1、高一数学对数函数经典练习题一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知 3a2 ，那么 log3 8 2log 3 6 用 a 表示 是（）A 、 a 2B、 5a 2C、 3a (1 a)2D、 3a a2答案 A。3 a =2a=log32则: log 3 8-2log3 6=log3 2 3 -2log3 (2*3) =3log 3 2-2log3 2+log3 3 =3a-2(a+1) =a-22、 2log a (M2N )log a Mlog a N ，则 M 的值为（）A、 1NB、4C、1D、 4
2、或 14答案 B。 2log a (M-2N） =log a M+log a N， log a (M-2N) 2 =log a (MN），（ M-2N) 2 =MN，M2 -4MN+4N2 =MN，m2 -5mn+4n 2 =0（两边同除 n 2 ）( m ) 2-5m +4=0, 设 x= mnnn22-2* 25 x+ 254 )- 254 + 164 =0(x-252=0(x-252x -5 x+4=0(x) - 49) = 23x-5=322x=5322x4即x1mnmn41又 2log a (M2N )log a Mlog a N ，看出 M-2N0 M0 N0 mn =1 即 M=
3、N舍去， 得 M=4N 即 mn =4 答案为： 43、已知x2y21, x0, y 0，且loga(1 x)1n,则logay 等于（）m,log a 1 xA、 m nB、 m nC、 1 m nD 、 1 m n答案 D。22loga(1+x)=mloga1/(1-x)=n，loga(1-x)=-n两式相加得：loga (1+x)(1-x)=m-nloga(1-x2)=m-n x 2+y2=1， x0， y0,y 2=1- x 2loga(y2)=m-n 2loga(y)=m-nloga(y)= 1 (m-n)24.若 x1，x2是方程 lg2 x (lg3 lg2)lgx lg3 lg
4、2= 0的两根，则 xx2的值是 () 1(A) lg3 lg2(B) lg6(C)6(D) 1答案 D6方程 lg 2 x+（ lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的两根为 x1、 x2 ， 注： lg2 x 即（ lgx)2 ，这里可把 lgx看成能用 X，这是二次方程。 lg x1 +lg x 2 = -b= - （ lg2+lg3）lg（ x1 x 2）= -lg（2 3）a lg （ x1 x 2） = -lg6=lg1 x1 x 2=1则 x1?x2 的值为 1。66615、已知 log 7 log 3 (log 2x)0 ，那么 x 2 等于（）A 、 1B、13C、 12D
5、、 133223答案 Clog 7 【 log3 (log2 X) 】 =0 log3 (log2 x)=1log 2 x=3x=8113 ( 1 )311132x=82 =22=22 = 2 2=23 = 2 2 = 426已知 lg2= a， lg3= b，则 lg 12等于（）lg 15A 2a bB a 2bC 2a bD a 2b1 a b1 a b1 a b1 a b答案 Clg12=lg3*2*2=lg3+lg2+lg2= 2a+blg15=lg30 =lg30-lg2=lg3*10-lg2=lg3+1-lg2=b-a+1（注： lg10=1 ）2 比值为（ 2a+b)/(1-a
6、+b)7、函数 ylog(2 x1)3x2 的定义域是（）A、 2 ,1 U 1,B、1 ,1 U 1,32C、 2,D、 1,32答案 A3x20x23y log(2 x 1) 3x 2 的定义域是 2x10x1x2, x 1232x11x1答案为：2 ,1 U 1,38、函数 ylog1 (x26x 17) 的值域是（）2A、 RB、 8,C、, 3D、 3,答案为： C ,y=(-,-3 x2-6x+17=x 2-6x+9+8=(x-3) 2+8 8 ， log 1= log11=(-1) log 2 = - log2 ( -22log2 x 单调减log 1x 单调减log 1(x-3
