1、发表于新高考深入探究变力做功的求法（南京市第九中学李小 ）功是中学物理中的重要概念，它体 了力 物体的作用在空 上的累 程。基于功和能之 的 密 系，能否正确求解各种力做功往往成 能否运用功和能关系解 的关 。因此，功尤其是 力做功一直是高考的 点，亦是考生 考的 点，很多学生 此感到无所适从，关 在于没有系 地研究功的求法。本文在 述功的一般求解方法的基 上，着重 力做功的解法。一般来 ， 功的 算攻 W F S cos 只适用于求恒力做的功， 通常比 ， 本文不做 。 于 力做功一般不能依定 式 W F S cos 直接求解， 但可依据物理 律通 技巧的 化 接求解，主要有微元法、 像法、
2、平均力法、能量法等，各种方法都有 点和缺陷， 合运用 些方法。本文以例 各种具体的方法，并指出各种方法适用的条件。【案例分析】一微元法微元法的基本思路是将物体的运 程无限分割成若干等份， 可以 在每一个极短的 或 程内， 物体所受的力是一个恒力，从而可以运用 WFS cos 求解每一个 段上力所做的功，最后再求 些功的代数和，就是整个 程中 力所做的功。例 1、用水平拉力，拉着滑 沿半径 R 的水平 道运 一周，如 1 所示，已知滑 与 道 摩擦因数 ，滑 量 m，求此 程中摩擦力做的功。【解析】由 意知，物体受的摩擦力在整个 程中大小F= mg 不 、1s s2s3方向 刻 化，是 力。如果
3、我 把整个 周分割 无数个小微元段，每一小段可近似看成小直 段，在每一小段上摩擦力方向不 ，于是在每一小段上摩擦力做的功都可以用恒力做功的公式 算，然后将各微元段上力所做的功累加起来，便可求得最 的 果。如 ，把 道分成s 、s 、s 、 s 微小段，摩擦力在每一段上 恒力 在每一段上做123n图 1的功 W1= mg s1，W 2= mg s2，W3= mg s3， ，Wn= mg sn，那么摩擦力在物体运 一周的 程中 物体所做的功 W=W1+W2+W3+ +Wn= mg（ s1+s2+s3+ +sn） = mg2 R 所以滑 运 一周摩擦力做功 2mgR。【 】从理 上 ，微元法适用于求
4、一切力做的功，但是在中学 段，由于数学知 有限， 种方法只适合于求大小不 ，方向 化的 力所做的功， 是因 只有当力的大小不 ，求功的代数和，才可以提取公共 ，从而求出最 的 果。二 F-S 像法如 ， F-S 像中， 与坐 成的面 代表力F 在相 的位移上 物体做的功。FF0SS0图 2图 3如果 像比 复 ，例如 2，可以用求 分的方法求面 （功）；如果 F-S 像是比 的一次函数 像，例如 3，可以用求梯形或三角形面 的方法求功，非常 。- 1 -例题 2、如图 4 所示，长度为L 的矩形板，以一定的初速度沿光滑的水平面平动时，垂直滑向宽度为 l 的粗糙地带，板从开始受阻到停下来，所经过
5、路程为s，而 lsL ，设板面与粗糙地带之间的动摩擦因数，求此过程中摩擦力对木板做的功。v地木板木板sL地图 4l【解析】首先分析运动过程：0 l 过程：木块所受的摩擦力逐渐变大，是一个变力，设位移为x 时，摩擦力为f ，则：f x mgL作出 fx 图像，是正比例图像fxl图 5可以用求三角形“面积”的方法求功，W f11 l mg l1 mg l 22 L2Ll s 过程：这个过程中，摩擦力f是一个恒力，所以：W f2F S cosl( s l )mgL所以，此过程中摩擦力对木板做的功为：W fW f1W f 2llmg (s)L2三平均力法如果参与做功的变力，其方向不变，而大小随位移线性
6、变化，则可求出平均力等效代入公式W= F scos求解。仍以上面的例题为例，采用平均力法求功如下：x0l 过程：fmg ，摩擦力随位移均匀增大，可以用平均力代替这个变力求功，L- 2 -0l mgl平均力大小为：fLmg22LW f 1f lll 2mg lumg2L2Ll s 过程 W f2lm g (s l )Lmg l (sl )由动能定理 Wf1W f2L2四动能定理法能是物体做功的本领，功是能量转化的量度. 由此，对于大小、方向都随时变化的变力F 所做的功，可以通过对物理过程的分析，由其做功的结果动能的变化来求变力的功：WEk .例题 3、一个质量为m 的小球拴在细绳的一端，另一端用
7、大小为F 1 的拉力作用，在水平面上做半径为 R1 的匀速圆周运动，如图所示。今将力的大小改为 F2，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径为 R2。小球运动的半径由 R1 变成 R2 的过程中拉力对小球做的功多大？omF图 6【解析】本题由于绳的拉力是物体在两个轨道圆周运动的向心力，是变力。在轨道变化过程中该力做功属于变力做功，但不能直接求其功，而是先由向心力公式求出初、末状态动能，再由动能定理求出该力的功。设半径为R1、 R2 时小球做圆周运动的速度分别为v1、 v2，由向心力公式得： F1m v12F2m v22R1R2根据动能定理： W1mv221mv121 (F2 R222解得：
8、WF1 R1 )2一般来说，如果力的变化情况比较复杂，没有什么变化规律，用动能定理往往能比较简便地求解变力做的功。五变力做功几种方法的综合运用以上探讨的几种变力做功的解法，每种方法都有优点和缺点，在实际解题时，应该综合运用这些方法，下面以一道例题为例，谈谈如何综合运用这几种方法求解变力做功。例题 4、面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块。木块边长为a，密度为水的1/2 ，质量为 m。开始时，木块静止，有一半没入水中，如图5 所示。现用力F 将木块缓慢地压到池底。不计摩擦。求: 从开始到木块刚好完全没入水的过程中，力F 所做的功。- 3 -图 7【解析】本题的研究过程是：从开始到木块
9、刚好完全没入水中。显然，这个过程中，要保持木块缓慢运动， F 是一个变力，那么该怎样求这个变力所做的功呢？方法 1：F-s 图像法：我们可以研究F 随位移 S 变化的函数图像，用求面积的方法求功。为此，我们任意选取木块被压入过程中的一个状态，研究力F 随位移 S 的变化关系，如图 6a3F浮ga 2 ( ax)F浮g22mg xFmg图 8设物体的位移为x ，压力的大小为F ，方向竖直向下，则：F mgga 2 ( ax) -(1)2又因为 mgga 2 ( ax) -(2)2所以： Fga 2 x可见， F 随位移 x 成正比例关系，作出F x 的图像如图所示fa 3g201a2图 9x-
10、4 -所以： W11 ag a 3-(4)222考虑到初始位置时，有一半没入水中，所以：g a3mg -(5)2综合 (4)(5) 得： W1 mga4方法 2：平均力法：因为Fga 2 x ，压力大小随位移均匀增大，可以用平均力代替这个变力求功，平均力大小为：0ga2a1F2324ga考虑到初始位置时，有一半没入水中，所以：g a3mg -(5)2所以： F1 mg2W f1Fl1 mgl1 mgl2224方法 3：功能关系法：因为水池面积很大，所以木块完全没入水中的过程中相当于紧靠木块正下方有木块体积一半的水上升至水面水的重力势能增加EP水增mg3 a4木块的重力势能减少E P木减 mga1 mga2 WEP水增EP木减4- 5 -
