1、插值法题目 1： 对 Runge 函数 R( x )1在区间 -1,1 作下列插值逼近，并和1 252xR(x) 的图像进行比较，并对结果进行分析。(1)用等距节点 x i-1ih , h0. 1,0i20，绘出它的 20 次 Newton 插值多项式的图像。(2)用节点xicos( 2i1 ）（,i0，1,2，20）42，绘出它的 20 次 Lagrange插值多项式的图像。(3)用等距节点x i-1ih , h0. 1,0i20，绘出它的分段线性插值函数的图像。(4) 用等距节点 x i-1ih , h0. 1,0i20，绘出它的三次自然样条插值函数的图像。程序及分析：(1) 用等距节点
2、x i-1ih , h0. 1,0i20，绘出它的 20 次 Newton 插值多项式的图像。Matlab 程序如下：%计算均差x=-1:0.1:1;n=length(x);symszfori=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);endN=zeros(n,n);N(:,1)=y;forj=2:nfork=j:nN(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1)/(x(k)-x(k-j+1);endendfort=1:nc(t)=N(t,t)end%构造插值多项式f=N(1,1);fork=2:na=1;forr=1:(k-1)a=a*(z-x(r);endf=f+N(k,k
3、)*a;end%作图a=-1:0.001:1;n=length(a);fori=1:nb(i)=1/(1+25*a(i)*a(i);endfx=subs(f,z,a);subplot(2,1,1);plot(a,b,k,a,fx,c=-0.6:0.001:0.6;n=length(c);fori=1:nd(i)=1/(1+25*c(i)*c(i);endfx=subs(f,z,c);subplot(2,1,2);plot(c,d,k,c,fx,rr););结果与分析：由下图可以看出， 在区间 -0.6,0.6上，插值多项式可以很好的逼近被插值函数。而在边界附近，插值多项式与被插值函数的差别很大
4、。即出现了Runge现象。主要原因是被插值函数的任意阶导数不能达到一致有界。其插值余项f(n 1)R（ x )( )( x ) 不趋近零。插值多项式不能收敛到被插值函数。n( n1)!n 1Runge 函数插值多项式(2)用节点 xicos( 2i1）（， ， ）20 次 Lagrange42, i0 1,220 ，绘出它的插值多项式的图像。Matlab 程序如下：clear;%插值点fori=1:21x(i)=cos(2*(i-1)+1)*pi/42);endn=length(x);fori=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);end%构造插值基函数symsz ;temp=1
5、;fori=1:nlx=1;forj=1:nifi=jtemp=(z-x(j)/(x(i)-x(j);lx=lx*temp;endendl(i)=lx;end%插值多项式l=l;L=y*l;%作图a=-1:0.01:1;n=length(a);fori=1:nb(i)=1/(1+25*a(i)*a(i);endfx=subs(L,z,a);subplot(2,1,1);plot(a,b,k,a,fx,x r);结果与分析：如下图所示，使用Chebyshev 多项式零点构造的Lagrange 插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。Runge 函数XL 插值多项式Runge 函数XL
6、插值多项式Newton 插值多项式主要原因是其多项式误差为f ( x ) - L（ x )1( n 1)。fn2n( n1)!(3) 用等距节点 x i-1ih , h0. 1,0i20，绘出它的分段线性插值函数的图像。Matlab 程序如下：clc;clear;x=-1:0.1:1;n=length(x);symszfori=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);end%构造分段线性插值多项式fori=1:n-1l(i)=(z-x(i+1)/(x(i)-x(i+1)*y(i)+(z-x(i)/(x(i+1)-x(i)*y(i+1)% l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i)
7、/(x(i+1)-x(i)*(z-x(i)end%作图fori=1:n-1a=x(i):0.01:x(i+1);f=subs(l(i),z,a)plot(a,f,k)holdonend结果与分析：如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。Runge 函数 .分段 性利用线性插值多项式的误差估计：R（n x )h2maxf ( 2)8(4) 用等距节点 x i-1ih , h0. 1,0i20，绘出它的三次自然样条插值函数的图像。Matlab 程序如下：clc;clear;x=-1:0.1:1;n=length(x);symsz ;fori=1:ny(i)=1/(1+
8、25*x(i)*x(i);endfori=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endfori=1:n-2u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i);r(i)=1-u(i);endG=zeros(n,n);fori=1:nG(i,i)=2;endfori=2:n-1G(i,i-1)=u(i-1);G(i,i+1)=r(i-1);endG(n,n-1)=1;G(1,2)=1;d=zeros(1,n);fori=2:n-1d(i)=6*(y(i+1)-y(i)/h(i)-(y(i)-y(i-1)/h(i-1)/(h(i)+h(i-1);endsymsuv ;u=diff(1/(1+25*v
9、*v),v);a=subs(u,v,x(1);b=subs(u,v,x(n);d(1)=(y(2)-y(1)/h(1)-a)/h(1)*6;d(n)=(b-(y(n)-y(n-1)/h(n-1)/h(n-1)*6;d=d;M=inv(G)*d;fori=1:n-1s(i)=M(i)*(x(i+1)-z)3/0.6+M(i+1)*(z-x(i)3/0.6+(y(i)-M(i)*0.01/6)*(x(i+1)-z)/0.1+(y(i+1)-M(i+1)*0.01/6)*(z-x(i)/0.1;endfori=1:n-1a=x(i):0.01:x(i+1);f=subs(s(i),z,a);plot
