1、第 2 课时指数与指数 的运算(2) 入新 思路 1.碳 14 年法 .原来宇宙射 在大气 中能 生放射性碳14,并与氧 合成二氧化碳后 入所有活 ,先 植物吸收 ,再 物吸收 ,只要植物和 物生存着 ,它 就会不断地吸收碳 14 在机体内保持一定的水平 .而当有机体死亡后 ,即会停止吸收碳 14,其 内的碳 14便以 5 730 年的半衰期开始衰 并消失. 于任何含碳物 只要 定剩下的放射性碳14 的含量 ,便可推断其年代 (半衰期 : 一定的 , 原来的一半 ). 引出本 :指数与指数 的运算之分数指数 .思路2.同学 ,我 在初中学 了整数指数 及其运算性 ,那么整数指数 是否可以推广呢
2、？答案是肯定的. 就是本 的主 内容,教 板 本 指数与指数 的运算之分数指数 .推 新 新知探究提出 (1) 整数指数 的运算性 是什么？(2) 察以下式子 ,并 出 律： a 0,( a2 )510 5a10= 3=a2=a 5 ;8a8=(a4 )2 =a4=a 2 ;124a12( a3)43= 4=a =a 4 ;10 2 a10 = 2 ( a5 )2 =a5=a 2 .(3) 利用 (2)的 律 ,你能表示下列式子 ？4 53 , 3 75 , 5 a 7 , n xm (x0,m,n N* ,且 n1).(4)你能用方根的意 来解 (3) 的式子 ？(5)你能推广到一般的情形
3、？活 ： 学生回 初中学 的整数指数 及运算性 ,仔 察 ,特 是每 的开始和最后两步的指数之 的关系 ,教 引 学生体会方根的意 , 用方根的意 加以解 , 指点启 学生 比(2) 的 律表示 ,借 (2)(3), 我 把具体推广到一般, 写正确的同学及 表 ,其他学生鼓励提示 .n00 果： (1)整数指数 的运算性 ： a =a a a=1(aa,a0);0无意 ;-n1mnm+nm nmnn mmnn nna =(a 0);a;(a ) =a;(a )=a;(ab) =a b .a =aan21048的 2312的(2) a是 a的 5 次方根； a是 a次方根； a是 a10812方
4、根 . 上 5a10=a 5 ,a8=a 2,4a12 =a 4, 2a10=a4 次方根； a5 是 a10 的 2 次102 果的a 的指数是2,4,3,510 8 12 10分 写成了,形式上 了 ,本 没 .根据 4 个式子的最后 果可以 ：当根式的被开方数的指数能被根指数整除 ,根式可以写成分数作 指数的形式（分数指数 形式）.357m(3) 利用 (2)的规律 , 453=5 4 ,3 75=7 3 ,5a7=a 5 , nxm=x n .357m(4)53 的四次方根是5 4 ,75 的三次方根是7 3 ,a7 的五次方根是 a 5 ,xm 的 n 次方根是 x n .结果表明方
5、根的结果和分数指数幂是相通的.mm(5) 如果 a0,那么 am 的 n 次方根可表示为na m=a n ,即 a n = n a m(a0,m,n N * ,n1).综上所述 ,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书 :n规定 :正数的正分数指数幂的意义是a m = n a m(a0,m,n N * ,n1).提出问题负整数指数幂的意义是怎样规定的?你能得出负分数指数幂的意义吗?你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?综合上述 ,如何规定分数指数幂的意义?分数指数幂的意义中 ,为什么规定 a 0,去掉这个规定会产生什么样的后果?既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的
6、运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动： 学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书 ,学生合作交流 ,以具体的实例说明 a 0的必要性 ,教师及时作出评价 .讨论结果： 负整数指数幂的意义是-n=1*.:an (a 0),n Na既然负整数指数幂的意义是这样规定的 ,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义 .n1规定 :正数的负分数指数幂的意义是1*,n1).a m = n =(a0,m,n Na
7、 mn a m规定 :零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义 .教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是 :n正数的正分数指数幂的意义是a m = n a m (a0,m,n N* ,n1), 正数的负分数指数幂的意义是n1a m = 1=(a0,m,n N * ,n1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义 .nn ama m若没有 a0 这个条件会怎样呢 ?12如(-1) 3 =3-1=-1,(-1) 6 =6(-1) 2=1 具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,
8、切记要使底数大于零 ,2如无 a0的条件 ,比如式子3a2=|a| 3 ,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时 ,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂, 也就是说 ,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数 ,而不是负数 ,负数只是出现在指数上 .规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:（ 1） aras=ar+s(a0,r,s Q),（ 2） (ar)s=ars(a0,r,s Q),（ 3） (a b)r=arbr(a0,b0,r Q ).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运
