1、压杆稳定欧拉公式错误剖析卷首语2008 年 7 月底，中国计算力学大会 2008 年年会暨第七届南方计算力学学术会议在湖北宜昌召开。会上共发布了 254 篇论文，发布时间限制为每篇 10 分钟，评委提问 2 分钟。本文有幸在会上发布，并承蒙评委厚爱破例得到 10 分钟的提问。会议期间，作者拜访了与会的中国工程院某院士，想和他讨论关于欧拉公式的问题，院士说：“你还是多 读些书吧，欧拉公式已 经使用 100 多年了，没有问题的” ，一口回绝了作者。作为世界公认的经典公式，欧拉公式如果有错，此错必定很隐蔽，否则它就不会成为经典。要讨论这些隐蔽的错误，不是 10 分钟就能说清楚的，更不是院士的一句“没
2、有问题 ”就能钦定的。对于欧拉公式存在的问题，作者整整思考了一年，文中所述内容都经过了深思熟虑。如果你对此有兴趣，不妨暂时抛开欧拉必然正确的成见，与作者一起闯一闯欧拉布下的迷宫,然后再作出判断：欧拉公式到底是对还是错？特别说明：作者曾撰写重建建筑施工模板支架安全的力学理论体系一文，将其发表于建筑安全杂志（刊号 ）,在该杂志的 20071045239/ISNXCTU年 11 月号、12 月号及 2008 年 1 月号上连载。该文已对压杆稳定欧拉公式的错误作了分析。现作者将该文有关内容摘出，修改补充后写成本文，以作学术讨论之用。目 录0 引言 .11 欧拉公式的推导过程 .111 欧拉公式的力学模
3、型 .1111 真实状态下的压弯 .1112 理想状态下的失稳 .112 欧拉公式的推导 .1121 临界力欧拉公式的推导 .1122 临界应力欧拉公式的推导 .32 对欧拉公式错误的剖析 .321 一个反例 .322 压杆临界状态不存在 .3221 欧拉无法证明临界状态存在 .3222 真实状态下的压杆临界状态不存在 .4223 理想状态下的压杆临界状态不存在 .5224 对实验结果的看法 .623 临界力欧拉公式的错误 .624 临界应力欧拉公式的错误 .725 “理想状态”之说抹不去欧拉的错误826 结论 83 结束语 .91图 1 压杆受压变弯压杆稳定欧拉公式错误剖析摘 要 分析欧拉公
4、式之后发现：压杆临界状态不存在，欧拉公式的推导过程和所得结果是错误的。关键词 欧拉公式，临界状态，临界力，临界应力0 引言压杆稳定欧拉公式（以下简称“欧拉公式” ） ，是材料力学的经典公式，是压杆计算的理论基础。但是，近年来南京、杭州、北京、南宁、郑州、侯马（山西） 、合肥、长沙等地施工模板相继垮塌的事实表明，现行的压杆计算理论有缺陷。对压杆计算理论溯源后发现，其所依据的欧拉公式是错误的。为使论述过程完整，本文在第 1 章摘引出欧拉公式推导的全过程，在第 2 章对其错误进行剖析。1 欧拉公式的推导过程11 欧拉公式的力学模型111 真实状态下的压弯细长杆受压会变弯，原因是受加工精度限制和材料不
5、均匀的影响，使得杆件的质心轴是一条未知曲线，压力的作用线与质心轴不可能重合，偏心距不为零。细长杆受压总会变弯如图 1 所示，此种弯曲称为压弯，由压弯引起的破坏称为压弯破坏。压弯破坏是真实的破坏形式。112 理想状态下的失稳既然各杆件均有各自未知的质心轴，所施加的压力 P 又根本不可能与质心轴重合，因此，以压杆的真实受力状态为依据来推导压杆的一般计算公式是不可能的。于是在理想状态下，欧拉建立了压杆临界状态力学模型（本文仅以一端固定另一端自由的压杆为例）：假想有一理想直杆，其质心轴与竖向压力 P 的作用线重合，在 P 作用下杆不发生弯曲变形。在杆端加一横向干扰力 Q，此时杆发生弯曲变形如图 2（a