10、(a,f,x rholdonend)结果与分析：三次样条插值函数得到的图像如下：可以看出，三次样条插值函数的曲线及其光滑。得到的函数十分接近被插值函数。Runge 函数XXXX三次样条题目 2： 对函数：在区间 -1,1作下列插值逼近， 并和被插值函数的图像进行比较， 并对结果进行分析。(1) 用等距节点 x i-1ih , h0. 1,0 i20，绘出它的 20 次 Newton 插值多项式的图像。(2) 用节点xicos(2i1 ）（,i0，1,2，20）42，绘出它的 20 次 Lagrange插值多项式的图像。(3)用等距节点 x i-1ih , h0. 1,0i20，绘出它的分段线性
11、插值函数的图像。(4)用等距节点 x i-1ih , h0. 1,0i20，绘出它的三次自然样条插值函数的图像。程序及分析：(1) 用等距节点 x i-1ih , h0. 1,0i20，绘出它的 20 次 Newton 插值多项式的图像。Matlab 程序如下：clc;clear;%计算均差x=-1:0.1:1;n=length(x);symsz ;y=zeros(1,n)fori=1:10y(i)=sin(pi*x(i);endfori=11:15y(i)=cos(pi*x(i);endfori=15:ny(i)=0;endN=zeros(n,n);N(:,1)=y;forj=2:nfork
12、=j:nN(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1)/(x(k)-x(k-j+1);endendfort=1:nc(t)=N(t,t);end%构造插值多项式f=N(1,1);fork=2:na=1;forr=1:(k-1)a=a*(z-x(r);endf=f+N(k,k)*a;end%作图v=linspace(-1,0,50);u=sin(pi*v);plot(v,u,kholdon)v=linspace(0,0.5,25);u=cos(pi*v);plot(v,u,kholdon)v=linspace(0.5,1,10000);u=0;plot(v,u,kholdona=-1:0
13、.001:1;fx=subs(f,z,a);plot(a,fx,r);结果与分析：等距节点 20次Newton插值得到的函数图像如下：可以看出，在整个区间上，插值多项式精度都不是很高。出现了Runge现象。见下图被插值函数插值多项式被插值函数插值多项式(2)用节点 xicos(2i1 ）（,i0，1,2，20）20 次 Lagrange42，绘出它的插值多项式的图像。Matlab 程序如下：clc;clear;%求插值节点fori=1:21x(i)=cos(2*(i-1)+1)*pi/42);endn=length(x);y=zeros(1,n);fori=1:nifx(i)0.5y(i)=0
14、;elsey(i)=cos(pi*x(i);endend%插值基函数symsz ;temp=1;fori=1:nlx=1;forj=1:nifi=jtemp=(z-x(j)/(x(i)-x(j);lx=lx*temp;endendl(i)=lx;end%插值多项式l=l;L=y*l;%作图a=-1:0.01:1;fx=subs(L,z,a);plot(a,fx,x r);结果与分析：如下图所示，使用 Chebyshev多项式零点构造的 Lagrange插值多项式比Newton插值多项式接近原函数，没有出现Runge现象。被插值函数插值多项式(3) 用等距节点 x i-1ih,h0. 1,0i绘
15、出它的分段线性插值函数20，的图像。Matlab 程序如下：clc;clear;x=-1:0.1:1;n=length(x);symsz;fori=1:10y(i)=sin(pi*x(i);endfori=11:15y(i)=cos(pi*x(i);endfori=15:ny(i)=0;end%构造插值多项式fori=1:n-1l(i)=(z-x(i+1)/(x(i)-x(i+1)*y(i)+(z-x(i)/(x(i+1)-x(i)*y(i+1);% l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i)/(x(i+1)-x(i)*(z-x(i);end%作图fori=1:n-1a=x(i):0.01:
16、x(i+1);f=subs(l(i),z,a);plot(a,f,x r)holdonend结果与分析：如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。但是在间断点处及导数不存在的点误差较大。主要是因为这些地方构造的线性函数斜率较大，不能较好的趋近原函数。被插值函数插值多项式(4) 用等距节点 x i-1 ih , h0. 1,0 i20，绘出它的三次自然样条插值函数的图像。Matlab 程序如下：clc;clear;x=-1:0.1:1;n=length(x);symszfori=1:10y(i)=sin(pi*x(i);endfori=11:15y(i)=cos(pi
17、*x(i);endfori=15:ny(i)=0;endfori=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endfori=1:n-2u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i);r(i)=1-u(i);endG=zeros(n,n);fori=1:nG(i,i)=2;endfori=2:n-1G(i,i-1)=u(i-1);G(i,i+1)=r(i-1);endG(n,n-1)=1;G(1,2)=1;d=zeros(1,n);fori=2:n-1d(i)=6*(y(i+1)-y(i)/h(i)-(y(i)-y(i-1)/h(i-1)/(h(i)+h(i-1);endsymsuv ;u=di
18、ff(sin(pi*v),v);a=subs(u,v,x(1);b=0;d(1)=(y(2)-y(1)/h(1)-a)/h(1)*6;d(n)=(b-(y(n)-y(n-1)/h(n-1)/h(n-1)*6;d=d;M=inv(G)*d;fori=1:n-1s(i)=M(i)*(x(i+1)-z)3/0.6+M(i+1)*(z-x(i)3/0.6+(y(i)-M(i)*0.01/6)*(x(i+1)-z)/0.1+(y(i+1)-M(i+1)*0.01/6)*(z-x(i)/0.1;endfori=1:n-1a=x(i):0.01:x(i+1);f=subs(s(i),z,a);plot(a,f,x r)holdonend结果与分析：三次样条插值函数得到的图像如下：可以看出，三次样条插值函数在间断点处也有较大误差。被插值函数插值多项式
