(II)星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX第1页(共27页)3某小组共10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1， 2， 3的人数分别为 3， 3， 4，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会（ 1）设A 为事件 “选出的 2 人参加义工活动次数之和为4” ，求事件A 发生的概率；（ 2）设X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望4某商场一号电梯从1 层出发后可以在2、 3、 4 层停靠已知该电梯在 1 层载有 4
3、 位乘客，假设每位乘客在2、 3、 4 层下电梯是等可能的（I）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（n）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望.第 2 页（共 27页）5 .集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为1, 1, 2,且每个电子元件能否正常工作相互独立，2国网若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且 维修集成电路E所需费用为100元.(I )求集成电路E需要维修的概率；(R)若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成 电路所需的费用，求X的分布列
4、和期望.6 .某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有 3个红球、1个白球的 甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的内箱中 各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区 别)红球个数3210实际付款半价7折8折原价(I)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概 率；(n)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？7 .为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中 学举办一
5、次中学生围棋擂台赛.比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好 出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者 被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手， 依此类推，直到一方的队员 全部被淘汰，另一方算获胜.假若双方队员的实力旗鼓相当(即取胜对手的概率 彼此相等)(I )在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率.(R )记双方结束比赛的局数为 g求己的分布列并求其数学期望EE8 . M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了 14名男生和6名女生， 这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，公司规定：成绩在180 分以上者到 甲部门”工作；180分以
6、下者到 乙部门”工作.另外只有成绩高于180 分的男生才能担任 助理工作”.(I )如果用分层抽样的方法从 甲部分”人选和乙部分”人选中选取8人，再从 这8人中选3人，那么至少有一人是 甲部门”人选的概率是多少？(n)若从所有 甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任 助理 工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望.男16 8由S 619 0 2886240,.第二种方案比较划算.(12分)7.为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中 学举办一次中学生围棋擂台赛.比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好 出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜
7、者留下进行下一局比赛，负者 被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手， 依此类推，直到一方的队员 全部被淘汰，另一方算获胜.假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率 彼此相等）（I ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率.（R ）记双方结束比赛的局数为 g求己的分布列并求其数学期望EE【解答】解：（I ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有 3名选手， 而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜 3场，或者比赛四场要胜三场， 且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是1+匚一（n）记双方结束比赛的局数为匕则七=34,牛（自二3）二卜（宫二c；c：e）8号所以己的分布列为E345
8、PL工48S数学期望E &二3X事+以金得乂|孝 40608. M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了 14名男生和6名女生， 这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180 分以上者到 甲部门”工作；180分以下者到 乙部门”工作.另外只有成绩高于180 分的男生才能担任 助理工作”.（I ）如果用分层抽样的方法从 甲部分”人选和乙部分”人选中选取8人，再从 这8人中选3人，那么至少有一人是 甲部门”人选的概率是多少？（n）若从所有 甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任 助理 工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望.男女8 S 6U6
9、8右 5 4 3 21765 4 2ifl5 63 2 1190 2【解答】解:(I)用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为根据茎叶图,所以选中的有 甲部门”人选10人，乙部门”人选10人，甲部门”人选有10x2=4人，E部门”人选有10x2=4人,55用事件A表示 至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件A表示 没有一名甲部门人被选中“，贝Up (a) =1 p(a)=1=1 4 -1356 14因此,至少有一人是 甲部门”人选的概率是14(H)依据题意，所选毕业生中能担任 助理工作”的人数X的取值分别为0, 1,P (X=0)=-L30,P(X=1)=i 2 c凡 10310140,解得
10、 n.所以 n=4或n=5.设生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A, 则p(A)Y号)隈%号)5患.10. 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为5, 15, (15,25 , (25, 35 , (35, 45,由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)，(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5, 15内的小球个数为X,求X 的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)X 10=1解得 a=0.03;又由最高矩形中点的横坐
11、标为20,可估计盒子中小球重量的众数约为 20,而50个样本小球重量的平均值为:X=0.2X 10+0.32X20+0.3X30+038X40=24.6 (克)故估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6克.（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在515内的 0.2;(3,），X=0, 1,2, 3;(X=0)(X=1)=c3 x(一)3125(X=2)(X=3)=d X2x5 1256a4812125125125即 E (X) =0X64125+1X48125+2X12125+3X11 .某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中
