1、误差理论与数据处理期末总复习一、试题类型及其考试形式和时间：1、 题型：（ 1）填空题20%；（ 2）是非题10%；（ 3）选择题（ 5）应用题28%。2、 考试形式：期末考试为闭卷笔试。3、 考试时间：期末考试时间为120 分钟。20%；（ 4）问答题22%；二、课程总复习第一章、绪论1）误差的定义及其表示法。(1) 绝对误差： 绝对误差 =测得值 - 真值；(2)相对误差：相对误差 =绝对误差 / 真值绝对误差 / 测得值；(3)引用误差：引用误差 =示值误差 / 测量范围上限；2）误差的基本概念。所谓误差就是测得值与被测量的真值之间的差。误差 =测得值 - 真值3）误差的来源。(1) 测
2、量装置误差； (2) 环境误差； (3) 方法误差； (4) 人员误差； (5) 被测量对象变化误差；4）误差分类：(1) 系统误差： 在相同条件下， 多次测量同一量值时， 该误差的绝对值和符号保持不变， 或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。(2) 随机误差：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。(3) 粗大误差：指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。5 ）测量的精度。 准确度：表征测量结果接近真值的程度。 系统误差大小的反映精密度：反映测量结果的分散程度 （针对重复测量而言） 。表示随机误差的大小精确度： 表征测量结
3、果与真值之间的一致程度。系统误差和随机误差的综合反映6)有效数字 1 若舍去部分的数值大于保留末位的0.5 ，则末位加1，（大于 5 进）；2若舍去部分的数值小于保留末位的0.5 ，则末位不变， （小于 5 舍）；3若舍去部分的数值恰等于保留末位的0.5 ，此时 :若末位是偶数；则末位不变，若末位是奇数，则末位加1，（等于 5 奇进偶不进） 。 第二章、误差的基本性质与处理1 随机误差设被测量的真值为, 一系列测得值为, 则测量列中的随机误差为, 式中， i=1,2, ,n算术平均值：，及算术平均值计算的校核；1） 测量的标准差测量的标准偏差简称为标准差，也可称之为方均根误差测量列中单次测量的
4、标准差：，（ Bessel 公式）。计算标准差还有别捷尔斯法、极差法及最大误差法等。（ 2）测量列算术平均值的标准差：2) 测量的极限误差极限误差是指极端误差，是误差不应超过的界限，此时对被测量的测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差，不超过极端误差的置信概率为 p，并使差值 1p a 可以忽略。此极端误差称为测量的极限误差，并以表示。(1)单次测量的极限误差：(2)算术平均值的极限误差：3） 不等精度测量(1)权的定义：当与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程序。记为p.(2) 确定方法： 按测量的次数来确定权。即测量条件和测量水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也
5、愈大，因此完全可由测量的次数来确定权的大小。即 按其相应的标准差确定。假定同一个被测量有m组不等精度的测量结果，于是每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比。(3) 加权算术平均值：(4) 加权算术平均值的标准差： 已知单位权测得值的标准差：； 标准差未知：2 系统误差要点：介绍适用于发现某些系统误差常用的几种方法：（ 1）实验对比法； （ 2）残余误差观察法； （ 3）残余误差校核法； （ 4）不同公式计算标准差比较法； （5）计算数据比较法； （ 6）秩和检验法； （ 7） t 检验法；不变系统误差消除法：（ 1）代替法；（2）抵消法；（ 3）交换法；3 粗大误差要点：判别粗大误差的准则