7、)2+8单调减 .,为减函数22x 2 -6x+17 =(x-3) 2+8 ,x 取最小值时 (x-3)2+8 有最大值(x-3)2+8=0 最小 ,x=3,有最大值 8,log1(x-3)2+8= log1 8= - log2 8= -3, 值域 y -3 y=(-,-3 注：22Y=x2-6x+17顶点坐标为（ 3， 8），这个 Y 为通用 Y9、若 log m 9log n 9 0 ，那么 m, n 满足的条件是（）A、 m n 1B 、 n m 1C、 0 n m 1D 、 0 m n 1答案为： C对数函数的定义：一般地，我们把函数y=logax （a 0，且 a 1）叫做对数函数，
8、其中x是自变量，函数的定义域是（0， +），值域是 R。对数函数的解析式： y=logax（ a 0，且 a 1）。对数函数的底数为什么要大于0 且不为1？【在一个普通对数式里 a0,或=1的时候是会有相应b 的值。但是， 根据对数定义： log以 a 为底 a 的对数； 如果 a=1 或 =0 那么log 以 a 为底 a 的对数就可以等于一切实数（比如 log 11 也可以等于2， 3， 4， 5，等等）】分析：根据对数函数的图象与性质可知，当x=9 1 时，对数值小于0，所以得到m与 n 都大于 0 小于 1，又 log 9log9，根据对数函数的性质可知当底数小于1 时，取相同的自变量
9、，mn底数越大对数值越小，所以得到m大于 n log m9 0，log n9 0，得到 0m 1， 0 n 1；又 log m9 log n9，得到 m n，m n 满足的条件是 0 nm 1lg 9（注另解： log m9 0， log n90，得到 0 m 1，0 n 1；也可化成logm9= lg m ，lg 9lg 9 lg 911logn9= lg n，则 lg m lg n 0 由于 lg9 大于 0 lg m lg n nm,0 n m 1【注：换底公式a,c均大于零且不等于 1】10、 log a21，则 a 的取值范围是（）3A、 0, 2U 1,B 、 2 ,C、332 ,
10、1D 、 0, 2U2 ,333答案为： A.0a1 时则 loga(x)是减函数 , 1=loga(a), 2, 即 loga(2/3)a 此时上面有 0a1 综述得 0a1 时则 loga(x)是增函数，loga(2/3)1（即 log a a）2 2/31 综述得取 a1 有效。 0a111、下列函数中，在0,2 上为增函数的是（）A、 ylog 1 ( x1)B、 ylog2x212C、 ylog 21D、 ylog 1(x24x5)x2答案为： D。A、x+1 在（ 0,2 ）上是增函数1 复合函数 y 就是个减以 2 为底的对数就是一个减函数函数。B、x21 在（ 0,2 ）上递增
11、，但又不能取 1 的数， x1 不在定义域（0,2 ）内 不对。这种情况虽然是增，但（0,2 ）内含有 0 且 1 真数 0）函数 y=log1(ax 2+2x+1) 的值域为 R2 ax 2 +2x+1 恒 0, 令 g(x)=ax 2 +2x+1, 显然函数 g(x)=ax 2 +2x+1 是一个一元二次函数（抛物线） , 要使 g(x) （即通用的 Y）恒 0,必须使抛物线开口向上, 即 a 0同时必须使 0（保证抛物线始终在x 轴上方 , 且与 x 轴没有交点 , 这也是不能为0 的原因） ( 注：如 0，且 a1）的 y 次幂等于 x，那么数 y叫做以 a 为底 x 的对数，记作lo
12、g ax=y，其中 a 叫做对数的 底数， x 叫做真数 。 y 叫对数 ( 即是幂 ) 。 注意： 负数和 0 没有对数。底数 a 则要 0 且 1，真数x0。并且，在比较两个函数值时：(a1 时 )如果底数 a一样 ，真数 x越大 ，函数值 y越大 。是增函数 。(0a1 时 )如果底数 a一样 ， 真数 x越小 ，函数值 y越大 。是减函数 。对于不同大小a 所表示的函数图形：关于X 轴对称：以上要熟记】解题： y=log a(2 ax) 在区间 0 ，1 上是 x 的减函数， a0，真数（ 2-ax ）已经是减函数了，然后要使这个复合函数是减函数, 那么对数底a 要是增函数，增减复合才
