1、专题一数列-5【知识框架】【知识要点11一、数列的概念1 .数列是按一定顺序排列的一列数，记作ai,a2,a3an,简记an.2 .数列an的第n项an与项数n的关系若用一个公式 an=f（n）给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。3 .如果已知数列an的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an-i （或前几项）间的关系可以用一个 式子来表示，即 an =f （an-1）或an =f （an-1, an-2）,那么这个式子叫做数列 an的递推公式.4 .数列可以看做定义域为N* （或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。二、数列的表示方
2、法：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。三、数列的分类1 .按照数列的项数分：有穷数列、无穷数歹U。2 .按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。3 .从函数角度考虑分：（考点）递增数列递减数列摆动数列常数数列有界数列对于任何 对于任何 例如:1, 例如：6, 存在正数n C N+,均有 an+1 ann C N+,均有 an+1 an-1, 1, -1, 1, -1-6, 6, 6, 6, 6M ,使 an M四、an与Sn的关系:（考点）2. an=4 (nFL Sn-Sn-1(n 2)n1. Sn = a+a2+a3+ +an=a,i
3、 1【例题1】已知数列an是递增数列，其通项公式为an=n2+入n (n=1 , 2, 3)，则实数入的取值范围解析:;数列an的通项公式为an=n2+入n( n=1 , 2, 3)数列是递增数列an+i-an=(n+1)2+ 入(n+1- n2-入 n=2n+1+入0 恒成立,2n+1 +入的最小值是 3+入 ，3+入0.,入3实数 入的取值范围是(-3, +8)【例题2】数列an的通项公式为an=3n2-28n,则数列各项中最小项是( B )A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项228解析1: an=f(n尸3n 2-28n, f(n)是一兀二次函数，其图像开口向上，有最低点，最低
4、点是6由于n N+,故取n=4和n=5代入，得到a4=-64 , a5=-65 ,故选择 B解析2:设an为数列的最小项，则有2531解得：一 n 66| an an-1- anW an+1故n=5代入化简得到r 3n2-28n3(n-1)2-28(n-1)I 3n2-28n 2)【知识要点2等差数列】1 .定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即an-an-1=d (nC N+,且n2,或者an+1-an=d (nCN + )2 .通项公式：an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d(公式的变形)an=a
5、n+b其中 a=d, b= a1-d3 .前n项和公式：Snn(ai anj.snna1n(n- 1) d(公式的变形)Sn=An2+Bn其中 A= dB= a1-22224 .性质：(1)公式变形如果A= a+b,那么a叫做a和b的等差中项. 2(3)若 an为等差数列，且有 k+l=m+n,则ak + a|=am+an(4)若an, bn为等差数列则 pan +qbn是等差数列，其中p,q均为常数(5)若an为等差数列，则ak,ak+m,ak+2m,. (k,m? N*)组成公差为md的等差数列.(6)若Sm,S2m,S3m分别为an的前n项，前2m项，前3m项的和，则SmSm- SmSm
6、- $m成等差数列(7)若an设等差数列，则&是等差数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的-n2(7)非零等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为2n,则S偶-Sw=nd, S-an-SWan 1U禺n右项数为 2n-1,贝U S偶=(n-1)an, $奇二门2门， 备 n - 15 .判断： 定义法： 中项法:an+1-an=d (nCN + )2an+1=an+ an+2* an为等差数列。通项公式法：an=an+b (a,b为常数)前n项和公式法：Sn=An 2+Bn (A,B为常数)【例题1】已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8 4s4,则aio ( B )(A
7、)172/ 、19(B)2(C) 10(D) 12n(n - 1).解析:Snna d2d=1.1. S8=8a1+28S4=4a1+619S8=4 S4a1=0.5an=a1+(n-1)da1o=25 ,贝U a2 a8 =10【例题2】在等差数列 an中，若a3 a4 a a6 ay解析:因为 an是等差数列，所以a3a7a4a6a?a82a5,a3a4a5a6a75a525 即a5 5 ,所以a2 a8 2a5 10 ,故应填入10.【知识要点3等比数列】1 .定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为零的常熟，那么这个数列就叫做等比数列.这个常熟叫做等比数列的公
