1、Nuaa-MEE张量分析入门An Introduction to Tensor Analysis第2 讲09:32:432张量分析入门123掌握张量的基本运算法则；熟练运用张量表示力学的基本方程;熟练运用符号与求和约定；教学目标 :09:32:433张量分析入门0.2 张量的概念 ；0.3 张量代数 ;0.1 符号与求和约定 ；主要内容 :09:32:4340.1 符号与求和约定),(21 nxxx L)3,2,1(,)3,2,1(,=jyixji),(21 nyyy L可以表示为：一、指标变量的集合：写在字符右下角的指标称为下标。写在字符右上角的指标称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。0
2、9:32:4350.1 符号与求和约定3,2,1, =jyjmlkjxj, =nixi,2,1, L=用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n的所有整数，其中n称为指标的范围。jy09:32:4360.1 符号与求和约定二、求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3， n求和。称为求和约定。09:32:4370.1 符号与求和约定iip az=iniizaP=1例:iiizaP=31)3,2,1(, = izaPii09:32:4380.1 符号与求和约定)3,2,1(, = ipzaiipzazaza =+3322
3、11式中 ai, p 是常数。例：三维空间的平面方程为：pzaiii=31应用求和约定，则这个方程可写成如下形式：方程可写成: )3,2,1(, = kpzakk09:32:4390.1 符号与求和约定)3,2,1(, = izapii)3,2,1,( =+= kjzbapkkjj重复指标称为哑指标或跑标;不求和的指标称为自由指标。09:32:43100.1 符号与求和约定=niiiniiixaxa11)()(=niiixa12)(jjiixaxa例:注哑指标只是表示求和。在一项中，同一个指标字母的使用不能超过两次。),2,1( nixaxaiiiiL=09:32:43110.1 符号与求和约
4、定求和约定可以推广到微分公式：设 f(x1,x2,xn) 为n个独立变量 x1,x2,xn的函数，则它的微分可写成 :中 i被认为是下标。iidxxfdf=ix09:32:43120.1 符号与求和约定克罗内克符号 的定义是:ji=)(0)(1jijiji1332211= 0323123211312= 克罗内克符号也可写成 ij或 ij。三、 克罗内克( Kronecker)符号09:32:43130.1 符号与求和约定例：空间直角坐标系中，线元矢量长度的平方为：2322212)()()( dxdxdxds +=利用克罗内克符号，上式可写成：jiijdxdxds =209:32:43140.1
5、 符号与求和约定jjjixx =jkikji =克罗内克符号的一些常用性质：jiijxx=09:32:43150.1 符号与求和约定置换符号eijk=eijk定义为:=011ijkijkeei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。当i,j,k 是1，2，3的偶置换(123,231,312)当i,j,k 是1，2，3的奇置换(213,132,321)当i,j,k 的任意二个指标相同四、置换符号09:32:43160.1 符号与求和约定置换符号主要可用来展开三阶行列式：23123133122123321123123113322133221133323123222113121
6、1aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa+=kjiijkjiaaaeaa321=若以 表示行列式中的普遍项，以 表示行列式，则上述行列式可写成：jiajiaknjmilijkilmaaaeae =09:32:43170.1 符号与求和约定1100010001333231232221131211=jiknjlimkljnimkljminkmjlinkmjnilknjmillmnijkknkmkljnjmjlinimilee+=kmjnknjmimnijkee =五、克罗内克符号与置换符号的关系09:32:43180.1 符号与求和约定knjlimkljnimkljminkmjl
7、inkmjnilknjmillmnijkknkmkljnjmjlinimilee+=kmjnknjmimnijkee =knknknkjjnknjjijnijkee 23 =62 =kkijkijkee 09:32:43190.2 张量的概念在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中，有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。个量在坐标变换时,其分量的变换法则是该量的重要性质。09:32:43200.2 张量的概念=zzzyzxyzyyyxxzxyxxij在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态，有 9个应力分
8、量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有：这9个分量的集合确定了一点的应力状态，称为应力张量。当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换。09:32:43210.2 张量的概念所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中 定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其他坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。张量是佛克脱(WVoigt) 提出（用来表示晶体的应力(张力)状态）。09:32:43220.2 张量的概念张量是矢量概念的推广,有不同的阶和结构，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分,是一种不
9、依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。09:32:43230.2 张量的概念若坐标系 xi作容许变换成另一新坐系标 yi（i =1,2,3） ，则可以定义该量在新坐标系 yi中的分量。设一个量(物理量或几何量)的分量在曲线坐标系 xi（i=1,2,3）中定义，它们是坐标 x1 、 x2、 x3的函数。根据该量的分量在坐标变换时所遵循的不同变换法则，给予该量以不同的名称。一、张量定义09:32:4324一个量被称为标量或绝对标量，若它在坐标系 xi 中只有一个分量 ，在新坐标系yi中也只有一个分量 ，并且在两个坐标系中的对应点上， 与 的数值相等。),(),(321321xxxyyy =0.2
10、张量的概念(1) 标量09:32:4325(2) 逆变矢量(一阶逆变张量)一个量被称为逆变矢量或一阶逆变张量：若其在坐标系 xi 中有三个分量为 Ai ，而在新坐标系yi中的三个分量为 i，且：() ()jijixyxAyA=0.2 张量的概念逆变矢量用上标表示(上标也称为逆变指标)09:32:43260.2 张量的概念() ()ijyxxAyAji=（3）协变矢量(一阶协变张量)一个量被称为协变矢量或一阶协变张量：若其在坐标系 xi 中有三个分量为 Ai ，而在新坐标系yi中的三个分量为 i，且：09:32:43270.2 张量的概念(4) 二阶协变张量() ()(5) 二阶逆变张量(6)
11、二阶混合张量jnimyxyxxAyAmnij=() ()njmixyxyxAyAmnij=() ()njimnmjixyyxxAyA=09:32:43280.2 张量的概念在三维空间，r阶张量的分量总数为N=3r ；标量是零阶张量，矢量是一阶张量。1）张量是矢量概念的推广，由它的分量的集合所规定。2）张量的基本性质由坐标变换时张量的分量所遵循的变换法则来确定，变换法则与张量表示什么物理量无关。3） 张量可分为零阶、一阶、二阶 。张量的阶等于变换法则中变换系数的维度，也等于张量的指标的数目。二、张量特性09:32:43290.2 张量的概念4）按照张量的变异(结构)，张量可分为逆变、协变和混合，张量的变异也由张量的指标的位置(上标、下标、或兼有上标下标)来区别。09:32:43300.2 张量的概念注 :在曲线坐标系中，必须很好地理解逆变张量与协变张量的意义以及变换法则的区别。但若采用直角坐标系描述，则张量的逆变与协变的区别消失，把所有张量的指标写成下标。该张量称为笛卡尔张量或直角坐标张量。
