1、轴对称图形全章复习与巩固一知识讲解(提高)【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解线段、角的轴对称性，并掌握与其相关的性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法 【知识网络】-的性质一轴对称成轴对称的两个图形全等.成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分线段的垂直平分线是它的对称轴轴对称图形线段垂直平分线上的点到线段两姗距离相等到线段两端距熹相等的点在:线段的重包平分线上整角平分线所在直线是它的对称轴等腰三角形等腰三角形的而氤相等;等腋三角形底边上的高 线、中线及顶角平分线重合有两个角相等的三角形是
2、等腰三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等边三角形阴平分线所在直线是它的对移轴写边三角形的各箱都等于市ZI三个南都相等的三角形是等边三角形,有一个角是 60*的等JK三角形是等边三角形【要点梳理】要点一、轴对称1 .轴对称图形和轴对称(1)轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 .(2)轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质
3、：关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称， 如果它们的对应线段或延长线相交， 那么它们的交点在对称轴上 .（ 3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别 : 轴对称是指两个图形的位置关系， 轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形； 轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的 . 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形， 那么这两个图形关于这条轴对称； 如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形2. 线段的垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这
4、条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线3. 作轴对称图形（ 1 ） 几何图形都可以看作由点组成， 我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点， 再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（ 2 ） 对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.4. 用坐标表示轴对称点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（x, y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（ x , y ）；点（ x , y ）关于原点对称的点的坐标为（ x , y ） .要点二、 线段、角的轴对称性1 .线段的轴对称性（ 1 ）线段是轴对称图形
5、，线段的垂直平分线是它的对称轴 .（ 2 ）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；（ 3 ） 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线2 . 角的轴对称性（ 1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴 .（ 2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（ 3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点三、等腰三角形1. 等腰三角形（ 1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（ 2）等腰三角形性质等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一
6、” ） . 特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45 .（ 3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边” ） .2. 等边三角形（ 1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（ 2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60 .（ 3）等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形3. 直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【典型例题】 类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，ABC的顶点都是小
7、正方形的顶点.在田字格上画与 ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含 ABC本身）共有（）A.1 个 B.2 个 C.3个 D.4 个【思路点拨】 分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形【答案】C；【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数. HEC与4ABC关于CD对称； FDB与 ABC关于BE对称； GEDW ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身.所以共 3个.【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关 键.举一反三：【变式】如图， ABC的内部有一点 巳 且
8、D, E, F是P分别以AB, BC, AC为对称轴的对称 点.若 ABC的内角/ A= 70，/ B= 60 , / C= 50 ,则/ AD阶 / BEO / CFA =（）A.180 B.270C.360D.480【答案】C;解：连接 AP, BP, CP，. D, E, F是P分别以AR BC, AC为对称轴的对称点，/ADB= /APB Z BEG= / BPG / CFA= / APG / AD拼 / BEO / CFA= / APB+ / BPO / APG= 360、已知/ MO比40OM有一点 A, ONLh有一点 B,当 PAB,P为/ MOM 一定点,的周长取最小值时，求
9、/ APB的度数.【思路点拨】 求周长最小，利用轴对称的性质，找到 P的对称点来确定 A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算【答案与解析】 解：分另1J作P关于OM ON的对称点P2，连接PB交。爪 A, ONT B.则4PAB为符合条件的三角形. / MON= 40PPP2= 140 ./ RPA = 1 / PAB,/ F2PB = - / PBA. 221 一 ( ZPAB / PBA)+ Z APB= 1402 / PAB / PBA 2 / APB= 280 . /PAB= /R+/RPA, ZPBA= / P2+/ P2PB，/ P +Z P2 +