12、有男、女生共 10人（其中女生人数多15于男生人数)，如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为(1)求该小组中女生的人数;(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为每个男生通过的概率均为2;现对该小组中男生甲、男生乙和女生内 3个人进行 3测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量g求己的分布列和数学期望.第23页(共27页)a =3 =;712.16363636 -36(E =2 二1 一3一362 巧吟吟吟吗【解答】解：(1)设该小组中有n个女生，根据题意, 解得n=6, n=4 (舍去)， 该小组中有6个女生；(2)由题意，己的取值为0,1,2, 3;
13、a =oLJ J g Jb一士的分布列为:01369 2x1|+3X1712.2536 -12216363123612.某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生 数如下表所示：机械工程学海洋学院医学院人数(I )从这20名学生中随机选出3名学生发言,求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（R ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为g求随机变量己的概率分布列和数学期望.【解答】解：（I ）从20名学生随机选出3名的方法数为点口，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数
14、为：（II）己可能的取伯:为0,1,2, 3,316 5X7X16 283 -3X 20X19 -5720i 93C 16X6 J4_ 1-3x20x19-% 13X2019285v20v20所以己的分布列为0123P_571995285所以E二二三,二 十三一三；二：13.甲、乙两名同学参加 汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人 5 次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（I ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（n）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析， 设
15、抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X,求随机变量X的分布列和期望EX【解答】解：（I ）茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好.(H)随机变量X的所有可能取值为0, 1, 2.,16,、 2。；8 产 11P(X二。】二一j5 P(K，)二 -jnr，P(K= 2)二一jj二 r1 r1r1 r1 2br1 r*1 25气匕05随机变量X的分布列是：14.某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一 年后可能获利10%,可能损失10%,可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别 为上,亍，-1;如果投资乙项目，一
16、年后可能获利 20%,也可能损失20%,这两 种情况发生的概率分别为 a和B (/B =1 .(1)如果把10万元投资甲项目，用 己表示投资收益(收益=回收资金-投资资 金)，求己的概率分布及E2(2)若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求 ( 的取值范围.【解答】解：(1)依题意，己的可能取值为1, 0, -1,p a =1 卷p a =0 4，一士的分布列为：10-1pill 244E$- 1=L. (6)2 4 4(2)设”表示10万元投资乙项目的收益，则”的可能取值为2, -2,P =2 =%P (42)=就7的分布列为42- 2p0cB二 Et =2垢20 =
17、4ot2,二.把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,- 4 a 2亍，解得0)会.(12分)15.袋中装有围棋黑色和白色棋子共 7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为 方.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，, 取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止.每枚棋子在每一次被摸出的机会都 是等可能的.用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.(1)求随机变量X的概率分布列和数学期望 E (X);(2)求甲取到白球的概率.2匚宴 1X- 1) 1【解答】解：设袋中白球共有x个，则依题意知： W号，即 ； 专,C 7 1J即x2- X- 6=0,解之得x=
18、3, (x=-2舍去).(1分)(1)袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1, 2, 3, 4, 5.舄3P (x=1) K（5分）（注：此段（4分）的分配是每错1个扣（1分），错到4个即不得分.随机变量X的概率分布列为:X1234P所以E (X)=1x3351+2X-.+3X-L+4xJL+5X773535135=2.1而（6分）（2）记事件A二中取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件:A尸甲第1次取球时取出白球A2=中第2次取球时取出白球A3=中第3次取球时取出白球舄 qAt CAt 1依题意知：P （A1）三,P （A2）一唉，P （A3）一吗，分）A； 7A； 35a；
19、 35（注：此段（3分）的分配是每错1个扣（1分），错到3个即不得分.） 所以，甲取到白球的概率为P（A）=P（A1） +P（A2）+P（A3）22（10分）16.小王为了锻炼身体，每天坚持 健步走”，并用计步器进行统计.小王最近 8大健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表） .健步走步数（千卡）16 17 18 19消耗能量（卡路里）400 44 480 5200（I ）求小王这8天 健步走”步数的平均数；（n）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天,设小王这2天通过健步走消耗的 能量和”为X,求X的分布列.【解答】（本小题满分13分）第27页（共27
20、页）解：（I）小王这8天 健步走”步数的平均数为:1&X3-HTX2M8X 1+19X2=17, 25 （千步）.（4分）8X,840, 880, 920.800I840i88041592021517.某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示,其中成绩分组间是：80, 90）,90, 100）, 100, 110）, 110, 120（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在90, 100）内至多1名学生； （2）在成绩是80,
21、 100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在90, 100）内的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望EX10a=1(+-+-图，得;）X10，第31页（共27页）解得a= 20成绩在80, 90）分的学生有36 X1120X 10=3 人,成绩在90,成绩在100100)分的学生有36xLx10=6人，60110)分的学生有 36xJ-X10=18A,成绩在110120）分的学生有36 X140x 10=9 人;记事件A为抽取3名学生中同时满足条件的事件包括事件A1二抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在90, 100）分之 问”，事件A2二抽取3名学生中，1人成绩不
22、低于110分，1人在90, 100）分之间”, 且A1、A2是互斥事件； .P (A) =P (A1+A2) =P (A1) +P (A2)=C； *c21C9 。之C；i +C 3627 3634 170 85（2）随机变量X的可能取值为0, 1, 2, 3;C . P (X=0)=- CCp (X=1)=-14一28*cP (X=2)=rJLg521L AP (X=3)=:C5xX的分布列为X 0123P 工一一8414 2S 21数学期望为 EX=0XX+1x J_+2xJ.+3xJL=2.8414282118 .一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验, 这5
23、件产品中优质品的件数记为n .如果n=3,再从这批产品中任取2件作检验, 若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4,再从这批产品中任取1件作检 验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=5,则这批产品通过检验；其他 情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批 产品作质量检验所需的费用记为x (单位：元)，求x的分布列.【解答】解：(1)由题意知：第一次取5件产品中，恰好有k件优质品的概率为： P (k)=)5, k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 这批产品通过检验的概率：P= W e)5 ,产 (7)5g) ,任尹 X (/) ?+5 x|l) 6 +(/)5* .)5=(2)由题意得X的可能取值为1000, 1200, 1400,32P (
