1、学案12 导数的应用,返回目录,1.函数的单调性 在(a,b)内可导函数f(x),f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0. f(x)0 f(x)为 ; f(x)0 f(x)为 .,减函数,增函数,考点分析,返回目录,2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, 如果在x0附近的左侧, 右侧 ,那么f(x0)是极大值. 如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 求f(x); 求方程 的根;,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)=0,返回目录,考察在每个根x0附近,从左到右导函数f(x)的符号如
2、何变化.如果左正右负,那么f(x)在x0处取得 ;如果左负右正,那么f(x)在x0处取得 . 3.函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值.,极小值,极大值,f(a),f(b),f(a),f(b),(3)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: 求函数y=f(x)在(a,b)内的 ; 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)
3、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,返回目录,极值,返回目录,考点一 函数的单调性与导数,已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;(3)是否存在a,使f(x)在(-,0上单调递减,在 0,+)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存 在,说明理由.,题型分析,返回目录,【解析】 f(x)=ex-a. (1)若a0,f(x)=ex-a0恒成立,即f(x)在R上递增. 若a0,ex-a0,exa,xlna. f(x)的单调递增区间为(lna,+). (2)f(x)在R内单调递增,f(x)0在R上恒成立.ex-a
4、0,即aex在R上恒成立.a(ex)min,又ex0,a0.,【分析】 (1)通过解f(x)0求单调递增区间; (2)转化为恒成立问题求a; (3)假设存在a,则x=0为极小值点,或利用恒成立问题.,返回目录,(3)解法一:由题意知ex-a0在(-,0上恒成立.aex在(-,0上恒成立.ex在(-,0上为增函数.x=0时,ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0,+)上恒成立.aex在0,+)上恒成立.a1,a=1.解法二:由题意知,x=0为f(x)的极小值点.f(0)=0,即e0-a=0,a=1.,返回目录,【评析】利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f(x)0(或
5、f(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f(x)0或f(x)0,x(a,b)恒成立,且f(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f(x)0或f(x)0恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0,若能恒等
6、于0,则参数的这个值应舍去,若f(x)不恒为0,则由f(x)0或f(x)0恒成立解出的参数的取值范围确定.,对应演练,设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.,由已知得函数f(x)的定义域为（，）,且f(x)= (a1).(1)当-1a0时,由f(x)0时，由f（x）=0,解得x= .,f（x）,f(x)随x的变化情况如下表：,返回目录,从上表可知 当x(-1, )时，f(x)0,函数f(x)在( ,+)上单调递增.综上所述: 当-1a0时,函数f(x)在(-1,+ )上单调递减. 当a0时,函数f(x)在(-1, )上单调递减,f(x)在( ,+)上
7、单调递增.,返回目录,考点二 函数的极值与导数,已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1，当且仅当x=-1，x=1时 取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的极大值和极小值.,【分析】求出f(x)，依题意x=-1，x=1是 f(x)=0的两根，得到a,b的方程，并判断出x=-1及x=1时所取的极值是极大值还是极小值，从而建立y极大 y 极小=4的方程.联立解出a,b的值和极大、极小值.,【解析】 (1)f(x)=x5+ax3+bx+1的定义域为R.f(x)=5x4+3ax2+b.x=1时有极值,5+3a+b=0.b=-3a-5.将代入f(x)得f(x)=5x4+3
8、ax2-3a-5=5(x4-1)+3a(x2-1)=(x2-1)5(x2+1)+3a=(x+1)(x-1)5x2+(3a+5).f(x)仅在x=1时有极值,5x2+(3a+5)0对任意x成立.3a+50,a .,返回目录,返回目录,考查f(x),f(x)随x的变化情况:由此可知，当x=-1时取得极大值;当x=1时取得极小值.f(-1)-f(1)=4.即(-1)5+a(-1)3+b(-1)+1-(15+a13+b1+1)=4.整理得a+b=-3. a=-1, b=-2.,由解得,【评析】此题属于逆向思维，仍可根据求函数极值步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为f(x)=0的根，利用这
9、一关系，建立字母系数的方程，使问题转化为含字母系数的方程或方程组问题，通过解方程或方程组确定字母系数.,返回目录,（2）a=-1，b=-2，f(x)=x5-x3-2x+1.f(x)的极大值f(x)极大=f(-1)=3;f(x)的极小值f(x)极小=f(1)=-1.,返回目录,对应演练,已知函数f(x)= +aln(x-1),其中nN*,a为常数.(1)当n=2时,求函数f(x)的极值;(2)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x2时,有f(x)x-1.,(1)由已知得函数f(x)的定义域为x|x1,当n=2时,f(x)= +aln(x-1),所以f(x)= .当a0时,由f(x)=0得x1=
10、1+ 1,x2=1- 0,f(x)单调递增.,返回目录,返回目录,（2）证明:证法一:因为a=1,所以f(x)= +ln(x-1).当n为偶数时,令g(x)=x-1- -ln(x-1),则g(x)=1+= 0(x2).所以当x2,+)时，g(x)单调递增，,当a0时,f(x)0时,f(x)在x=1+ 处取得极小值,极小值为f(1+ )= (1+ln ).当a0时，f(x)无极值.,又g(2)=0,因此g(x)=x-1- -ln(x-1)g(2) =0恒成立，所以f(x)x-1成立.当n为奇数时，要证f(x)x-1,由于 0，所以当x2时，恒有h(x)0,即ln(x-1)0).试问当x取何值时，
11、容积V有最大值?,返回目录,V=x(2a-2x)2=4(a-x)2x. t,00,得0a，此时V(x)为增函数；由V0，得 xa，此时V（x）为减函数.,返回目录,返回目录,当 ，即t 时，在x= 时，V有最大值 a3;当 ,即0t 时，在x= 时，V有最大值 .,返回目录,1.注意单调函数的充要条件,尤其对于已知单调性求参数值(范围)时,隐含恒成立思想. 2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小. 3.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.,高考专家助教,4.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯 ,可使问题直观且有条理,减少失分的可能. 5.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 6.要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