9、算性质可以解决一些问题,来看下面的例题 .应用示例思路 1213例 1 求值 : 8 3 ; 25 2 ( 1 )-5; ( 16 ) 4 .281活动： 教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求 ,把底数写成幂的形式,8 写成 23,25 写成 52 ,1 写成 2-1,16 写成 ( 2)4,利用有理数幂的2813运算性质可以解答,完成后 ,把自己的答案用投影仪展示出来 .2232解： 8 333 =232=(2 )=2 =4;112 (11252 =(5 2)2 =5)=5-1 =;25(1-5-1 -5-1) =(2 )=2(-5)=32;2(
10、1632 4 ( 3 )2-32781) 4=()4 =( )=.338点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解 .在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,2而不是首先转化为熟悉的根式运算,如 8 3 = 382 = 364 =4.例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式.3232;a3a (a0).a a;a a活动： 学生观察、思考,根据解题的顺序 ,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤 ,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结 .1317解： a3 a =a3a 2 =a2 =a 2
11、;223823a223 =a2 =a 3 ;a =a a11412a3a =(a a3 ) 2 =(a 3 ) 2 =a 3 .点评： 利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示 ,没有特别要求 ,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数 .例 3 计算下列各式（式中字母都是正数）:211115（1） (2a 3 b 2 )(-6a 2 b 3 ) (-3a 6 b 6 );13（2） (m 4 n8 )8.活动： 先由学生观察以上两个
12、式子的特征,然后分析 ,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除 ,最后算加减 ,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答 , 把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流 ,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号 ,第（ 2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算 ,再按幂的乘方进行计算 ,熟悉后可以简化步骤 .211115解：（ 1）原式 = 2(-6) (-3) a 3 2 6 b 2 3 6 =4ab0=4a;13131838m2（2） (m 4 n88888n82 -3) =(m
13、4 ) (n) =m4=m n =n3 .点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂 ,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了.本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.变式训练求值 :(1)3336 3 3 ;( 27m3(2) 66 )4.125n1111111解： (1)333362362362 =3=3 =9；3 =3 33327m3433 m34449m2(2) 627m34=( (33 ) 6 (m3 ) 692n4.(6 )=( (6 ) 636) 6 =44 =4=m125n125n5 n(53 ) 6( n6 ) 6
14、25n25例 4 计算下列各式 :（1） (325125425 ;) （2）a 2(a 0） .a3 a 2活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析 ,化为同底 .利用分数指数幂计算,在第（ 1）小题中 ,只含有根式 ,且不是同次根式 ,比较难计算 ,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了 ,第（ 2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答 .111231解：（ 1）原式 =(25 3 -125 2 ) 25 4 =(5 3 -5 2 ) 5 221311=5 32 -5 22 =5 6 -5= 6 5 -5;a21 a22125（2）=2=a2 3 =
15、a 6 = 6 a5.a3a 2a 2a 3思路 2例 1 比较5 , 3 11 , 6 123 的大小 .活动：学生努力思考 ,积极交流 ,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数 ,才能进行比较 ,又因为根指数最大的是 6,所以我们应化为六次根式 ,然后 ,只看被开方数的大小就可以了 .解： 因为5 = 6 53= 6 125 , 311 = 6 121 ,而 125 123121,所以 6 125 6 123 6 121 .所以5 6 123 3 11 .点评： 把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.例 2 求下列各式的值 :42819 3(1);(2)231.56