10、 Z RPP2=180 ./ APB= 100【总结升华】 将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段, 这样取得周长的最小值.举一反三:【变式】如图，在五边形 ABCDEEK / BAE= 120 , / B= / E= 90 , AB= BC, AE= DE 在BG DE上分别找一点 M, N,使彳AMN勺周长最小时，则/ AMN / ANM勺度数为( ).A 100 B . 110 C . 120 D . 130 【答案】C;提示：找A点关于BC的对称点A1，关于ED的对称点 A ,连接A1A2 ,交BC于M 点，ED 于 N点，此时 AMN 长最小./AMNb
11、/ AN阵 180 / MAN 而 2/BAM=ZAMN 2/EAN= /ANM/BAMF / EANF Z MAN= 120，所以/ AMNb / AN阵 120 .C3、如图， ABC关于平行于x轴的一条直线对称，已知 A点坐标是（1,2）, C点坐标是（1, 4）,则这条平行于 X轴的直线是（）A.直线x = 1 B. 直线x=3 C. 直线y= 1 D. 直线y=3【思路点拨】 根据题意，可得 A、C的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等, 从而可以解出该直线.【答案】C;【解析】解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC又A点坐标是（1,2）, C点坐标是（1, 4）AC= 6
12、.点A, C到该直线的距离都为 3即可得直线为y=-1【总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用，解决此类题应认真观察图形，由A与C的纵坐标求得对称轴.举一反三：RtAAOBf RtA AOB )【变式1】如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角, 关于直线m对称，已知A （1, 2）,则点A的坐标为（A. (1, 2) B. (1, 2) C. (1, 2) D. (2, 1)【答案】D;提示：因为 RtAOB与RtA AOB关于直线m对称，所以通过作图可知, 坐标是（2, 1）.【变式2】如图，A ABC中，点A的坐标为（0, 1）,点C的坐标为（4, 3）,点B
13、的坐标为 （3, 1）,如果要使A ABM A ABC全等，求点 D的坐标.【答案】解：满足条件的点 D的坐标有3个（4, 1）; （ 1, 1）; （ 1, 3）.类型二、等腰三角形的综合应用4、如图， ABC 中.AB=AC P 为底边 BC上一点，PH AB, PH AG CHHL AB,垂足 分别为E、F、H.易证PE+PF=CH证明过程如下：圉 图如图，连接AP. PH AR PH AG CHL AR Saabp = 1 AB?PE Saacp = 1 AC?PF Sbc =1 AB?CHH222又 , SA ABPSAACPSAABC，1c 1 51” AB?PE+AC?PF=AB
14、?CHH-AB=AC，PE+PF=CH222(1)如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：(2)填空：若/ A=30 , AABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时，贝U AB边上的高 CH=.点P至ij AB边的距离PE=.【答案】7; 4或10;【解析】 解：(1)如图，PE=PF+CH证明如下：SAABC = 1 AB?CH2. PE1AR PFAG CHLARSabpAB?PE SzXacp = 1AC?PF22SAABP=SAACP + SA ABC，1 AB?PE=1 AC?P
15、F+1 AB?CH222又AB=ACPE=PF+CH图 图(2) .在AACH 中，/A=30 , .AC=2CH S.ABC = 1 AB?CH AB=AC21 X2CH?CH=4 92.CH=7分两种情况：P为底边BC上一点，如图. PE+PF=CHPE=CHPF=7-3=4 ;P为BC延长线上的点时，如图. PE=PF+CH .PE=3+7=10故答案为7; 4或10.运用面积证明可使求 ADB的度数.【总结升华】 本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中,问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键.5、已知，如图，/ 1 = 12 ,/ 2=36 , / 3=48 , / 4=
16、24【答案与解析】解：将ZXABD沿AB翻折，得到ZXABE,连结CE, 则 AABD 9A ABE , . BD BE, ADB AEB, / 1 = / 5= 12 . EBC125 60 ABC348AB AC.又/ 2=36 , BCD 34 72 ,BDC BCD,BD BCBE= BC BCE为等边三角形BE CE.又QAB AC, AE垂直平分BC.，AE 平分 BEC .1八AEB BEC 302ADB= 30【总结升华】直接求 ADB很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与 ABD 全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求.举一反三:DB 4 10求/ ACD的度
17、数.【变式】在 ABC中，AB= AC, Z BAC= 80 , D为形内一点，且/ DAB= Z【答案】解：作D关于BC中垂线的对称点 E,连结AE, EC, DEABtA ACEA A AE, Z DAB= Z EAG= 10 / BAC=80 , .Z DAE=60 , ADE为等边三角形 ./ AED=60 Z DAB=Z DB上 10AD= BD= DE=EC .ZAEG=160 , ./ DEG= 140 / DC2 20 ./ ACD= 30类型三、等边三角形的综合应用，6、如图所示，已知等边三角形 ABC中，点D, E, F分别为边AB, AC, BC的中点, M为直线BC上一
18、动点， DMN为等边三角形.(2)（1）如图（1）所示，当点M在点B左侧时，请你判断 EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？（2）如图（2）所示，当点M在BC上时，其他条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量 关系是否仍然成立？若成立，请利用图（2）证明；若不成立，请说明理由.【答案与解析】解：（1）EN = MF,点F在直线 NE上.证明：连接DF, DE,AABC是等边三角形，AB=AC = BC.又 D, E, F是4ABC三边的中点，DE, DF, EF为三角形的中位线.DE= DF= EF, / FDE = 60 .又/ MDN + / NDF = / MDF , / N
19、DF + / FDE=Z NDE ,. DMN 为等边三角形， DM = DN, / MDN =60 /MDF =Z NDE .DF DE在 4DMF 和 ADNE 中， MDF NDE,DM DNADMFA DNE,MF = NE, / DMF =/ DNE . / DMF +60 =Z DNE + Z MFN ./ MFN = 60FN / AB ,又 EF/ AB ,E、F、N在同一直线上.FAB=AC = BC.又 D, E, F是4ABC三边的中点， DE, DF, EF为三角形的中位线.DE= DF= EF, / FDE = 60 .又/ MDF + / FDN =60 , Z NDE + / FDN = 60 , ZMDF =/ NDE .DF DE在 DMF和 DNE中,MDF NDE ，DM DNDMF0DNE, MF = NE.全等是【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定 证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.
