1、7.2 多项式环 多项式的整除性,域上关于文字x的多项式,设F是域，是一个抽象的符号，F上 面一个文字的多项式形式如下： a0n + a1n-1 + + an-1 + an 其中 n，n-1，是非负整数， 系数a0，a1，an F。 的多项式可用（），g（）等代表。 Note: 若n=0，则此多项式只有一个“常数项”a0，可看作是F中的元素a0。 系数是0的项可以删可添。,定义. 两个多项式()和g()说是相等的， 即()=g()，如果可以添上一些系数是0的 项使两个多项式完全一样。 结论： ()=0当且仅当所有系数a0，a1，an 都是0。 结论：若()0，则总可以删去一些系数是0的 项将f
2、(x)化为 a0n + a1n-1 + + an-1 + an 的形式,其中a00,这时,a0和n显然都是唯一确定的。,多项式相等,多项式运算,规定 加法()+g()：()与g()的同次项的系数相加。 乘法()g():()的每一项乘g()的每一项:arbs=abr+s,然后合并同次项,且以加号相联结. 结论：域F上的所有多项式在多项式加法和乘法下作成一个有壹的交换环，记为F，称谓域F上的交换环。F包含F为其子域，F中的0就是F的零，F中的1就是F的1，-()就是把()的所有系数取负所得到的多项式。,例子,例 设域F=0,1，则Fx=0,1,x,1+x,x2,1+x2，x+x2,1+x+x2,。
3、这个域称为二元域，应用在电话、电报、电视、传真、计算机中数据传输、打印机、VCD机、CD机纠错码上，以及卫星图片的传输等。,多项式的次,定义. 若()0，且已化为 a0n + a1n-1 + + an-1 + an的形式， 其中a00，那么，a0称为()的首系数， n称为()的次数.()的次数记为次()。 规定：常数多项式0的次数是-。 结论： 次()+g()max(次()，次g(),结论：次()g()=次()+ 次g() 证明: (1)若() 0， g() 0，设 ()=a0n+a1n-1 +an-1+an,a00， g()=b0m+b1m-1+bm-1+bm,b00， 故()g()=a0b
4、0n+m+anbm, a0b00， 因此,次()g()=n+m=次()+次g(). (2)若()，g()中有一个是多项式0,则 ()g()=0,次()g()= -,由于 -+m=-，n+（-）=-，-+（-）=-， 故次()g()=次()+ 次g() 。,例子,例 试证域F上的多项式环Fx的理想都是主理想. 证:设I是Fx的一个理想.若I中没有非零多项式,则I=0,它是由0生成的理想.若I中有非零多项式,设其中次数最低的为g(x).对于它有两种情况: (1)次g(x)=0,即g(x)=aF,且a0.a在F中有逆元 a-1, a-1a=1I,故I=Fx,是由1生成的主理想. (2)次g(x) 0
5、,任取f(x) I,存在q(x),r(x) Fx使得f(x)=q(x)g(x)+r(x).因为g(x) I,且I是Fx的理想,推出r(x) I.由于g(x)的取法知必有r(x)=0,因此f(x)=q(x)g(x) (g(x).有f(x)的任意性知I (g(x).反之,g(x) I,对任意h(x) Fx,g(x)h(x) I,从而(g(x) I.综上知I=(g(x),证毕.,域F的多项式商环,有该例题知多项式环Fx上的理想都是主理想,即Fx的理想都是I=(p(x)的形式,其中p(x)=a0 xn+a1xn-1+an, a0 0.那么域F的多项式商环Fx/I=f(x)+I|f(x) Fx,而f(x
6、)=q(x)p(x)+r(x),f(x)-r(x) (p(x),即f(x)+I=r(x)+I.所以Fx/I=b0 xn-1+b1xn-2+bn-2x+bn-1+I |b0,b1,bn-1 F= |b0,b1,bn-1 F 这里，一个多项式r(x)= b0 xn-1+b1xn-2+bn-2x+bn-1 它的次小于n，上面加一杠成 是表示 =r(x)+I,它是模p(x)的剩余类。 例如，令F2=0,1,F上的多项式环记为F2x。令p(x)=1+x+x2 ，则F上模1+x+x2的多项式环 Fx/ 1+x+x2 =0,1,x,1+x。关于模的加法与乘法运算如下表。,F2x/(p(x)=F2x/(1+x