6、(1) 莱以特准则；（ 2）罗曼诺夫斯基准则； （ 3）格罗布斯准则； （ 4）狄克松准则；4 测量结果的数据处理实例：假定该测量列不存在固定的系统误差，则可按下列步骤求测量结果。1求算术平均值2求残余误差3校核算术平均值及其残余误差4判断系统误差5. 求测量列单次测量的标准差6. 判别粗大误差7. 求算术平均值的标准差8. 求算术平均值的极限误差9. 写出最后的测量结果 第三章、误差的合成与分配第二章所讨论的主要是直接测量的误差计算。但在有些情况下， 由于被测对象的特点，不能进行直接测量，或者测量难以保证测量精度，需要采用间接测量。间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，
7、按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误差汁算，也有称之为误差合成。1) 函数系统误差计算在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且一般为多元函数，其表达式为式中，为各个直接测量值，y 为间接测量值。函数系统误差公:,为各个直接测量值的误差传递系数。2) 函数随机误差计算随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的， 对于函数的随机误差， 也是用函数的标准差来进行评定。 因此，函数随机误差计算， 就是研
8、究函数 y 的标准差与各测量值 x1,x2, ,xn 的标准差之间的关系。函数的一般形式为： ，则函数标准差为：第四章测量的不确定度。测量不确定度是指测量结果变化的不肯定，是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计，是测量结果含有一个参数，用以表示被测量值的分散性。1）A类评定：指用对样本观测值的统计分析进行不确定度评定的方法。2 ）B 类评定：指用不同于统计分析的其他方法进行不确定度评定的方法。3 ）自由度：由于不确定度是用标准差来表征，因此，不确定度的评定质量就取决于标准差的可信赖程度。而标准差的信赖程度与自由度密切相关，自由度愈大， 标准差愈可信赖。所以，自由度的大小就直接反映了不确定度
9、的评定质量4 ）合成标准不确定度：当测量结果受多个因素影响而形成若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度通过该多个标准不确定度分量合成得到的。5 ）展伸不确定度：给出一个测量结果的区间，使被测量的值大部分位于其中，为此需用展伸不确定度( 也有称为扩展不确定度 ) 表示测量结果。展伸不确定度由合成标准不确定度，乘以包含因子k 得到，记为U，即；自由度：第六章、线性参数的最小二乘法处理最小二乘法大原理：设误差方程：，则当为等精度测量时，残余误差平方和最小这一条件的矩阵形式为：得其解：其精度估计：（等精度测量）第六章、回归分析1 ）一元线性回归方程设一元线性回归的经验的回归方程为：解得：其中：，
10、见课本 P123。2） 回归方程的方差分析及显著性检验三、习题集( 一）填空题：01测量的目的是确定被测量的值或获取测量结果；02量可以做定性区别和定量确定，那么定性区别是指量在特性上的差别，如：几何量、电学量。它们之间是不能相互比较的。定量确定是指具体 的量，也称为特定量。 如 某种杆的长度、某件衣服的大小 （举例可随意，但要力争准确）。03测量仪器一般有以下一些计量性能会导致产生不确定度如：（ 1）响应特性（2）灵敏度（ 3）鉴别力（ 4）分辨力（5）死区（ 6）稳定性（ 7）漂移（ 8）准确度等级（9）最大允许误差（ 10）偏差（ 11）重要性（ 12）引用误差04测量不确定度表示与指南
11、缩写为GUM ，它是由 7 个国际组织的名义正式由ISO出版发行。05 CIPM代表 国际计量委员会组织。 BIPM代表国际计量局组织。06在实际测量中通常以被测量的实际值、已修正的算术平均值、计量标准所复现的量值作为约定真值。07测量结果的重复性条件包括：相同的测量程序、相同的观测者、 在相同的条件下使用相同的测量仪器、相同的地点、在短时间内重复测量。08数学模型可用已知的物理公式求得，也可用实验的方法确定。09不确定度传播律中的偏导数称为 灵敏系数或传播系数。10观察测量次数 n 应充分多才能使A 类不确定度的评定可靠，一般认为n 应 5 。11包含因子的定义是为获得扩展不确定度，而对合成