8、比，通常用字母q 表示，及 _a竺1 = q(n? N*)an2 .通项公式：如果等比数列an的公比为q,那么它的通项公式为 an = aiqn-1.3 .前n项和公式：,设等比数列an的公比为q,其前n项和Snq na14 .性质：a1(1qn)aanq(1)1 q1 q小4口t a a 0,等比数列 an满足或.耳时，an是递增数列；(q=1)(q4)满足.黑产 an是递减数列当q=1时， an为常数数列;当q2两种情况讨论，然后验证两种情况能否用统一的式子表示。若不能，则分段表示.3 .由递推关系求数列的通项公式【累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法)、迭代法、对数变换法、倒数变换
9、法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、特征根法】1 .累加法：若已知 a1且an - an-i = f (n)(n 3 2)则(an- an-i) + (an-i- an-2)+ (a3 + a2)+ (a2 +ai) = an+ a1 二 f(n)+ f(n- 1)+.+ f(3)+ f(2),即 an =a1+ f(2)+ f(3) + .+ f(n- 1)+f(n).2 .累乘法：若已知 &且-= f(n)(n3 2)，则n-1 ：.1312 = f(n) f(n-1). f(3) f(2)，即an =a1 a2 f(2)
10、 f(3). f (n- 1)f(n)3 .换元法：若已知a1且 an =pan-1 +b(n3 2,且 p p 1 0, p 11)则令bn =an +1,可得bn(其中bn=pbn-1)为等比数列，其中1 =可用待定系数法求出.p- 1【例题1】已知数列an满足an1 an 2n 1,a11,求数列an的通项公式。(累加法)解：由 an an 2n 1 得 an 1 an 2n 1 则an(anan1)(an1an2) L(a3a2)(a2a1)a12( n 1) 1 2( n 2) 1 L (2 2 1) (2 1 1) 12(n 1) (n 2) L 2 1 (n 1) 12(n (n
11、 1) 12(n 1)(n 1) 12n2所以数列an的通项公式为an n o3,求数列an的通项公式。(累乘法)【例题2】已知数列an满足an 1 2(n 1)5n an, a1解：因为 an 1 2( n 1)5n an,阚3,所以an0,则嵬2(n 1)5n ,故ananan1 ： a3 a2-la1an 1 an 2 a2砌2( n 1 1)5n 12(n 2 1)5n 2 L 2(2 1) 522(1 1) 51 3 2n 1n(n 1) L 3 2 5(n)(n 2) L 2 1 3n (n 1)3 2n 1 5 n!n(n 1)所以数列an的通项公式为an 3 2n 1 5 2n
12、!.、考点2：求Sn：1 .公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解2 .倒序相加法：在数列an中，与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的新数列，可用倒序相加法求此数列的前n项和。（此法在实际解体过程中并不常用，例子：等差数列前n项和公式推导）3 .错位相减法：在数列anbn中，an是等差数列， bn是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和.4 .裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的5 .分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分 别求和再相加减。即把复杂的通项公式求和的任务转
13、化为简单的等差和等比的求和。6 .并项求和法：一个数列的前 n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an = （-1）nf （n）类型，可采用两项合并求解.【例题1】设数列an满足&2,an ian 3 22n 1 , （1）求数列 为 的通项公式；（2）令bn nan ,求数列的前n项和Sn。(错位相减法)解析:(1)由已知，当n1时，an 1 (an 1 an) (an an 1)L(a2 a) a3(22n1 22n 3 L 2) 222(n 1) 10而4 2,所以数列 an的通项公式为an 22n 1(2)由 bnnan n 22n 1 知Sn1 2 2 23 3 25 L n 22n 1从而22Sn1 23 2 25327L n22n 1-得(122)Sn2 2325 L 22n 1n 22n 1即Snl(3n 1)22n 1 29的前n项和。（裂项相消法）一, 111【例题2】求数列 -,-,1223 n , n 1（裂项）（裂项求和）解析:设 an 1, vn 1 Vn.n n 1El111贝 U Sn 1.22,3. n n 1= ( .2 J) ( ,3.2)(., n 1、. n)=- n 1 1
