1、弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【 1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】 均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。【 1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】 能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性， 完全弹性， 均匀性，各向同性假定。【解答】 一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混
2、凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。【 1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（ 1）连续性假定： 假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。 引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。 因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。完全弹性假定： 假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。 这一假定， 还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义， 亦即两者之间是成线性关系的， 即引用这一假定后， 应力与形变服从胡克定律， 从而使
3、物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定： 假定物体是均匀的， 即整个物体是由同一材料组成的， 引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。各向同性假定： 假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定： 假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时， 就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考
4、察物体的位移与形变的关系时， 它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分1方程都简化为线性的微分方程。【 1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力 （不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时） ，该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。由下图可以看出，正面上应力
5、分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。正的应力正的面力【 1-5】试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。【解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。【 1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变。【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，产生轴向拉应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。正的切应力对应于正的切应变
6、：在如图所示应力状态情况下，切应力均为正的切应力，引起直角减小，故为正的切应变。2【 1-7】试画出图 1-4 中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。【解答】正的体力、面力正的体力、应力【 1-8】试画出图1-5 中三角形薄板的正的面力和体力的方向。【解答】xfxf yf xf xf yf yf yf xyOz【 1-9】在图 1-3的六面体上， y 面上切应力yz 的合力与 z 面上切应力zy 的合力是否相等？【解答】切应力为单位面上的力，量纲为L 1MT 2 ，单位为 N / m2 。因此，应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如dxdydz，则 y 面上切应力yz 的合力为：yz
7、 dx dz(a)z 面上切应力的合力为：zyzy dx dy(b)由式（ a） (b)可见，两个切应力的合力并不相等。【分析】 作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等，但对某点的合力矩相等，才导出切应力互等性。3第二章平面问题的基本理论【 2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(图 2-14) 其应力状态接近于平面应力的情况。【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有zxzyz0 ，只存在平面应力分量x ,y , xy ，且它们不沿 z 方向变化，仅为x，y 的函数。可以认为此问题
8、是平面应力问题。【 2-2】试分析说明， 在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（ 2-15），当板边上只受 x，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。【解答】板上处处受法向约束时z0 ，且不受切向面力作用，则xzyz0 (相应zxzy0 )板边上只受 x，y 向的面力或约束，所以仅存zO在x , y ,xy ，且不沿厚度变化，仅为x，y 的函数，故其应变状态接近于平面应变的情况。y【 2-3】在图 2-3 的微分体中，若将对形心的力矩平很条件 M C 0 改为对角点的力矩平衡条件， 试问将导出什么形式的方程？【解答】 将对形心的力矩平衡条件M
9、C0 ，改为分别对四个角点A 、B 、 D、 E 的平衡条件，为计算方便，在z 方向的尺寸取为单位1。M A0ydx 1dx( xx dx)dy 1dy( xyxydx)dy 1 dxy dy 1dy2x2x2(a)ydy) dx 1 dx ( yxyx dy)dx 1 dy f xdxdy 1 dyf xdxdy 1 dx( y0y2y22M B0(xx dx) dy 1 dy( yxyx dy)dx 1 dy ( yy dy)dx 1 dxx2yy2(b)x dy 1 dyydx 1 dxf xdxdy 1 dyf ydxdy 1 dxxy dy 1 dx022224M D0(yy dy)
