1、精品资源1957年普通高等学校招生全国统一考试数学121 .甲、化简（2-）2 0.1（2”）飞9271 2解：原式=（25）2 产目5 工I9102731648乙、求适合不等式x2 +x2的实数x的范围.解：原式为x2+x20解为：-2x1.故x的范围为-2x1.丙、求证 ctg22 30 =12.451 cos45证：ctg22 30 = ctg = =1 、.2.2 sin 45S依次为棱AB BG CDA丁、在四面体 ABC前，AC=BD P、Q RDA的中点，求证：PQR的一个菱形证：由于点P、Q R、S依次为棱AR BG CD DA的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得-1 -P
2、Q/ RS/-AC, RQ/SP/ BD. =2=而由题设，AC=BDPQ=QR=RS= SP故PQRS为一个菱形欢下载ME a戊、设a,b为异面直线，EF为a,b 的公垂线，s为过EF的中点且 与a,b平行的平面，M为a上任一点，N为b上任一点.求证线段MN 被平面u二等分.证：过直线b作平面P 口(如图) 过直线a及公垂线EF作一平面，在此平面内作 MC EF,且与平面口 ,P分别交于R C两点.设EF、MN别与平面口交于点A、D点A是EF的中点，又 ME/ BA/ CF,.点B是MC勺中点.又 DB/ NG.D是MN勺中点.另法：如图，连接 EN ab,bd由 a :,b: = a/ B
3、D,b/AB由A是EF的中点得,D为MN勺中点此即线段MNM平面”二等分2.解方程组；lg(2x+1)+lg(y-2) =1 (1)10xy =iox 10y(2)解：由(1)可得(2x 1)(y-2) =10,2xy - 4x y _12 =0由（2）可得 xy =x y （4）将（4）代入（3）可得 2x+2y 4x + y 12 =0, -2x 3y -12 =0,12 2xy 二二再将（5）代入（4）可得x12 2x 12 2x=x33化简，得 2x2 7x-12 = 0,-7 _ 145.x 二4将x值代入（5）12 2x尸317 _ J456A 此即y1-7 -、145417 -
4、.14563.设 ABC勺内切圆半径为r,求证BC边上的高-7.145，x2 :417,1456; y2 =因为2x2+1 0,所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅-7+7145x 二为 417145厂c B C2r cos cosAD 二22.A sin 2证：在直角 ABCKAD = c sin Bo . B B=2c sin 一 cos22另外，c = AE EB, A B、 r(ctg -ctg -)A B cos cossin sin 22sin万).Bsin sinC cos r2=r -.A . B sin sin 22.B sin 2B cos 2C cos .A
5、D =2r2.A . B sin sin22c BC2r cos cos22.A sin 24.设ABC锐角三角形，以BC为直径作圆，并从A作此圆的切线AD与圆切于D点，由在AB边上取AE=AD并过E作AB的垂线与AC边的延长线交于F,求证：(1) AE:AB=AC:AF.(2) ABC勺面积=AEF的面积.证(1):设AB与。相交于点G,联结EG CG BF.v EF AR CGL ARGC/ EF,AC:AF=AG:AE又AD是。的切线，.aD=ag ar也即 AG:AD=AD:AB但AD=AE. AG:AE=AE:A B由、可得AE:AB=AC:AF证（2）:由（1） AE:AB=AC:
6、AF 则 EC/ BF, EBC勺面积= EFC的面积. ABC勺面积= AEC的面积+ EBC的面积二 AEC的面积+zEFC的面积=zAEF的面积5.求证方程x3 -（V2+1）x2 +（V2-Q）x+Q = 0的一个根是1.设这个方 程的三个根是 ABC勺三个内角的正弦sin A,sinB,sinC,求A、B、C的度 数以及Q的值.解：将x=1代入这个方程式，则 13 -（72+1） 12 +（J2Q） 1+Q = 0,故知1是原方程的一个根.由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被 x-1整除.用x-1除方程左边后得商式x _ 2x _ Q =0.根据题设条件（即有一个根为1 ,不妨设sinC = 1）及根与系数的关系可得sinC =1(1)sin A sin B = 2(2)sin A sin B = -Q (3)由（1）可知C=90,于是A+B=90, B=94A,代入（2）得sin A +sin(90 *_ A) = 72,即 sin A + cos A = 22,.2 . A 2 ,.SinA cosA=1, 22sin 45 sin A cos45 cos A =1, cos(A-45 ) =1,. A45=0,. A =45 B =90 -45 -45从(3)式可得,2 . . 21Q = -sin A sin B = - =.222
