1、圆的有关概念与性质圆的有关概念与性质1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，圆心是它的对称中心。3.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。5.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半。6.直径所对的圆周角是90 ， 90所对的弦是直径。7.三角形的三个顶点确定1个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫外心
2、，是三角形三边垂直平分线的交点。8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点，叫做三角形的内心。9. 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形10. 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种： 点在圆外， 点在圆上，点在圆内；对应的点到圆心的距离d 和半径 r之间的数量关系分别为： d r， d = r， d r.2.直线与圆的位置关系共有三种： 相交， 相切，相离；对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径 r 之间的数量关系分别为： d r.3.圆与圆的位置关系共有五种：内含， 相
3、内切，相交，相外切，外离；两圆的圆心距d 和两圆的半径R、 r （ R r ）之间的数量关系分别为： d R-r， d =R-r，R-r d R+r.4. 圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.5. 从圆外一点可以向圆引2条切线，切线长相等，这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。与圆有关的计算r1. 圆的周长为 2 r， 1的圆心角所对的弧长为180， n的圆心角所对的弧长n rlnrn 为圆心角的度数上为圆半径) .为180 ，弧长公式为18022r2.圆的面积为 r， 1的圆心角所在的扇形面积为， n的圆心角所在的扇形面积为 S=nR21rl
4、(n 为圆心角的度数 ,R 为圆的半径） .360=23. 圆柱的侧面积公式： S= 2rl（其中为底面圆的半径， 为圆柱的高 . ）4. 圆锥的侧面积公式： S=（其中为底面的半径，为 母线 的长 . ）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积测试题一、选择题（每小题3 分，共 45 分）1在 ABC中， C=90， AB 3cm， BC 2cm,以点 A 为圆心，以2.5cm 为半径作圆，则点C 和 A 的位置关系是（）。A C在 A 上 C在 A 外C C在 A 内 C在 A 位置不能确定。2一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm, 则圆的半径为（）。A 16cm或 6cm 3
5、cm或 8cmC3cm 8cm3 AB是 O的弦， AOB 80则弦 AB所对的圆周角是（）。A 40 140或 40C 20 20或 1604 O是 ABC的内心， BOC为 130，则 A的度数为（）。A 130 60C 70 805如图 1， O是 ABC的内切圆，切点分别是D、 E、 F，已知 A = 100 ， C = 30 ，则 DFE的度数是（）。A 55 60C 65 706如图 2，边长为12 米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、 B、 C、 D处各有一棵树，且AB=BC=CD=3米现用长4 米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在
6、（）。A A 处B B 处C C处D D 处图 1图 27已知两圆的半径分别是2 和 4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（）。A 内含内切C相交外切8已知半径为R 和 r 的两个圆相外切。则它的外公切线长为（）。A RrR2+r 2CR+r 2Rr9已知圆锥的底面半径为3，高为 4，则圆锥的侧面积为（）。 10B 12 15 2010如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则 n 的值是（ ）。A 3B 4C 5D611下列语句中不正确的有（）。相等的圆心角所对的弧相等平分弦的直径垂直于弦圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴长度相等的两条弧是等弧A 3 个 2
7、 个C 1 个 4 个12先作半径为3 的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作2上述外接圆的外切正六边形，则按以上规律作出的第8 个外切正六边形的边长为（ ）。A ( 23)7 ( 23)8C (3 ) 7 ( 3 )8332213如图 3， ABC中， C=90，BC=4，AC=3， O内切于 ABC ，则阴影部分面积为()A 12- 12-2 C 14-4 6- 14如图 4，在 ABC 中， BC 4，以点 A 为圆心、 2 为半径的 A 与 BC相切于点于 E，交 AC 于 F，点 P 是 A上的一点，且 EPF40，则图中阴影部分的面积是D，交（AB）。A 4