10、dx 1 dxxydy 1 dxxdy 1 dyyxdx 1 dyy22(c)xdx 1 dxx dx)dy 1 dyf xdxdy 1 dyf ydxdy 1 dx(x02x222M E0(yy dy)dx 1 dxxdy 1 dyyxdx 1 dy ydx 1 dxy222(d)dydydx(xx dx)dy 1(xyxy dx)dy 1 dx f xdxdy 1fydxdy 10x2x22略去 (a)、(b)、(c)、(d) 中的三阶小量（亦即令d2 xdy, dxd 2 y 都趋于 0），并将各式都除以dxdy 后合并同类项，分别得到xyyx 。【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点
11、取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。【 2-4】在图 2-3 和微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，验证将导出什么形式的平衡微分方程？【解答】微分单元体ABCD 的边长 dx,dy 都是微量，因此可以假设在各面上所受的应力如图a所示，忽略了二阶以上的高阶微量，而看作是线性分布的，如图（b）所示。为计算方便，单元体在z 方向的尺寸取为一个单位。OxOxyx Ayx Dyx Ayx Dxy Ay Ay Dxy Dy Ay Dxy Dx AxDxy Ax AxDAfxDAf xDBf yCBf yCxy Bx Cxy CxyBx Cxy Cx Bx By By Cy By C
12、yyx Byxyyx Byx CC(a)(b)各点正应力：( x ) Ax ；( y ) Ay( x )Bxx dy ；( y ) Byy dyyy5( x )Dxx dx ；( y )Dyx dxxx( x )Cxx dxx y ；( y )Cyy dxy yxyxy各点切应力：(xy ) Axy ；(yx ) Ayx(xy )Bxyxydy；(yx ) Ayxyxdyyy(xy )Dxyxydx ；(yx ) Dyxyx dxxx(xy )Cxyxydxxydy ；(yx ) Cyxyxdxyx dyxyxy由微分单元体的平衡条件Fx 0,Fy0, 得121212xxx dydy1y2yx
13、yx +yx dxdx1x2yyy dxdx1x2xx dxxx dxx dydyxxyyxyyx dyyxyx dxyx dydx f xdxdy 0yxyyy dyyy dxy dydxyxy1xyxy +xy dydy1xy+xy dxxy+xy dyxy dx dy f ydxdy 02y2xyx以上二式分别展开并约简，再分别除以dxdy ，就得到平面问题中的平衡微分方程：xyxfx0;yxyf y0xyyx【分析】由本题可以得出结论：弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式。【 2-5】在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？【解答】
14、 (1)在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是：物体的连续性和小变形假定，这两个条件同时也是这两套方程的适用条件。(2) 在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：连续性，完全弹性，均匀性和各向同性假定，即理想弹性体假定。同样，理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件。6【思考题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？【 2-6】在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大。试根据相应的物理方程来解释这种现象。【解答】体力相同情况下，两类平面问题的平衡微分方程完全相同，故所求的应
15、力分量相同。由物理方程可以看出，两类平面问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数。由于E为 GPa 级别的量，而泊松比取值一般在（ 0，0.5），故主要控制参数为含有弹性模量的系数项，比较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问题的系数1/E 要大于平面应变问题的系数12 / E 。因此，平面应力问题情况下应变要大，故钢圆环变形大。【 2-7】在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的问题和两类平面问题的应力分量x ，y 和 xy 均相同。试问其余的应力，应变和位移是否相同？【解答】(1) 应力分量：两类平面问题的应力分量x ，y 和xy 均相同，但平面应力问题zy
16、zxz0 ，而平面应变问题的xzyz0, zxy。（ 2）应变分量：已知应力分量求应变分量需要应用物理方程，而两类平面问题的物理方程不相同，故应变分量xzyz0, xy 相同，而x ,y ,z 不相同。（ 3）位移分量： 由于位移分量要靠应变分量积分来求解，故位移分量对于两类平面问题也不同。【 2-8】在图 2-16 中，试导出无面力作用时AB 边界上的x,y,xyO之间的关系式gyxyxxAn【解答】由题可得：l cos, m cos90 osinyBfxAB0, f yAB0图 2-16将以上条件代入公式（2-15），得：xAB cosyxAB sin0,y AB sin( xy ) AB
17、 cos 0(x) AByxtanytan2ABAB7【 2-9】试列出图 2-17，图 2-18 所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。oh1xqFNh/ 2xgbMh/ 2h2FSq1lyyh2b图 2-17图 2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。【解答】图2-17：上（ y=0）左 (x=0)右（ x=b）l0-11m-100f x s0g y h1g y h1f ysgh100代入公式（2-15）得在主要边界上x=0 ，x=b 上精确满足应力边
18、界条件：x x 0x x bg( yh1 ),xyx0g( yh1 ),xyxb0;0;在小边界y0上，能精确满足下列应力边界条件：yy 0gh,xyy00在小边界yh2 上，能精确满足下列位移边界条件：u y h0, v y h022这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1时，可求得固定端约束反力分别为：Fs0, FNgh1b, M0由于 yh2 为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：8bdxgh1b0yy h2bxdx00yy h2bdx00xyy h2图 2-18上下主要边界 y=-h/2 ，y=h/2 上，应精确满足公式（2-15）lmf x
19、 (s)f y (s)h0-10qy2h01- q10y2( y ) y - h/ 2q ， ( yx ) y -h / 20 ， (y ) y h / 20 ， ( yx )y h / 2q1在 x =0 的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有h /2(xy )x 0 dxFSh /2h /2x )x 0 dxFN(h /2h /2x )x 0 ydx M(h /2在 x=l 的小边界上， 可应用位移边界条件ux l0,vx l 0 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，
