1、函数的综合应用教学目标：综合运用函数的知识、方法和思想解决问题。教学重点：如何运用函数思想实现问题的转化。教学难点：同重点。一、知识梳理1、函数与不等式、方程的联系；2、函数与数列、向量、解几等知识的交汇。二、训练反馈1、定义运算a*b=，a(ab) ，则函数f(x)=1*2 x的值域为 .b(a b)2、过点P(1,1)作曲线作曲线y=x3的两条切线，则它们夹角的正切值为()、.39159A. 3B. 13C. 13D. 53、若 f(x)是 R 上的减函数，且 f(0)=3,f(3)=-1,设 P=x| |f(x+t)-1|2,Q=x|f(x)-1,设“xW P ”是“ x w Q ”的充
2、分不必要条件，则实数 t的取值范围是()A. t 0B.t -0 C.t g(x)时,求函数g(x)一-的最小值.本题主要考查向量基本概念、基本函数的性质。当 xC Df且 xC Dgg当xC Df且x更Dg例2 (05上海)对定义域分别是 DDg的函数y=f(x)、y=g(x),f(x) g (x)规定：函数h(x)= f(x)g(x)当 x更 Df 且 x e Dg(1)若函数 f(x)=-2x+3,x 1; g(x)=x-2,x e R,写出函数 h(x)的解析式；(2)求问题(1)中函数h(x)的最大值；若g(x)=f(x+ *其中“是常数，且长0,兀,请设计一个定义域为R的函数y=f
3、(x),及一个a的值，使得h(x)=cos2x,并予以证明本题主要考查对函数概念的理解特别是分段函数的理解，把握函数的本质。 四、备选例题1.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任何xr x21 0,2都有 f(x1, x2)=f(x 1) f(x2),f(1)=a0 。求 f(l)、f(1)； 24(2)证明：f(x)是周期函数;(3)证明：x R时，均有f(x)0 ;.1.1+ (4)若 an=f(2n+1+ 1一), bn=f( 2n + +1),n= N，求数列an与bn的通项公式。2n 1n2.已知函数 f(x)= x +1 -a (a 乙 R) a -x(1
4、)证明：函数y=f(x)的图象关于点(a, -1)成中心对称图形；3(2)当 x=a+1,a+2时，求证：2Wf(x)W3；2(3)利用函数y=f(x)构造一个数列xn,方法如下：对给定的定义域中的Xi,令x2=f(x1)，X3=f(X2),Xn=f(Xn-1),在上述构造过程中，如果Xi ( i=2,3,4)在定义域中，构造的过程将继续下去；否则将停止。(1)如果可以用上述方法构造出一个常数列 Xn,求实数a的取值范围；(2)如果取定义域中的任一值作为X1,都可以用上述方法构造出一个无穷数歹式Xn,求实数a的值。五、综合运用1、若方程(工)x+ ( 1) x-1+a=0有正数解，则实数 a的
5、取值范围是()42A.(-8, 1) B. (-8, -2) C. (-3, -2) D. (-3, 0)32、已知a、3为锐角，sin a =x, sin 3 =y, cos( a + 3 )=- 5，则y与x的函数关系式为()f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1,且当 x # 0 时,g(x) # 1.则 F(x)= 2 f (x) +f(x)(g(x) -1A.是奇函数但不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数x 15、( 05全国卷III)设3 =-,则(A) -2x-1(B) -3x-2B.是偶函数但不是奇函数D.既不是奇函数也不是偶函数)(C) -1x0(D) 0x1A.y=
6、- 3 1 - x2 + x (0x1)B. Y=- 3 1 - X2 +f x (0x1) 5555c. .y=- 3 . 1 - x2 5+ 4 x(0x -) 55D. y=- 3 1 - X -4 x (0x0.求证：f(1)+f()+ f(1)f( 1 )o511n2 3n 12函数的综合应用参考答案训练与反馈1、 (0,1)2、 B3、C4、D5、设x0是方程f(x)=x的一实根，则ff(x o)=f(x o)=xo，说明方程f(x)=x的根均为ff(x)=x的要使ff(x)=0有四个不等实本则必须 f(x)=x有两个不等实根。二 (b-1) 2-4ac0,其次，由 ff(x)-x
