1、专题层级快练(六十一)1(2021广东七校第二次联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为的直线与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点，证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列答案(1)y21(2)证明略解析(1)由题意，得解得又b2a2c21，椭圆C的方程为y21.(2)证明：设直线l的方程为yxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意知m0，由消去y，得x22mx2(m21)0.则4m28(m21)4(2m2)0，则0mb0)，右焦点为F2(c，0)因为AB1B2是直角三角形，且|AB1|AB2|，所以B1AB
2、290，因此|OA|OB2|，可得b.由c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24得b24，所以a25b220.因此所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知B1(2，0)，B2(2，0)由题意知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为xmy2.代入椭圆方程并整理得(m25)y24my160.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2，y1y2.又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2
3、(m21)y1y24m(y1y2)1616.由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以直线l的方程为x2y20或x2y20.3(2021唐山市摸底考试)已知F为抛物线T：x24y的焦点，直线l：ykx2与T相交于A，B两点(1)若k1，求|FA|FB|的值；(2)点C(3，2)，若CFACFB，求直线l的方程答案(1)10(2)3x2y40解析由已知可得F(0，1)，设A，B，由得x24kx80，所以x1x24k，x1x28.(1)|FA|FB|1124k26.当k1时，|FA|FB|10.(2)由题意可知，(3，3)由CFACFB得cos，cos，即，又|FA|1，|FB|1，所
4、以，化简并整理得42(x1x2)x1x20，即48k80，解得k，所以直线l的方程为3x2y40.4(2021太原高三二模)已知直线l与抛物线C：x22py(p0)相交于两个不同的点A，B，点M是抛物线C在点A，B处的切线的交点(1)若直线l经过抛物线C的焦点F，求证：FMAB；(2)若点M的坐标为(2，2p)，且|AB|4， 求抛物线C的方程答案(1)证明略(2)x22y或x24y解析由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)证明：由题意可得F，当k0时，直线l：ykx，由得x22pkxp20，易得抛物线C在点A处的切线方程为yy1(xx1)，即y
5、x，在点B处的切线方程为yx.由得M，kFMkABk1，FMAB.当k0时，直线l：y，M，FMAB.综上，FMAB.(2)由题意知k0，设直线l：ykxm，由得x22pkx2pm0，4p2k28pm，易得抛物线C在点A处的切线方程为yy1(xx1)，即yx，在点B处的切线方程为yx，由得满足0，|AB|x1x2|444，解得p1或p2，抛物线C的方程为x22y或x24y.5(2021湖北八校第一次联考)已知椭圆C：1(ab0)过点(2，1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)已知斜率为的直线l与椭圆C交于两个不同的点A，B，点P的坐标为(2，1)，设直线PA与PB的倾斜角分别为，证明：
6、.答案(1)1(2)证明略解析(1)由题意得解得所以椭圆C的方程为1.(2)证明：设直线l：yxm，联立方程组消去y，得x22mx2m240，4m28m2160，解得2m2.当m0时，直线l：yx，点P在直线l上，不满足题意，舍去设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22m，x1x22m24，由题意，易知直线PA与PB的斜率均存在，所以，.设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，则tank1，tank2，要证，即证tantan()tan，只需证k1k20，因为k1，k2，所以k1k2，又y1x1m，y2x2m，所以(y11)(x22)(y21)(x12)(x1m1)(x22)(x12)
7、x1x2(m2)(x1x2)4(m1)2m24(m2)(2m)4(m1)0，所以k1k20，故.6(2020课标全国)已知椭圆C：1(0m5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP|BQ|，BPBQ，求APQ的面积答案(1)1(2)解析(1)C：1(0m5)，椭圆C的焦点在x轴上，a5，bm，根据离心率e，解得m或m(舍)，C的方程为：1，即1.(2)根据题意画出图形，如图，过点P作x轴垂线，垂足为M，设x6与x轴交点为N，|BP|BQ|，BPBQ，PMBQNB90，PBMQBN90，BQNQBN90，PBMBQN，根据三角形全等
8、条件“AAS”，可得PMBBNQ，1，B(5，0)，|PM|BN|651，设P点为(xP，yP)，可得P点纵坐标为yP1，将其代入1，可得：1，解得：xP3或xP3，P点为(3，1)或(3，1)，当P点为(3，1)时，|MB|532，PMBBNQ，|MB|NQ|2，可得：Q点为(6，2)，A(5，0)，Q(6，2)，可求得直线AQ的方程为2x11y100，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为d，根据两点间距离公式可得：|AQ|5，APQ面积为5；当P点为(3，1)时，|MB|538，PMBBNQ，|MB|NQ|8，可得：Q点为(6，8)，A(5，0)，Q(6，8)，可求得直线AQ的方程为8x11y400，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为d，根据两点间距离公式可得：|AQ|，APQ面积为.综上所述，APQ面积为.