20、列平衡方程求反力：Fx0, FNFN q1lFN q1l FNFNF0, FF ql 0 Fql FMySSSFSSM A 0, M M FSl1 ql 21 q1lh 0Mq1lhM FSlql 22222由于 x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故h / 2x ) x l dyFNq1l FN(h /2h / 2q1lhql2(x ) x l ydy MMFSlh /222h / 2xy ) x l dy FSql FS(h /29qo FNMxox【 2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19 所示的两个问题中AAqbb/2OA 边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是
21、b/2 FN2bhh2静力等效？Mqb12【解答】 由于 h ? l ，OA 为小边界， 故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：(a) 上端面 OA 面上面力 f x 0, f yx qyh b, 1ba由于OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符图 2-19号相反，有ybbdxbb xqbyf y dxqdx0y 000 b2bxdxbb xbqb2yf y xdxqxdx0y 000 b212 ( 对 OA 中点取矩 )bdx00yxy 0( )应用圣维南原理， 负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢 y 向为正，主矩为负，则bdxFNqb0y2y
22、0bqb2y 0 xdxM0y12bdx00xyy 0综上所述，在小边界 OA 上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。【 2-11】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】（ 1）在区域内用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；（ 2）在 s 上用位移表示的应力边界条件式（2-19）；（ 3）在 su 上的位移边界条件式（2-14）；对于平面应变问题，需将E、 作相应的变换。【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时，位移分量必须满足的条件。【 2-12】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】（ 1）在区域 A 内的平
23、衡微分方程式（ 2-2）；10（ 2）在区域 A 内用应力表示的相容方程式（2-21）或（ 2-22）；（ 3）在边界上的应力边界条件式（2-15），其中假设只求解全部为应力边界条件的问题；（ 4）对于多连体，还需满足位移单值条件。【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时，应力分量必须满足的条件。【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】用应变表示的相容方程式（2-20）【 2-13】检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？【解答】（ 1）在区域 A 内用应力函数表示的相容方程式（2-25 ）；（ 2）在边界 S 上的应力边界条件式（ 2-15 ），假设
24、全部为应力边界条件；（ 3）若为多连体，还需满足位移单值条件。【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。【 2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：qqaaqbxh/2xOOh/2bqyqyll ? h图 2-20图 2-21a2-20， s x =y 20 。（ ）图b2 q ， yxy【解答】 在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（ 1）平衡微分方程 （ 2-2）；（ 2）用应力表示的相容方程（2-21）；（ 3）应力边界条件（2-15）。（ 1）将应力分量代入平衡微分方程式，且f x f y 0xyx0yxy0显然满足xyyx（ 2）将应力分量代入用应力表示的相
25、容方程式（2-21），有222q等式左 =2y2xy = b20 =右x应力分量不满足相容方程。因此，该组应力分量不是图示问题的解答。（ b）图 2-21，由材料力学公式，xMxyFsS*b=1) ，得出所示问题的y ，(取梁的厚度IbI112q x3xy - 3q x2解 答 : x3y ，3 ( h24 y 2 ) 。 又 根 据 平 衡 微 分 方 程 和 边 界 条 件 得 出 ：lh4 lh3q xy2qxy3q xylh3。试导出上述公式，并检验解答的正确性。2 lh2 l【解答】（ 1）推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变， 梁横截面是宽度为 1，高为 h 的矩形， 其对中性
26、轴 （ Z 轴）的 惯 性 矩h3， 应 用 截 面 法 可 求 出 任 意 截 面 的 弯 矩 方 程 和 剪 力 方 程I12M ( x)q x3 , F xqx2 。6l2l所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：Mxx3 yxy2q3Ilh3Fsx4y23qx2h24 y2xy1h24.3。2bhlh根据平衡微分方程第二式（体力不计）。yxy0yx得：y3q . xy2q xy3A2lhlh 3根据边界条件yyh / 20得Aq . x2l故y3q . xy2q xy3q . x2 lhlh 32l将应力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：左6q. x2 y6q x2 y0 右满足l
27、h3lh3第二式自然满足将应力分量代入相容方程（2-23）122212q. xy12q. xy左y2xy0 右x2lh 3lh 3应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。【 2-15】试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。【解答】（ 1）确定最大最小切应力发生位置任意斜面上的切应力为n lm21 ，用关系式 l 2m21 消去 m，得nl 1 l 2l 2l 41/ 41/ 2 l 22212121由上式可见当 1 l 20时，即 l1 时， n 为最大或最小， 为n max12 。因此，22min2切应力的最大，最小值发生在与x 轴及 y 轴（即应力主向）成45的斜面上。（ 2）求最大，最小切应力作用面上，正应力n 的值任一斜面上的正应力为nl 2122最大、最小切应力作用面上l1/ 2 ，带入上式，得n证毕。111221222【 2-16】设已求得一点处的应力分量，试求1 ,2 , 1(a)x 100,y50,xy1050; ( b)x 200,y 0,xy400;(c)x2000,y1000, xy400;(d) x1000, y1500, xy500.【解答】由公式（2-6）2及 tan1xarctan 1x1xyxy211，得22xyxyxy211005010050