16、3 12 .活动： 学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同 ,也应化成分数指数幂 ,然后分析解答 ,对 (1) 应由424419 3(33 ) 2,对 (2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价 .里往外 81= 34424114211417= 36 3 ;解： (1) 819 3= 34(3 3 ) 2 4=(33) 4=(33 ) 4=3 613(2) 2 3 3 1.5 6 12 =23 2 (2111111132613236)=233=23=6.(3 2 )例 3 计算下列各式的值:3111（1） (
17、a 2b2)-1 (ab-3 ) 2(b 2)7 3 ;1（2）1a 2aa1aa112;3b 4 a(3) ( a b 2 ) 31.活动： 先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法 ,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生 ,强化解题步骤 ,对 (1)先进行积的乘方 ,再进行同底数幂的乘法 ,最后再乘方 , 或先都乘方 ,再进行同底数幂的乘法 ,对（ 2）把分数指数化为根式,然后通分化简 ,对（ 3）把根式化为分数指数,进行积的乘方 ,再进行同底数幂的运算 .31117121171121722解： (1) 原式 =(a2b2)3 (ab-3 ) 6 (b
18、2 ) 3 =a 2 b3a 6 b2b 6=a 26 b326 =a 3b0=a 3;31371另解： 原式 =(a 2b-2 a 2 b2 b2) 33123712012=(a 22 b3 =a;22) 3 =(a b )3111a（2）原式 =aa=a11a 11a 1a (a 1)=(1) =1aa 1aa (a 1)aa 122aa ( a=;1) a(1a)12131311（3）原式 =（ a 2b 3 ） -3(b-4a-1) 2 =a2 b-2b-2a 2 =a22 b-2+2 =a-1=.a例 4 已知 a 0,对于 0r 8,r N *,式子(a)8-r1r 能化为关于 a
19、 的整数指数幂的情形有几( 4 a )种？活动：学生审题 ,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路 ,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算 ,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方 ,化为关于a 的指数幂的情形 ,再讨论 ,及时评价学生的作法 .18 rr8rr16 3r解： (a )8-r() r=a 2 a 4 =a 44 =a 4.4a16-3r 能被 4 整除才行 ,因此 r=0,4,8时上式为关于 a 的整数指数幂 .点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍 .利用分数指数幂进行根式运算时 ,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式.例 5 已知
20、 f （ x） =ex e-x,g（x） =ex+e-x.（1）求 f （ x） 2 g（x） 2 的值；（2）设 f（ x）f （y） =4,g（x） g（ y） =8, 求 g( xy) 的值 .g( xy)活动： 学生观察题目的特点,说出解题的办法 ,整体代入或利用公式,建立方程 ,求解未知 ,如果学生有难度 ,教师可以提示引导 ,对（ 1）为平方差 ,利用公式因式分解可将代数式化简,对 (2) 难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式 ,予以探求 .22解： (1) f （ x） g（ x） = f（ x） +g（ x） f （x） g（x）22x-x 2x-x 2另解： (1) f
21、（ x） g（ x） =(e -e ) -(e +e )=-4ex-x=-4e 0=-4;(2)f （ x） f（ y）=（ ex e-x ）（ eye-y） =ex+y+e -(x+y) ex-y e-(x-y) =g（x+y ） g（x y） =4,同理可得g（ x） g（ y） =g（ x+y ） +g （ x y） =8,g(xy) - g(x - y)4,得方程组g(x解得 g（ x+y ）=6,g（ x y） =2.y) g(x - y) 8,所以 g (xy)=6=3.g (xy)2点评： 将已知条件变形为关于所求量g（ x+y ）与 g（ xy）的方程组 ,从而使问题得以解决,
22、这种处理问题的方法在数学上称之为方程法 ,方程法所体现的数学思想即方程思想 ,是数学中重要的数学思想 .知能训练课本 P54 练习1、 2、3.补充练习教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答 ,教师巡视 ,启发 ,对做得好的同学给予表扬鼓励 .1.(1) 下列运算中 ,正确的是 ()A.a2a3 =a62 33 2B.(-a ) =(-a )C.(a -1)0=0D.(-a2 36) =-a42 n42 n 1544 5(2)下列各式(4) (4)aa（各式的 R）中 有意义的是,nN ,a,()A. B.C.D. (3) (34a6)2(43a6)2等于 ()A.aB.a23D.a 4C.a(4) 把根式 2 3(ab) 2 改写成分数指数幂的形式为()25A.-2(a-b)5B.-2(a-b)22255C.-2(a 5 -b5 )D.-2(a2 -b2 )211115(5) 化简（ a 3b 2 ）（ -3a 2 b 3 ） （ 1a 6 b）的结果是 ()63A.6aB.-a12.计算： (1)0.0273 （ 17C.-9aD.9a3） -2+256 4 3-1 +（2 1） 0=_.(2) 设 5x=4,5y=2, 则 52x-y=_.113.已知 x+y=12,xy=9且 x y
