1、三角函数解答题1.在4ABC中，设角A, B, C的对边分别为(1)求角A, B, C的大小；a, b, c,若 sin A sin BcosC ,(2)若BC边上的中线 AM的长为77求 ABC的面积.解：(1)由$丽人sinB知A B,所以C 又 sin A cosC 得 sin A cos2A ,2A,2.2.即 2sin2 A sin A(2)在 ABC 中,1 0,由于解得sin ABC边上中线sin AAM的长为 J7 ,故在 ABM中，由余弦定理得222 aAM c 2c4a一 cos, 2622 ac -4在 ABC中，由正弦定理得sin 一6sin 一6csin3c3.10分
2、由解得2,b2,c2、. 3.ABC的面积S1absinC 2由3.212分如图，在 ABC中，C记锐角 ADB .且满足(1)(2)解析:求BC边上高的值.(1) cos2(2)由(1)得 sinsin CAD45,cos2D为BC中点，BC7252.第16题图2cos2,1 cos2sin()在 ACD中，由正弦定理得:sin92545cos4CDsin CADCAD ADBcos sin 4ADsin C45二109 ADCD sin Csin CAD1 J T 5, ,2 1011_4则局 h AD sin ADB 5-4.1253.如图，在等腰直角 OPQ中，/ POQ = 90,
3、OP=2，2,点M在线段PQ上，(1)若OM=y5,求PM的长；(2)若点N在线段 MQ上，且/ MON=30,问：当/ POM取何值时, OMN的面积最小？并求出面积的最小值.解 (1)在4OMP 中，ZOPM = 45, OM=/5, OP=2g,由余弦定理得， OM2=OP2+MP22XOPX MPXcos 45 ,得 MP24MP+ 3=0,解得MP = 1或MP=3.(2)设 / POM = % 0y 60 ,在AOMP中，由正弦定理，得OMOPsin/OPM sin/OMP所以OM =OPsin 45sin 45 0+ a同理入 OPsin 45 ON =.sin 75 + a1故
4、 Saomn = 2 X OM X ON X sin / MON1OP2sin245=X4 sin 45 + a sin 75 + a1sin 45 + a sin 45 + a+ 3031sin 45 + a sin 45 + a + 2cos 45 + a乎sin2 45 + a +2sin 45 + a cos 45 + a暗1 cos 90+2a + 1sin 90+2a 13；31丁 十sin 2 a+ 4cos 2 a13 1o .+ 2sin 2 a+ 30因为 0 v a 60 , 30 & 2a+ 30 & 150 ；所以当 a= 30 时，sin(2 a+ 30 )取最大值
5、 1,此时OMN的面积取到最小值，即 /POM = 30时，4OMN的面积的最小值为 8-473.4.已知向量 a = (cos a,sin o),b=(cosx,sin x),c= (sin x+2sin a,cos x + 2cos o),其中 0 /x 兀.(1)若a= 4,求函数f(x)= b c的取小值及相应 x的值；兀 一 ,1、_，.(2)若a与b的夹角为3,且aXc,求tan 2a的值.(1) b = (cos x, sin x), c= (sin x+2sin a, cos x+2cos 力，- f(x) = b c=cos xsin x+2cos xsin a+ sin x
6、cos x+2sin xcos a= 2sin xcos x+ 虚(sin x+cosx).令 t= sin x+cos x 4Vx 兀，则 2sin xcos x=t21,且一1tV2.则 y=t2+V2t-1= t+当23, 1tm=平时, ymin= 2，此时 sin x+cosx/2 _ r兀 22 兀兀 兀5x=-,即 42sin x+4 =一亍，4x7t, -2x+447t,，式711兀 x+4=尹法.函数的最小值为一3,相应x的值为112兀(2) a与b的夹角为3,|a| |b|=cos ocos x+ sin osin x=cos(x a).兀 - x a=二3.0 0 ax
7、Tt,0x a Tt,a c, cos o(sin x + 2sin 耳+sincos x+ 2cos 0=0, r兀，sin(x+ a) + 2sin 2 a= 0,即 sin 2 a+ 3 +2sin 2 a= 0.5sin 2 a+13 2COS 2 a= 0 tan 2 a= - -i5 .sinA + sinB5.在ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c, tanC=cosA+ cosB求角C的大小；(2)若ABC的外接圆直径为1,求a2+b2的取值范围.解:sinA + sinB(1)因为 tanC =cosA + cosBsinC sinA + sinB，即普=：一:，
8、cosC cosA + cosB所以 sinCcosA + sinCcosB = cosCsinA + cosCsinB,即 sinCcosA cosCsinA = cosCsinB sinCcosB,得 sin(C A) = sin(BC).所以 C-A = B-C,或 C-A= u - (B C)(不成立).兀即 2C= A+B,得 C = -.兀兀兀2兀兀兀(2)由 C=,设 A =-+ & B = 3- a, 0VA、B ,知一- a-.因为 a=2RsinA = sinA , b=2RsinB = sinB, (8 分)所以 a2+ b2= sin2A +sin2B= 1 Js2。1
9、 一,12兀2兀=1 - 2 cos 万+ 2 a + cos - 2 a一 - cos2 a w 1 故- a2 + b2 -242.uuu r uuu r uuu r6.在ABC 中，设 AB=c,BC=a,CA=b,= 1 + 2cos2a3； 知一2a7, 23333r r r r r r r且a ?b=b ?c 2 , b与c-b的夹角为150r(1)求b ; (2)求 ABC的面积。.7在斜 ABC中，设角A,B,C所对的边为a,b,c.(1)求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ;(2)若a = 2b = 3c ,求 cos(A-B)的值。 cosA cosB cosC8.已知A,B,C是4ABC的三个内角且满足2sinB=sinA+sinC,设 B 的最大值为 B0.(1)求Bo的大小;c 3B0(2)当 B 时，求 cosA-cosC 的值。4221-2解：(1)由正弦定理 2b=a+c, cosB a-c2ac22 aC 2a c、)2ac_2_2_3a 3c 2ac8ac6ac 2ac 1,所以B的最大值为一8ac 23(2) B 一 , sinA+sinC=拒，令 cosA-cosC=t,两式平方相加 4(sin A sinC)2 (cosA cosC)2 t2 2, 2-cos(A+C尸 t2 2, t2 V2 ,t冠