7、+x2),令I=(1+x+x2),则 F2x/(p(x)=0+I,1+I,x+I,1+x+I= , , , 。 其运算表与模p(x)的多项式环运算类似，只不过是每一项多了理想I，即形如ax+b+I= 。,定理7.2.1,域F上的多项式作成的环F是整区。 证明：只要证明F中无零因子。 若()0，g()0，则 次() -，次g() -， 故次()g()=次()+次g()-， 因而()g() 0。,结论：对()=q()g()+r(), g() 0,次r()次g()， 则q() 与 r()是唯一确定的。 证明：若()=q1()g()+r1()， 次r1()次g()，则q1()g()+r1()=q()g
8、()+r() 从而,(q1()-q()g()=r()-r1() 若q1()-q()0，则 次(q1()-q()g()次g()， 但次(r()-r1() 次g()，产生矛盾。 因之， q1()-q()=0，即q1()=q(） 故，r1（）=r（）。,多项式整除,定义. 若对()和g()有h(x)，即 （）=h（）g（） 则称g（）整除（），即 g（）（） 或说g（）是（）的因式， （）是g（）的倍式。 结论：(1) a|()，aF,a0。 (2) ()|0。,定理7.2.2 设g()0。g()()，当且仅当以g()除()所得的余式为0。 证明： 若()=q()g()+r()中r()=0， 即()
9、=q()g()，因而g()()。 若g()()，则有h()使 ()=h()g(),即 ()=h()g()+0，次0次g()。 由商和余式的唯一性知，h()即以g()除 ()所得之商，而0即以g()除()所 得的余式。,整除性质,1o 若g，gh，则h。 2o 若g，则gh。 3o 若g，h，则gh。 4o 若整除g1，gn，则 h1g1+hngn。 5o 若在一等式中，除某项外，其余各项都是的倍式，则该项也是的倍式。,整除性质,6o 若g，g，则与g只差一个非0常 数因子。 证明： 由g，g=h1 f, 由g，f= h2 g, 故， g= h1 h2 g， h1 h2 =1，所以 次h1 h2
10、 =0，即次h1 +次h2 =0， 故次h1 =0，次h2 =0，即h1 ，h2是非0常数因子。 两个多项式，如果只差一个非0常数因子，则称它们是相通的。,整除性质,定义.若d1，dn，则称d是 1,n的公因式。如果d是1,n的公因式，而且1，n的任意公因式整除d，则称d为1，n的最高公因。 7o 若d和d都是1，n的最高公因， 则d和d相通。 定理7.2.3 任意多项式和g必有最高公因。 定理7.2.4 ，g的最高公因d中可以表为，g的倍式和，即表为：d=+g ,其中，都是多项式。,质式,定义. 若g，而不是常数也不和g相通，则说是g的一个真因式。 例 令g(x)=1+x3=(1+x)(1-
11、x+x2）在R2上，1+x和1+x+x2都是g(x)的真因式；在R3上，1+x是其真因式。这个例子说明同一个多项式在不同的域上的分解式是不一样的。 定义. 设多项式p非常元素。P说是一个质式或不可约多项式，如果p没有真因式。 例 1+x+x2在上例中是不可约多项式。 定理7.2.5 若p是质式而p1n，则p整除1，n之一。,互质,定义. 若1，n除了非0常元素外没 有公因式，则说1，n是互质的。 1，n互质 iff 其最高公因为非0常元素 iff 其最高公因为1。,定理7.2.6 任一非常数多项式恰有一法表为质式的乘积。 “恰有一法”:把相通的质式看作一样 不考虑质因式的次序。 定理7.2.7 任意非常数多项式可以唯一地表为下面的形式： 其中p1，p2pk是互不相通的质式， r1，r2，rk是正整数。,多项式的质式问题,若F中有无穷多个元素，则F中便有无穷多个不相通的质式-对应整数环中欧几里得关于质数无穷多的定理。 F中有没有次数任意高的质式？ 以下几节内，将对一些特殊的域F回答 这一问题。,