13、得减，由函数通用定义知要使函数成增函数必a1。2又函数定义域： 2-ax 0得 ax 2, x a又 a 是 对 数 的 底 数a 0且 a 1 。 0,1 区 间 内 2-ax递 减 , 当x 1(取最大时 )a取最大时即-ax最大时， 2-ax 取得最小值，为 2-a 。22 a 的取值范围 1a0, t33 3( 注：这里 xx26 f (x) 的定义域为3,。（2） f ( x) 的定义域不关于原点对称(x2 非负 ) ， f ( x) 为非奇非偶函数。19、已知函数f ( x)log 3mx28xn 的定义域为 R ，值域为0,2 ，求 m,n 的值。x21解题：f （ x） =lo
14、g 3mx28 x n的定义域为 R， x 2 +1 0， mx2 +8x+n0 恒成立x21mx28 xnmx28 xn令 y=x21，函数 f （ x）的值域（即 log 3x 21）为 0 ， 2 ， 1 y（即mx2 8x n） 9 。 y(x 2 +1)=mx 2 +8x+nyx 2+y -mx 2 -8x-n=0（ y-m）x21?x 2 -8x+y-n=0成立。x R，可设 y-m0，方程的判别式=64-4 （ y-m）（y-n ） 0-16 + （y-m）（ y-n ）0即 y2 - （ m+n） y+mn-16 0 y=1 和 y=9 是方程 y 2 - （ m+n）y+mn
15、-16=0 的两个根，by 1 +y 2 = - a =m+n=10， y 1 +y 2 =mn-16=9。m=10-n,(10-n) n-16=910n-n 2 -25=0n 2 -10n +25=0(n-5) 2 =25m=n=5。若 y-m=0，即 y=m=n=5 时，对应的 x=0，符合条件。综上可得，m=n=5。2log 1 x 2 +7logxx20. 已知 x 满足不等式1 x +3 0，求函数 f （ x） =log 2 4log 2 2的最22大值和最 小值。（换元法是必须要有的）求多种方法。解题：第种解 ：设 a = log1x，则原不等式22log 12x 2 +7log
16、12x +3 0 可化为： 2a 2 + 7a + 3 0a30a32a10a(a + 3) (2a + 1) 01 无解2a30a33 a12a 10a122 3 a 1 3 log1 x 1222 3 log 2 x 13log 2 x3log 2x1log 2 x 32log 2 x1log 2 x1222 12 log 2 x 3 。解以上不等式的所有方法中, “因式分解法”较为简便.xxf （ x） =log 24log2 2 = (log 2 x log 2 4) (log 2 x log 2 2)=(log 2 x 2) (log2 x 1)设 m = log2x , 12 lo
17、g2 x 3（已证） m 12 ,3 于是问题转化为：求函数 y = f(x) = ( m 2 ) ( m 1 ) 的最大值和最小值 .这是典型的“闭区间上的二次函数求最值”问题.y = f(x) = ( m 2 ) ( m 1 )y = f(x) = m2 3m 2 = m2 - 6 m+9- 1244y = f(x) = (m 23) 2 41其中 m 21 ,3 考察二次函数 y = f(x) = (m3) 2 124m =b=23 、最小值为14 、关键是定义域为 m 21 ,3 .开口向上、对称轴为 2 a画出二次函数 y = f(x) = (m23) 2 41的图像 ,由图知：对称
18、轴在定义域范围之内,故当 m = 3时 , 函数 y = f(x)取到最小值1；24当 m = 3 时 , 函数 y = f(x)取到最大值 , 把 m = 3代入二次函数表达式求得该最大值为：(3 3 ) 2 1=（ 6- 3) 21= 9 1 =2.2422444第种解 ：设 a = log1x2则原不等式2log 12x 2 +7log12x +3 0 可化为：2a 2 + 7a + 3 0 （这种基本化解要熟）(a + 3) (2a + 1) 0 3 a 12 ( 同上化得 ) 3 log1x 12( 同上化得 )2 12 log12 x log 2 2 31 2 32 x 3log 2 2 2 log2 2 x2 x 8 x 2 ,8xxf （ x） =log 24log 22 =(log2 x log 2 4) (log2 x log2 2)= (log2x2)
