1、第 3 讲导数的简单应用一、选择题1.(2019 山西太原模拟 )设函数 f(x)=1x3-x+m 的极大值为 1,则函数 f(x) 的极小值为 ()3A.- 1 B.-13C.31 D.1答案 A f (x)=x 2由f (x)=0得x12所以f(x)在, 上单调递增 在上-1,=-1,x =1,(- -1), (-1,1)单调递减 ,在(1,+ )上单调递增 ,所以 f(x) 在 x=-1 处取得极大值 ,易知 f(-1)=1, 得 m=31,f(x)111在 x=1 处取得极小值 , f(1)=3 13-1+3 =-3.2.(2019 山东泰安模拟 )已知 f(x)= 14x2+sin(
2、 2 + x) , f (x)为 f(x) 的导函数 ,则 y=f (x)的图象大致是 ()11答案A 易知 f(x)=4 x2+cos x,所以 f (x)=2 x-sin x, f (x)为奇函数 ,排除 B,D;当 x=6 时, f(x)=-1 f(e)f(3)B. f(3)f(e)f(2)C. f(3)f(2)f(e)D. f(e)f(3)f(2)答案D 易知 f(x) 的定义域是 (0,+),f (x)= 1-ln?2,当 x(0,e)时, f (x)0;当 x(e,+ )?时 , f (x)f(3)f(2).26364.(2019 四川成都摸底 )已知函数 f(x)=x 3-ax
3、在(-1,1)上单调递减 ,则实数 a 的取值范围是()A.(1,+ ) B.3,+ )C.(- ,1D.(- ,3答案Bf(x)=3x 2又f(x)在(-1,1)上单调递减 2在(-1,1)上恒成立 -a,3x-a0,a 3.5.(2019 广东广州模拟 )设函数 f(x)=x3200+ax ,若曲线 y=f(x) 在点 P(x , f(x )处的切线方程为x+y=0,则点 P 的坐标为 ()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)答案Df(x)=3x2曲线f(x)在点P处的切线方程为x+y=0,+2ax,20又0320 当0时0当0时0点3?=1,f(x
4、)=-1;)=1.0+2ax =-1,x+?+a?=0,00x = 1,xx =-1, f(xP 的坐标为 (1,-1)或(-1,1).6.(2019 广东广州模拟 )若函数 f(x)=e x(sin x+acos x)在(,) 上单调递增 ,则实数 a 的取值42范围是 ()A.(- ,1B.(- ,1)C.1,+) D.(1,+ )答案Af(x)=exsin x+cos x-a(sin x-cosx),当 a=0 时 , f(x)=ex(sinx+cosx),显然x( 时恒成立 排除、 当时xcos x,显然 x( 时4 , 2 ), f (x)0,C D;a=1, f (x)=2e4 ,
5、 2 ), f (x)0恒成立 ,所以选 A.二、填空题7.函数 f(x)= 1+ln? 的增区间是,曲线 f(x) 在点 (1,1)处的切线方程是.?答案(0,1( 或 (0,1)y=1解析第一个空 :函数 f(x)= 1+ln? ,x0,f (x)=-ln?2,显然当 012 ) ,当x(-2,0)时 , f(x) 的最小值为1,则a=.答案1解析由题意知 ,当x (0,2)时, f(x) 的最大值为-1,1111f (x)=?-a.令 f (x)=0,得 x=?, a2,0?2.当 0x0;当 1 x2 时 , f (x)0.?f(x) max1解得=f(?) =-ln a-1=-1,a
6、=1.9.(2019 湖北武汉模拟 )若函数 f(x)=2x 2-ln x 在其定义域的一个子区间 (k-1,k+1) 内存在最小值 ,则实数 k 的取值范围是.1,3答案2 )f(x) 的定义域为 (0,+ ),f (x)=4x- 1,由 ?-11 k + 1,解得解析,由 f (x)=0 解得 x=1 2?2?-1 0,1k0).若 a0,则 f (x)0, f(x) 在 (0,+ )上单调递增 ,此时 f(x) 无极值点 ;若 a0,则令 f (x)=0,得 x=1 ,?当 x(0, 1?) 时 , f (x)0;1当 x( ?,+ ) 时 , f (x)0 时 , f(x) 有一个极大
7、值点 x=?1,无极小值点 .12-ax+a(aR).12.(2019 贵州贵阳模拟 )已知函数 f(x)=ln x+ x2(1)若函数 f(x) 在 (0,+ )上为单调递增函数 ,求实数 a 的取值范围 ;(2)若函数 f(x) 在 x=x1 和 x=x 2 处取得极值 ,且 x2 ex1(e 为自然对数的底数 ),求 f(x 2)-f(x 1)的最大值 .1解析(1)f (x)= +x-a(x0), 且 f(x) 在(0,+ )上单调递增 ,当 x0 时,恒有 f (x) 0,即?1 +x-a 0 在 x(0,+)上恒成立 , a (?+ 1 ),x0,? min又 x0 时,x+12?
8、 1当且仅当x=1时取“=”,?=2,a 的取值范围是 (-,2.(2)f(x) 在 x=x 1 和 x=x2 处取得极值 , x1,x2 是方程 f (x)=0,即 x2-ax+1=0 的两个不相等的实数根 ,由根与系数的关系得x1+x2=a,x1x2=1,f(x 2)-f(x 1)=ln?2+1222-x1)=ln?2-122?2-12 21=ln?2-1(?2(?-?)-a(x?(?-?)=ln?2(?-?)? ?2212212 1111121?2?1?- ? ) ,12?(te),令 h(t)=ln11设 t= 2t- (?-) (te),?2?1则 h(t)=11(1 +1(?-1)
9、 2-2 ) =-2f(x),n N* ,则有 ()A.en f(-n)enf(0)B.enf(-n)f(0), f(n)f(0), f(n)enf(0)D.en f(-n)f(0), f(n)0,g(x),?(-?)?(0) ?(?)f(n)enf(0). 故选 A.g(-n)g(0)g(n),即e-? e 0 e?,即 enf(-n)f(0),2.已知定义域为 R 的函数 f(x) 的导函数 f (x) 的图象如图所示 ,且 f(-2)=f(3)=2, 则函数 f(x)的增区间为,若g(x)=(x-1)f(x),则不等式g(x)2x-2的解集为.答案1,+ )-2,1 3,+ )解析根据导函数的图象可知,当 x1 时 , f (x) 0,函数 f(x) 单调递增 ,故函数 f(x) 的增区间为 1,+ 不).等式 g(x) 2x-2 等价于 (x-1)f(x)-2 0.由于 f(-2)=f(3)=2, 且函数在 (-,1)上递减 ,在(1,+ )上递增 ,所以当 x-2 时,x-10,则 (x-1)f(x)-20; 当-2x 1时 ,x-10, f(x)-2 0,(x-1)f(x)-2 0;当 1x0, f(x)-20,(x-1)f(x)-20, f(x)-2 0,(x-1)f(x)-2 0.故不等式 g(x)2x-2 的解集为 -2,1 3,+ ).
