1、南京航空航天大学2015 级硕士研究生共 5 页第 1 页2015 2016学年第1 学期 矩阵论 课程考试A 卷考试日期：2015 年12 月28 日课程编号：A080001 命题教师：阅卷教师：学院专业学号姓名成绩211一、 (20分) 设 3 阶矩阵A0101101求 A 的特征多项式和初等因子；2求 A 的最小多项式和Jordan 标准形；1003问： A 与矩阵 B110是否相似？并说明理由111案及评分标准：1.特征多项式为 f ( ) (1) 3 ；初等因子为1, ( 1) 2 .1002. A 的最小多项式是 m( )( 1)2 ，Jordan 标准形为 J011.0013.
2、因为 B 的初等因子为 (1) 3 ，与 A 的初等因子不同 , 所以 A 与 B 不相似 .（5 分）共 5 页第 2 页二、 (20 分) 设 V X R2 2 | tr ( X )0 ，映射使得( X ) XX T ,XV .1证明 V 是 R2 2 的一个子空间，并求它的维数和基；2证明是 V 的线性变换，并求在题 1 所取基下的矩阵；3求的核 ker() 与值域 R() 的维数和基；?4证明： Vker()R() .答案及评分标准 :1. 直接验证，知 V 是线性子空间 . V 的维数是 3，一组基是10010010,20,31.1002. 直接验证 , 知是线性变换 .000在题
3、1 所取基下的矩阵是 A011 .0113.由于 ker( )span 1 , 23 ，所以 dim( ker() )2 ， 1 ,23 为 ker( ) 的一组基；由于 R( )span 23 ，所以 dim( R()1 ， 23 是 R() 的一组基 .4.?由于 dim( ker() )dim( R() 3 dim( V ) ，所以 Vker()R( ) .共 5 页第 3 页101t三、(20 分)设非齐次线性方程组 Ax相容，其中 A011，9 .11291作出 A 的一个满秩分解；2求 A 的加号逆 A ；3求方程组 Ax的极小范数解（要求解中不含有参数t ）答案及评分标准 :10
4、011. A 的一种满秩分解为A01BC ；111101( 注意：满秩分解不唯一，需要检验 ) 121121(B )T12. 因为 B12, C1 2 , 所以31311541AC B151.491213. 由相容性 , 解得 t0, 从而极小范数解为 x A(3, 6, 3) T .共 5 页第 4 页111四、 (20 分) 设矩阵 A111 .0121求 A 1 , A , A F , A 2 ；2证明对于 C 3 3 中的任意矩阵 B ，有 2 B 2 AB 26 B 2 ；3证明矩阵幂级数1k Ak绝对收敛，并求其和k0 3答案及评分标准 :1. A 1 4,A3,A F11 .20
5、0由于 AT A030, 所以 A 26 .0062. 由矩阵 2范数的相容性 , 有 AB 2A 2 B 26 B 2 另一方面，由题的计算过程知 A 11，从而22B 2A 1 AB 2A 12AB 21AB 2 ，2即 2 B 2AB 2 3. 已知幂级数1k xk的收敛半径为3, 且( A)A 2 3 , 则矩阵幂级数k0 31k Ak 绝对收敛 , 且k0 311 A) 11303Ak( I3(3I A) 1121.k 0 3k32127共 5 页第 5 页五、 (20分) 设A, B分别是n 阶Hermite正定矩阵和半正定矩阵，证明：1 AB 相似于Hermite半正定矩阵；2若3若AAABA，则 I1BA B ，则AAB1；B 答案及评分标准 :1.A0 AS2 , 这里 S 是可逆的 Hermite 矩阵 , 从而 S 1 ABSSH BS . 由于B0 , 所以 SH BS 0, 即 AB 相似于 Hermite半正定矩阵 SH BS .2.AABA( AB)1. 由题 1 的结论， AB 的特征值满足条件011,021, 0 n 1.于是 IAB(1 1)(12 )(1n )13.A BA 1B( BA 1 ) 2 1( BA 1 ) 1A B .