12、标准不确定度所乘的数字因子。12测量结果的质量（品质）往往会直接影响国家 和企业的经济利益。13 ISO 代表 国际标准化组织， OIML代表国际法制计量组织。14国际单位制的通用符号是SI ，目前国际单位制基于7个基本单位。它们分别是长度 / 米 /m；质量 /千克 /kg ； 时间 / 秒/s； 电流 / 安培 /A ；热力学温度/ 开尔文 /K ；物质的量 / 摩尔 /mol ； 发光强度 /坎德拉 /cd 。15测量方法可按不同方式分类，如替代法和 微差法及 零位法。16在规范测量中， 所谓规范测量是指明确规定了程序、条件的测量， 例如按测量仪器检定规程进行的检定，按给定技术规范对样品
13、的某参数进行测量。17测量结果的质量是科学实验，成败的重量因素之一，也会影响到人身的健康和 安全。18测量不确定度可以由人们根据实验资料、 经验、等信息进行评定，从而可以定量确定。其评定方法有 A、 B 两类。19寻找不确定度来源时，可从测量仪器、 测量环境、 测量人员、 测量方法、 被测量等方面全面考虑，应做到不遗漏、不重复、特别应考虑对结果影响大的不确定度的来源。遗漏会使被测量Y 的估计值 y 的不确定度过小，重复会使y 的不确定度过大。20测量结果和测量结果得出的结论可以成为执法和 决策的重要依据。21完整的测量结果是含有两个基本量，一是被测量中的最佳估计值Y ，一般由数据测量列的算术平
14、均值给出，另一个就是描述该测量结果分散性的量，一般由测量不确定度给出。（二）、问答题：1 测量不确定度的评定是否可以称为误差分析？答：误差分析这一术语在其他国家和我国计量学界长期以来用作为测量结果可靠程度分析用语。统一采用不确定度这一术语定量表述测量结果的可疑程度，习惯上把“误差”作为“误差限”概念来使用的情况很多。 现在情况不同了， 如果所分析的结果并非误差而是不确定度，由于过去没有、“可能误差”的很明显， 应称之为不确定度分析或不确定度评定，以免造成混淆。2 何谓测量模型或数学模型的含义？答：在实际测量的很多情况下，被测量Y（输出量）不能直接测得，而是由N 个其它量X1， X2， XN（输
15、入量）通过函数关系f 来确定Y=f （ X1，X2， XN）上式表示的这种函数，就称为测量模型或数学模型，或称为测量过程数学模型。测量不确定度通常由测量过程的数学模型和不确定度的传播律来评定。由于数学模型可能不完善，所有有关的量应充分地反映其实际情况的变化，以便可以根据尽可能的观测数据来评定不确定度。在可能情况下， 应采用按长期积累的数据建立起来的经验模型。核查标准和控制图可以表明测量过程是否处于统计控制状态之中，有助于数学模型的建立和测量不确定度的评定。数学模型不是唯一的，如果采用不同的测量方法和不同的测量程序，就可能有不同的数学模型。3 在给出测量结果时应注意哪两点？答：因为测量结果是由测
16、量所得到的赋予被测量的值，所以应该注意以下两点：（）在给出测量结果时，应该说明它是示值，未修正测量结果或已修正测量结果，还应表明它是否为几个值的平均。（）在测量结果的完整表述中应包括测量不确定度，必要时还应说明有关影响量的取值范围。4 什么叫标准不确定度？什么叫扩展不确定度？他们分别用什么符号来表示答：不确定度可以是标准差或其倍数，或是说明了置信水准区间的半宽。以标准差表示的不确定度称为标准不确定度，以u 表示。标准差的倍数表示的不确定度称为扩展不确定度，以U 表示。5 什么是被测量之值的估计，最佳估计？答：一切测量结果都是被测量的一个近似值，因而称之为被测量之值估计或估计值。最佳估计是最好的
17、一个近似值。 因此， 如果是重复性条件下的多次测量，则应是它们的算术平均值；如果是复现性一条件下的多次测量，则应是它们的加权平均值；当修正不为零时，还都必须是修正后的测量结果。估计一词也用于不确定度评定的其他量，例如：重复性条件下通过有限次数重复测量结果按统计方法得到的实验标准偏差s 就是总体标准偏差的一个估计，算术平均是该分布期望值的估计。6 在测量过程中引起不确定度的来源有哪几方面？答：测量不确定度的来源可能来自以下10 个方面：对被测量的定义不完整或不完善；实现被测量定义的方法不理想；取样的代表性不够，即被测量的样本不能完全代表所定义的被测量；对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条