6、）的虚线所示。若P 小于某一临界值 Per，在撤去 Q 之后，杆恢复直线形状如图 2（b） ，此时的杆处于稳定平衡状态。当 P 等于某一临界值 Per 时，在撤去 Q 之后，杆无法恢复直线形状仍旧弯曲，此时的杆处于不稳定平衡状态，已丧失承载力如图 2（c） 。当 P 继续增大时，杆发生大弯曲而破坏。P er 称为 “临界力” 。在 Per 作用下杆的受力状态称为 “临界状态” ，其平衡性质由直线形状的稳定平衡转化为曲线形状的不稳定平衡。平衡丧失稳定性称为“失稳” ，由“失稳”引起的破坏称为“失稳破坏” 。这是欧拉公式的力学模型，其中的临界状态是假想状态，失稳破坏是假想的破坏形式。12 欧拉公式
7、的推导121 临界力欧拉公式的推导欧拉借用梁在纯弯曲状态下的挠曲线近似微分方程：(1)(xMEI 图 2 欧拉的压杆临界状态力学模型2由图 3，得：(2)()(erPxM代入式（1） ，得：(3)(“rEI令 ，代入式（3） ，得： IKe2(4)“2式（4）的通解为：(5)kxBAcossin式（5）取一阶导数，得：(6)ki边界条件在 处： ， 0x0在 处： L将边界条件分别代入式（5） 、式（6） ，得：，AB再代入式（5） ，得：(7)cos1(kx(8)L令 ，使式（8）成立，解出：0csk、 、 (9)235取最小解：Lk由于设定EIPer2所以： 2)(LIer于是得到一端固定
8、另一端自由的压杆临界力欧拉公式：(10)2)(EIPer对于各种约束条件下的压杆临界力，用统一表达式表达：(11)2)(LIer这便是压杆临界力欧拉公式的一般表达式。图 3 欧拉公式推导示意图3所谓临界力，其含义是，当杆件承受的荷载达到 时，杆件便丧失承载能力。erP122 临界应力欧拉公式的推导将临界力除以杆的截面积，再作一系列的数学变换，得到临界应力欧拉公式：(12)ALEIPer2)(13)2)(Ier(14)2)(rLEAPer(15)2er式中， ， ，是简单的数学变换， （12） 、 （13） 、 （14） 、 （15）四式的意义是一AIrrL样的，所以在分析问题时，用其中一个式子
9、便可。2 对欧拉公式错误的剖析21 一个反例设管材支架材料的弹性模量为 E，管外径为 D，内径为 d，支架中某杆的计算长度为 ，受L压，求其临界应力并作分析。将已知条件代入式（12） ，求得杆的临界应力为： 2224422 )(16)()6)( LddLAEIer 按欧拉假设的原意，所谓临界应力，其含义应该是，当杆件横截面上的应力达到 时，杆er件便丧失承载能力。观察本例的 ，在管外径 D 不变的情况下，内径 d 越大（即管越薄） ， 值就越大，压杆er er就越不容易丧失承载能力。当 d 无限接近 D 时， 无限接近最大值。换句话说，管材压杆，壁er越薄其承载能力就越强，用相同材料制作，外径
10、相同时，易拉罐强于正常壁厚的管，于是可以节约大量的钢材。这是一个违反常识的破绽，正因为这个破绽，使得欧拉公式的深层错误得以发现。22 压杆临界状态不存在临界状态：如图 3 撤去横向干扰力 Q 后，当 时 ，当 时 。erP0erP0221 欧拉无法证明临界状态存在考察欧拉公式推导过程中的式（8） ，可知欧拉自己无法证明临界状态的存在。4(8)cos1(kL当 时，式（8）成为： 。0csk即 可以取任意值，可以为零也可以不为零。于是从 中，欧拉解出临界力：0coskL2)(LEIPer欧拉认为，只要竖向力 P 值在0er范围内，杆端回弹原位（在 的关系中有 存在的可能性） 。0但欧拉未考虑到问