7、=af(x) 2+bf(x)+c-1=af(x) 2-af(x)x+af(x)x-ax 2+bf(x)-x+f(x)-x=f(x)-xaf(x)+ax+b+1可得方程af(x)+ax+b+1=0亦必须有两个不等实根，即a2x2+a(b+1)x+(ac+b+1)=0有两个不等实根。二 = a2(b-1) 2-4ac-40(b-1) 2-4ac4ff(x)=x有4个不等实根的必要条件为(b-1) 2-4ac4.此条件也是充分的，因为若(b-1) 2-4ac4,则f(x)=x与af(x)+ax+b+1=0均有两不等实b 1根且无公共根，否则若x0为公共根，则xo= - 2a代入f(x)=x得(b-1
8、) 2-4ac=4矛盾。故方程ff(x)=x有4个不等实根的充要条件是(b-1) 2-4ac4.典型例题例 1解(1)由已知得 A( b ,0),B(0,b),则 AB= B ,b,于是 b=2,b=2. . . k=1,b=2.kk k(2)由 f(x) g(x),得 x+2x2-x-6,即(x+2)(x-4)0,得-2x0,则g(X)+1 -3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 f(x)g(x) 的最小值是-3.f(x)例 2解(1)h(x)= r(-2x+3)(x-2)xC1,+ oo)x-2xC (-8,1)(2)当 x1 时，h(x)= (-2x+3)(x-2)=-2x
9、2+7x-6=-2(x- 7)2+1481h(x) w ； 8，当 x1 时，h(x)02241 1f(1 )=a 2 ,f(1 )=a 4 .2 4(2)由已知得 f(1+x)=f(1-x)且 f(-x)=f(x),f(x+2)=f1+(1+x)=f1-(1+x)=f(-x尸f(x)，f(x)为周期函数，且2为一个周期。x1x, 一一八八一 .八2任取x0,1,2u0,21则f(x)=f(2) 0丁 f(x)为偶函数。，对 xW-1,0,均有 f(x)=f(-x)之0又f(x)是以2为周期的函数，则对任意x三R,总存在kWZ,使 xl+2k,l+2k,这时 f(x)=f(x-2k) 0.,
10、对一切 xW R,均有 f(x) 0.an=f(2n+1+ 1)=f(1+ 1)=f(1-2n 1 2n 1- )=f( -2 )=f()22n 1 2n 1 2n 11而 f(1)=f( 2n +1 )=f( _1)2n4, f( _1_)=a 2n由2n 1 2n 12n 12nan=a2n:：1.1.1.1. n -1bn = f (2n 1 1) = f(- 1) = f(1 -1) = f (n-)nnn n而 f(1) = f (n n)=|f(1).IL nf6bn 二 a nx 1 1 - a2. (1)设 P(x, y)是 y=f(x)图象上任一点，则 yO =a - x0点
11、P关于(a,-1)的对称点是 P(2a-x0,-2-y0)(2a - x0)1 - a a 1 - x0a 1 - x0 f(2a-x0)=一圈j=0,-2-y0=0a -(2 a - x0) x0 - ax0 - af (2a - x0) - -2 - y0即点P在y=f(x)的图象上。二 函数y=f(x)的图象关于点(a,-1)成中心对称图形3 (x -a -1)( x a -2)(2) - f(x)+2f(x)+=2- ,x a+1,a+222(a -x)2f(x)+2f(x) + 3 0 .-2 f(x) - 322.一 x1-a(3)1由已知只需x#a时，f(x)=x有实解，即 =x有实解a - x即x2 +(1a)x+1a = 0有不等于a的解，则,之0*二 a三（-oo,-3）1,+o0）x。aJx 1 -a2由已知，应满足 x#a时，=a无实数解，即a - x2x # a 时（1 +a）x = a +a -1无实数解2由于x=a不是万程（1+a）x = a +a1的解，则对任意 x R方程（1+a）x = a2 +a-1无实数解，故a=-1