18、件测量控制不完善。对模拟式仪器的读数存在人为偏差（偏移）测量仪器计量性能上的局限性。赋予计量标准值和标准物质的值不准确。引用的数据或其他参考的不确定度。与测量方法和测量程序有关近似性和假定性。 代表面上看来完全相同的条件下，被测量值的变化。7 什么叫标准不确定度的B 类评定？答：测量不确定度的评定方法主要分成两大类：一类是用统计方法进行评定的称之为A 类评定，而其他的非统计方法统称为 B 类评定。也就是说，当被测量 X 的估计值 xi 不是由重复观测得到， 其标准不确定度 u(xi) 可用 xi 的可能变化的有关信息或资料来评定。一般的B 类评定的信息来源有以下6 项：以前的观测数据；对有关技
19、术资料和测量仪器特性的了解和经验；生产部门提供的技术说明文件；校准证书、检定证书或其他文件提供的数据，准确度的等别或级别，包括目前暂在使用的极限误差等；手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重要性限r 或复现性限R。8 不确定度的A 类评定中要求重复观测值相互独立，是否就是指不相关？答：在不确定度的A 类评定中，指出“重复性条件下所得的测量列的不确定度”和“这一测量程序中的重复观测值，应相互独立”。这里：一是指明了“重复性条件”这一条件，二是观测值应相互独立。很明显，所谓重复性条件是包括测量人员、使用的测量仪器和参考测量标准在内都不变的条件。在这
20、一条件下， 测量结果之间必定存在较大的相关性。现在的问题是： 相关必定是指不同输入量估计值间出现的彼此不独立，而不是指一个被测量（也可是输入量）的多次重复观测值。多次重复观测值可以彼此独立，但不存在协方差及其所导致的相关系数。因此，要求重复观测值相互独立并非指不相关。必须注意， 在标准不确定度合成中所指的相关，是不同输入量的估计之间的相关不是一个量的不同测量结果之间的相关。9 合成标准不确定度uc(y)定义如何理解？答：合成标准不确定度无例外地只用标准差给出，其符号必定有小写正体c 作为下角标， 如给出的为相对标准不确定度，另加正体小写下角标rel成为； ucrel 。按导则定义为：当测量结果
21、是由若干个其他量的值求得时， 按其他各量的方差和协方差得的标准不确定度。如各量彼此独立，则协方差为零。 如协方差不为零（相关情况下） ，则必须加进去。注意，不是“按其他各量的方差或协方差算得的标准不确定度”。从上述定义， 可以理解为： 当测时结果的标准不确定度由若干标准不确定度分量构成时，按方差根 （必要时加协方差）得到的标准不确定度。当某个量的不确定度只以一个分量为主，其他分量可忽略不计的情况下，就无所谓合成标准不确定度了。10为什么不能用随机不确定度和系统不确定度这样的概念？答：不确定度意指可疑的程度，广义而言， 指对测量结果的正确性的可疑程度。它给出的是对被测量可能得到的估计值的分散区间
22、的宽度（半宽）。作为一种分散性，是不能区分为随机性和系统性的。怎么理解随机性的可疑程度或系统性的可疑程度呢？过去有些国家或行业习惯把系统效应导致的不确定度称为系统不确定度而把随机效应导致的不确定度称为随机不确定度，这种概念从逻辑上是不通的，因而不应再使用。11. 按校准书已知某测量仪器的等别时，如何评定其标准不确定度？答：对于那些分为等的测量仪器，在其校准证书中，一般均给出了被校准测量仪器属于哪个等，而往往不再给出校准结果的不确定度。等是按校准结果不确定度大小划分的一种档次，例如量块、 活塞压力计、 标准电池等。给出了等别，实质上就相当于说明了其不确定度不超过某个限值。12什么情况下B 类评定方法所得到的标准不确定度的自由度可估计为无限大？答：自由度是用于说明标准不确定度的可靠性的，越可靠，自由度越大。因此，当我们用非统计方法评定出的结果十分可靠时，就可估计其自由度为无限大，例如：a. 校准证书上给出了校准结果的扩展不确定度U或 Up，该标准测量仪器稳定性极好或校准时间并不太长，保存条件也较理想，其值不致有明显变化。b. 按测量仪器的最大允许误差或级别所评定的标准不确定度。c. 按测量仪器的等别的不确定度档次界限所作出的评定。 d.按测量仪器引用误差或其相应级别作出的评定。e. 通过3 或置信概率为p=99.73%作出的评定。13 最小二乘法原理介绍；14 方差分析原理。