11、题的另一个方面，即当 时，式（8）也成立。此时式（8）成为：1coskL，这才是撤去横向干扰力 Q 后，杆端弹回原位的确切表达式。所以通过 可以求 1coskL出使杆端弹回原位的竖向力 的值。(教科书认为 不合题意而将其排除的做法是错误的)0P重复 121 的推导过程，并将 换为 ，当推导到式（8）时，令 ，解出：er0Ps、 、0P24LEI22)(16LEInI比较 和 ，有：er （ =0 除外）02)(Ir 0P可见，除非竖向力为零，否则在撤去横向干扰力 Q 之后，所有能使杆弹回原位的竖向力值均不在欧拉所设定的 范围之内，可见：2)(LEI欧拉公式在推导过程中自相矛盾，欧拉无法证明自己
12、假设的合理性，欧拉公式成立的前提条件压杆临界状态没有存在的依据。222 真实状态下的压杆临界状态不存在为便于研究，设杆的横截面为矩形，截面高度为 h，在线弹性范围内工作。杆受压时，其截面上的应力状态无非是以下三种情况之中的一种：图 4 偏心受压应力状态 图 5 界点应力状态 图 6 压弯应力状态5图 7 用虚功原理分析压杆临界状态图 4 所示的 P 力偏心距 e 不超出某一范围，杆横截面上全部应力都是压应力并呈梯形分布。图 5 所示的 P 力偏心距 达到界点（即截面上即将出现拉应力） 。从离 P 最远一点应力为零j的条件可知截面上的应力是压应力并呈三角形分布，其合力 N 与外力 P 等值、反向
13、、共线。于是可求出界点应力状态下 P 的偏心距为： hej 6123图 6 所示的 P 力偏心距 e 大于 ，截面上出现拉应力，是拉应力和压应力并存的压j弯应力状态。这三种应力状态中：a图 4 和图 5 所示的应力状态均为偏心受压状态，截面上无拉应力存在，无中性轴，不属于弯曲问题；b图 6 所示的应力状态正是欧拉所研究的压弯应力状态，截面上有中性轴，并且中性轴不通过截面形心，位置未知，其位置的确定取决于 P 值的大小及 P 力偏心距 e 值的大小，所以，在压弯应力状态下，截面惯性矩 I 是未知量（这是下文分析中用到的概念） 。从图 6 可知，一旦 P 的偏心距 ，杆件便在压弯状态下保持平衡，只
14、要截面上的最大he61应力未达到材料的比例极限，平衡便不会被打破。无论 P 值大小，当 时杆端都不会回弹he61恢复到直轴线位置。所以，撤去横向干扰力 Q 之后，杆端是否回弹到直轴线位置，其决定因素不是 P 力的大小，而是 P 力偏心距 e 的大小。可见在真实状态下，由 P 值大小决定的压杆临界状态不存在。223 理想状态下的压杆临界状态不存在虚功原理：变形体系平衡的必要与充分条件是，对于约束条件允许的任意微小虚位移，外力所作的虚功等于内力所作的虚功。对于图 3 所示的杆端位移 ，可以用虚功方程求解。如图 7 所示，在杆端施加一横向虚单位力 ，杆端的位移为 ，可列出虚功方程：1P(16)dsE
15、ANGQKdsEIM等式左边是外力的虚功，右边是内力的虚功。从图 7 可知： a. 等式右边第 2 项：因为 的作用线与杆轴重合，全杆各截面由erP引起的剪力 ，该项之值为零；erP0Qb. 等式右边第 3 项：因为 的作用线与杆轴垂直，全杆各截面1由 引起的虚轴力 ，该项之值为零。N于是式（16）成为：(17)dsEIM因虚外力 与杆轴垂直，虚弯矩 ， 是否为零取决于由 引起的弯矩 M 是否为零。P0erP假定杆为矩形截面，截面高度为 h，按 222 的分析结果，压杆在真实状态下有 2 种情况：6a若 的偏心距 ，此时全杆各截面的应力全部为压应力如图 4、图 5 所示，erPhej61截面上
