1、第 3 讲导数的简单应用一、选择题13-x+m 的极大值为 1,则函数 f(x) 的极小值为 ()1.(2019 山西太原模拟 )设函数 f(x)=x311A.- 3 B.-1C.3D.1答案 A212上f (x)=x -1,由 f (x)=0 得 x=-1,x =1,所以 f(x) 在(-,-1)上单调递增 ,在 (-1,1)单调递减 ,在(1,+ )上单调递增 ,所以 f(x) 在 x=-1 处取得极大值,易知 f(-1)=1, 得 m=13,f(x)在 x=1 处取得极小值 , f(1)= 1 13-1+1 =-1.333122.(2019 山东泰安模拟 )已知 f(x)= 4x +si
2、n( 2 + x) , f (x)为 f(x) 的导函数 ,则 y=f (x)的图象大致是 ()1x2+cos x,所以 f (x)=1答案A 易知 f(x)= 42x-sin x, f (x)为奇函数 ,排除 B,D;当 x=6 时, f 1(x)=- f(e)f(3)B. f(3)f(e)f(2)C. f(3)f(2)f(e)D. f(e)f(3)f(2)答案易知的定义域是1-ln?当 x(e,+ )Df(x),当 x(0,e)时, f (x)0;(0,+ f ),(x)=2?时 , f (x)f(3)f(2).4.(2019 四川成都摸底 )已知函数 f(x)=x 3-ax 在(-1,1
3、)上单调递减 ,则实数 a 的取值范围是()A.(1,+ ) B.3,+ )C.(- ,1D.(- ,3答案Bf (x)=3x 2-a,又 f(x) 在(-1,1)上单调递减 ,3x2-a0,x(, ) 时, f (x)0恒成立 ,排除 C、 D;当 a=1 时, f (x)=2excos x,x (, )4242所以选 A.二、填空题7.(2019 湖南长沙调研 )已知 y=f(x) 是奇函数 ,当 x (0,2)时, f(x)=ln x-ax(?21) ,当x(-2,0)时 , f(x) 的最小值为 1,则 a=.答案1解析由题知 ,当 x(0,2)时, f(x) 的最大值为 -1,11f
4、 (x)=?-a.令 f (x)=0,得 x=?,当 0x0;当 x1 时, f (x)0.?1f(x) max=f( ?) =-ln a-1=-1,解得 a=1.8.(2019 湖北武汉模拟 )若函数 f(x)=2x 2-ln x 在其定义域的一个子区间 (k-1,k+1) 内存在最小值 ,则实数 k 的取值范围是.3答案1, 2 )解析f(x) 的定义域为 (0,+f ),(x)=4x-,由 f (x)=0 解得 x= ,由 ?-11 k + 1,解得 211?2?-1 0,31k2 .9.(2019 宁夏银川诊断 )若函数 f(x)=ax 3+3x2-x 恰好有三个单调区间 ,则实数 a
5、 的取值范围是.答案(-3,0) (0,+)解析f (x)=3ax2+6x-1,由 f(x) 恰好有三个单调区间 ,得 f (x)有两个不相等的零点 .10.(2019 江西上饶模拟 )若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点 ,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值为.答案2解析易知 y=x2-ln x 的定义域为(0,+当),点P 是曲线的切线中与直线y=x-2平行的直线的切点时 ,点P 到直线y=x-2的距离的值最小,如图所示.令 y=2x-1解得所以所以点P到直线y=x-2的距离的最小值dmin|1 -1 -2|?=1,x=1,P(1,1),=2= 2.三、解答题11.(
6、2019 福建六校联考节选 )已知函数 f(x)=(x-1)e x- 12ax2.讨论 f(x) 的单调性 .解析f(x) 的定义域为 (- ,+ ),f (x)=ex+(x-1)ex-ax=x(ex-a).(i) 若 a0,则当 x (- ,0)时 , f (x)0,所以 f(x) 在 (-,0)上单调递减 ,在(0,+ )上单调递增 .(ii) 若 a0,由 f (x)=0 得 x=0 或 x=ln a.若 a=1,则 f (x)=x(ex-1)0,所以 f(x) 在 (-,+ )上单调递增 .若 0a1,则 ln a0;当 x(ln a,0)时 , f (x)1,则 ln a0,所以当
7、x (-,0)或 x(ln a,+ )时,f (x)0;当 x(0,ln a)时 , f (x)0,所以 f(x) 在 (-,0),(ln a,+ )上单调递增 ,在 (0,ln a)上单调递减 . 综上 ,当 a0 时, f(x) 在 (-,0)上单调递减 ,在(0,+ )上单调递增 ;当 0a1 时 , f(x) 在(-,0),(ln a,+ )上单调递增 ,在 (0,ln a)上单调递减 .12.(2019 江西宜春模拟 )已知函数 f(x)=lnx-ax(aR).1时,求 f(x) 的极值 ;(1)当 a=2(2)讨论函数 f(x) 在定义域内极值点的个数 .解析当1时 ,f(x)=l
8、n1112-?(1)a=2x- x,定义域为 (0,+ ),f(x)= -=,2?22?令 f (x)=0, 得 x=2,当 x 变化时 , f (x), f(x) 的变化情况如表所示 .x(0,2)2(2,+ )f (x)+0-f(x)ln 2-1所以 f(x) 的极大值为 f(2), f(2)=ln 2-1,无极小值 .(2)f(x) 的定义域为 (0,+ ),11 -?f (x)=?-a= ? (x0).若 a0,则 f (x)0, f(x) 在 (0,+ )上单调递增 ,此时 f(x) 无极值点 ;若 a0,则令 f (x)=0 得 x=?1,当 x(0, 1?) 时 , f (x)0
9、,1当 x( ?,+ ) 时 , f (x)0 时 , f(x) 有一个极大值点 x= 1 ,无极小值点 .?13.(2019 安徽合肥质检节选 )已知函数 f(x)=ex cos x-x.求函数 f(x) 在区间 0, 上的最大值和最小值 .2解析x(cos x-sin x)-1,g(x)=-2exsin x0在0, 上恒成立 且仅令 g(x)=f (x),则 g(x)=e2 ,在 x=0 处等号成立 , g(x)在0, 2上单调递减 ,g(x)g(0)=0, f (x)0,且仅在 x=0 处等号成立 , f(x) 在0, 2 上单调递减 , f(x) max=f(0)=1, f(x) min =f( 2 ) =-2 .