8、4B 48C 84D 88999915如图 5，圆内接四边形ABCD的角形有（）。A 2 对 3 对BA、 CD的延长线交于C4 对P， AC、BD交于 5 对E，则图中相似三图 3图 4图 5二、填空题（每小题3 分，共 30 分）1两圆相切，圆心距为 9 cm，已知其中一圆半径为5 cm，另一圆半径为 _.2两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为6，则两圆围成的环形面积为_。3边长为6 的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为_。4同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为_。5矩形 ABCD中，对角线AC 4， ACB 30，以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是 _。6. 扇形的圆
9、心角度数 60，面积 6，则扇形的周长为 _。7圆的半径为4cm，弓形弧的度数为60，则弓形的面积为_。8在半径为5cm 的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm，另一条弦长为8cm，则两条平行弦之间的距离为_。9如图 6， ABC 内接于 O， AB=AC， BOC=100， MN是过 B 点而垂直于OB的直线，则ABM=，C BN=_；10如图 7，在矩形 ABCD中，已知 AB=8 cm，将矩形绕点 A 旋转 90，到达 A B C D 的位置，则在转过程 中，边 CD扫过的 ( 阴影部分 ) 面积 S=_。图 6图 7三、解答下列各题（第9 题 11 分，其余每小题8 分，共 75 分）1
10、如图， P 是 O外一点， PAB、 PCD分别与 O相交于 A、 B、 C、D。(1)PO 平分 BPD； (2)AB=CD ； (3)OE CD， OF AB； (4)OE=OF。从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明。BFAPOCED2如图， O1 的圆心在 O 的圆周上， O 和 O1 交于 A， B， AC 切 O 于 A，连结 CB， BD 是 O的直径， D 40求： A O1B、 ACB和 CAD的度数。3已知：如图 20，在 ABC中， BAC=120， AB=AC，BC=4 3 ，以 A 为圆心， 2 为半径作 A，试问：直线 BC与 A 的关系如何
11、？并证明你的结论。ABC4如图， ABCD是 O的内接四边形，DP AC，交 BA的延长线于P，求证： ADDCPABC。DCOBAP5如图 ABC中 A 90，以 AB 为直径的 O交 BC于 D，E 为 AC边中点，求证： DE是 O的切线。6如图，已知扇形 OACB中， AOB 120，弧 AB长为 L4 ， O和弧 AB、OA、 OB分别相切于点 C、 D、 E，求 O的周长。7如图，半径为 2 的正三角形 ABC的中心为 O，过 O 与两个顶点画弧，求这三条弧所围成的阴影部分的面积。8如图，ABC的 C Rt， BC 4， AC 3，两个外切的等圆O1， O2 各与AB，AC， BC
12、相切于F， H， E，G，求两圆的半径。9如图、中，点E、D 分别是正 ABC、正四边形ABCM、正五边形 ABCMN中以 C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE = CD，DB交 AE于 P 点。求图中，APD的度数；图中，APD的度数为 _，图中， APD的度数为 _；根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正 n 边形情况若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。AAAMBPNDDEPPBCBCCDMEE图 图 图 参考答案一、 1、 C9、 C2、 B3、B4、 D5、 C6、 B 7 、 C 8 、D10、 A11 、 D12 、 A13 、 D14 、 B 15 、 C二、 1、
13、4 cm或14cm；2 、 9 ； 3 、 23 ，4 3 ；4、 4： 3；5、(248 3) ； 6、12+2 ；7、（ 8 -4 3 ） cm2；8、 7cm或1cm；39、 65， 50； 10、 16 cm2。三、1、命题 1，条件结论,命题 2，条件结论.证明：命题1OE CD , OF AB, OE=OF， AB=CD, PO 平分 BPD。2、 A O1B=140， ACB=70， CAD=130。3、作 ADBC垂足为 D, AB=AC， BAC=120, B= C=30. BC=4 3 , BD=1 BC=2 3 . 可得 AD=2.又 A 半径为 2, 2 A 与 BC相
14、切。4、连接 BD，证 PAD DCB。 5、连接 OD、 OE，证 OEA OED。 6、 12 。7、4- 6 3 。【解析】 解 :三条弧围成的阴影部份构成三叶玫瑰 ,其总面积等于积之和 .每个弓形的半径等于ABC 外接园的半径R=(2/sin60 )/2=2 3/3.每个弓形对应的园心角 = /3每.个弓形的弦长b=R=2 3/3.一个弓形的面积S=(1/2)R2( -sin )=(1/2)(2 3/3)2-sin(/3 /3)=(2/3)(-/3 3/2)6 个弓形的面于是三叶玫瑰的总面积=6S=4(/3 -3/2)=2(2 -33)/3.8、 5 。提示：将两圆圆心与已知的点连接，用面积列方程求。79、（ 1） ABC是等边三角形 AB=BC， ABE= BCD=60 BE=CD ABE BCD BAE= CBD APD= ABP+ BAE=ABP+ CBD= ABE=60（ 2） 90， 108（ 3）能如图，点 E、 D分别是正 n 边形 ABCM中以 C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD， BD与 AE交于点 P，则 APD的度数为(n2)180。n