16、不出现中性轴，由 引起的弯矩 ，于是 ，所以 ；er0M0dsEIb若 的偏心距 ，此时杆上各截面拉应力与压应力并存，由 引起的弯er hj61 erP矩 ，于是 ，所以 。0M0dsEI推论：在图 2 所示的理想状态下，若横向干扰力 Q 将杆端推离原位的距离为 ，相当于P 力对杆底截面的形心轴有偏心距 。若 ，则撤去 Q 后杆端弹回原位，杆在直线形状eh61下平衡；只有在 的情况下，撤去 Q 后杆端才有可能不完全弹回原位，杆才有可能在曲线h61形状下平衡。换言之，撤去 Q 后是否有 ，其决定因素不仅仅是 P 值的大小，施加 Q 力时0得到 的大小也是关键因素。可见，用虚功原理分析的结果除了进
17、一步肯定 222 的结论之外，尚可推论至理想状态：理想状态下欧拉的设想不成立，即仅仅由 P 值大小决定的压杆临界状态不存在。如果理想压杆丧失承载力这一后果是由 P 值及 值两个要因共同决定的，则欧拉公式失去成立的前提条件。224 对实验结果的看法实验结果表明，压杆临界力是存在的，只是实验结果与用欧拉公式计算得到的结果相差较大。其实这是一个误会，前面的理论分析表明，压杆的临界状态在理论上不成立，并且即使在实验室的条件下也不可能使杆上的压力与杆件的质心轴完全重合，原始偏心 e 不可能为零。所以，实验结果其实是真实状态下压杆的压弯数据，而不是理想状态下压杆的失稳数据。实验结果不能证明“压杆临界状态”
18、的存在。欧拉关于压杆临界状态的假设不成立。23 临界力欧拉公式的错误在推导的出发点上，欧拉在一条方程中投放了 3 个未知数： (3)(erPEI这 3 个未知数是： 、 、 。Ier其中， 、 相互独立，各不相关，开始设定时就如此（见图 3） 。而 如 222 所述，er I也是未知量（只有在纯弯曲状态下，才有截面轴向应力的合力 ，此时中性轴过截面形心，0N可确定。但在压弯状态下，截面轴向应力的合力 ，中性轴不过截面形心，位置未知，I 不能确定） 。欧拉在推导临界力公式的过程中，解了一条含 3 个未知数的无解方程，犯了 2 个错误：a. 以为 是已知量，所以错用解决纯弯曲问题的式（1）来解决压
19、弯问题；Ib. 在推到式（8）之后，避开未知数 求解 （见 121） 。erP于是，在解出的结果 中，出现了解不开的未知数连环套：2)(LEIPera. 的表达式中含有 ， 不能确定，则 不能确定；erIer7b. 要确定 ，必须已知 和 。又回到了出发点， 仍旧是未知数。IerPerP这个连环套表明，欧拉从一条含 3 个未知数的方程中解出其中 1 个，这个结果是不确定的，所以：临界力欧拉公式 没有意义。2)(LEIer24 临界应力欧拉公式的错误研究纯弯曲问题的基本公式是：(18)EIM1由式（18）导出了式（1）和式（19）：(1)(“xI(19)y其中式（1）是导出临界力欧拉公式的方程式
20、，式（19）是弯曲应力公式。可见，式（1）和式（19）两式同源。按这一逻辑关系，在求出临界力 之后，欧拉应该将其代入式（19）求出erP临界应力：(20)IyPIMyerer maxmax式中出现了杆端位移 ，这是推导临界力公式时欧拉曾经避开的未知数，它是任意设定的，无真实的值。所以欧拉只能再一次避开它。抛开式（19） ，欧拉用轴心受压的应力表达式求解压弯状态下的临界应力：(12)ALEIPer2)(13)2)(Ier(14)2)(rLEAPer(15)2er这是偷换概念，即用轴心受压概念偷换原先设定的弯曲受压概念。因为偷换概念，临界应力表达式式（12）（15）包含了 3 个原则性错误：a 临界应力既是弯曲应力（式中含有 ，表示截面上的应力是沿截面线性分布的非均布I应力） ，同时又是轴压应力（式中含有 A，表示截面上的应力是按截面面积平均分布的均布应力） 。同一条杆，同一个截面上的应力既是非均布应力，同时又是均布应力，这样的应力状态是不存在的。b 欧拉研究的是弯曲问题，在受弯杆件的截面上，必定同时存在拉应力和压应力，但欧
