1、第 8 章 多元函数微分学及其应用参考解答1、设 f x y, yx2y 2 ，求 fx, y， f x y, xy。xy, yxy1y解： fxxyxyxy2xy2x ，故得xxy1yxf x, yx21 y ， f x y, xyx y21 xy1 y1xy2、求下列各极限：(1) limx2 y2lim r 4 cos2sin 2lim 1 r 2 sin 2 20x 0x2y2r 0r 2r 0 4y0注意：在利用极坐标变换xr cos, yr sin来求极限时，r 0也是变量。 本题中，时， r 2为无穷小量，而sin 2 2为有界变量，故所求极限为零。(2) lim sinxyli
2、m sin t1x0xyt 0tya3、证明极限 limxy2不存在。x2x0y4y0证明：当 y2kx 时， fx, yxy24k2，故 limxy24k2与 k 有关。x2y1 ky2kxx2y1 kx0可见，x, y沿不同的路径趋于0,0 时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法）4、讨论下列函数在0,0 点处的连续性：（ 1） fx, yx2y2 ln x2y 2 , x2y200,x2y20解： limf x, ylimx2y 2 lnx2y2lim t ln t 0 f 0,0x, y0,0x, y0,0t 0故原函数在0,0点处连续。12xy2 , x2y20（ 2） f
3、x, yx2y0,x2y20解： lim2xy2k与 k 有关，故原函数在0,0 点处的极限不存在，因而在该222y kxxy1 kx 0点不连续。5、求下列函数的偏导数：（ 2）y z(,0)xx y zuuyz x yz 1 ,uxyzln x zyz 1 ,ux yzln x y z ln yxyz其余诸小题略。6、求函数 zxy 的各种二阶偏导数 。解：zyx y 1 ， zxy ln xxy2 zxy 1yxy 12 zyxy 1ln x xy 1y xln x ，x y7、略。x2y2 sin1, x2y200,0 点处：（ 1）是否连续；8、讨论函数 f x, yx2y2在0,x
4、2y 20（ 2）是否存在偏导数； （ 3）是否可微；（ 4）偏导数是否连续。解：（ 1） limf x, ylimx2y2 sinx21lim t 2 sin 10 f 0,0x, y0,0x , y0,0y 2t 0t故 fx, y 在0,0点处连续；本参考解答中，我们将2 z理解为先对y 再对 x 的二阶混合偏导数。x y221xsinf0x,0f0,02（ 2） fx0,0xlimlim0 ，x0xx0x21ysinf0,0yf 0,02f y0,0limy0lim00 ；yyyy故 fx, y 在0,0点处的两个偏导数均存在；（ 3） f0x,0yf0,0fx0,0 xf y 0,0
5、 yx2y21sinx22yx22sin1y22xy而 limx022y0xylimx2y210 ，sin22x0xy0y故22sin1o22，因此xy22xyxyf0x,0yf0,0fx0,0xf y0,0yo22xy即f0x,0yf0,0fx0,0xf y0,0yo22xy因此， fx, y 在0,0点处可微。（ 4） x2y20 时，求出 fx, y的两个偏导数，结合（2）的结果，得2xsin1xcos1, x2y20f x x, yx2y2x2y2x2y2，0,x2y202 ysin1ycos1, x2y20fy x, yx2y2x2y2x2y2，0,x2y203尽 管 函 数 2x
6、sin1和 2y sin1在0,0点 处 的 极 限 均 存 在 ， 但 函 数x2y2x2y2x1和ycos1在 0,0点处的极限均不存在（因为根x2y2cosx2y2x2y2x2y2据两路径判别法， limx和 limy均不存在），故极限222x0y2x0xyy0xy0lim2 xsin1xcos122222x0xyxy2xyy0和lim2 y sin1ycos122222x0xyxy2xyy0均不存在。因此，f xx,y和 f yx, y在0,0点处不连续！9、设 f具有一阶连续偏导数，求函数u f xy, x 的一阶偏导数。y解：uyf11f 2， uxf1x2 f 2xyyy10、设
7、 f具有两阶连续偏导数，z fy , x2 y ，求 z 的各种二阶偏导数。x解： zxf1yf2 2xyyf12xyf2x2x2zyf11f 2 x21 f1x2 f2xxzxy1f1yf111f12x22xf2 2xy f211f22 x2x22xxx12f1y3f11yf122xf22x3 yf22 （注意到 f12f21 ）xx411、设二元函数zz x, y 由方程 zezxy 所确定，求2 z 。xy解：方程 zezxy 两边关于x 求偏导，得zezzy ，故得zy；又方xxx 1ez程两边关于 y 求偏导，得zzz，故得zx。yeyxy1ez在方程zezzx 两边关于 x 求偏导
8、，得2 zezzzez2 z1 ，于是得yyx yxyx yzzz1 ezxy2z2z2 z1 exy1z1eee xyx y1 ez1 ez1 ez 3zx或直接根据y1z 得e21 ezxez z1 ezxezy1z 2zxyzxx1zee1 ez 2e1 ez 3。x yx 1 ez1 ez 212、设方程组x2y2uv0确定函数 uux, y， vv x, y ，求u ，u ，v 和xy2u2v20xyxv 。y解：方程两边分别关于x 和 y 求偏导数，得2x v uu v0uuv02 y vyxx，yuvuvy22u2v02xy2u2v0xxyy即vuuv2xvuuv2 yyyxx，
9、2u u2v vuvy2uvxyxxyy解得：5u4xvy2u，v4xuy2 v，u2 yvxyu，v2 yuxyv。x2 u2v2x2 u2v2yu2v2yu2v2xt2113、求曲线 yt3在 1,0,1处的切线和法平面方程。z1t 2解： dx2t 1 ， dy3t 2 ， dzt。点 1,0,1所对应的参数 t 0 。故曲线dtdtdtt21在点 1,0,1处的切线的方向向量为dx, dy, dz2,0,0 ，故切线方程为dt t 0dt t 0dt t 0x1 yz 1y0200（或即），法平面方程为 x 1 0 。z1x2y2z2a2在点 M 00,0, a 处的切线与法平面方程。
10、14、求曲线y2axx2解： 若以 x 为参数，则两个方程两边各关于x 求偏导数（将y 和 z 看作 x 的函数），得2 x2y dy2 z dz0dxdx2 x2y dyadx解得dzadx2zdya2xdx2 y很遗憾，在 M 00,0, a处， dy 不存在！因此，可重新考虑以y 为参数，则两个方程两边dx各关于 y 求偏导数（将x 和 z 看作 y 的函数），得2xdx2 ydz0dy2zdy2xdx2 ydxdyady6解得dx2 ydya 2xdzaydy2xaz故曲线在点 M 00,0, a 处的切线的方向向量为dx, 1,dz0,1,0dy 0,0, ady 0,0, a故得切
11、线方程为xyzax0y 0 。010（或即），法平面方程为za15、求曲面 exxyz3 在点0,1,2处的切平面与法线方程。解：设x3xF x yz e xy zxyx ，Fz1。故得所求切平, ,，则 F ey ， F面的法向量为Fx (0,1,2) , Fy (0,1,2), Fz (0,1,2)2,0,1于是得切平面方程为2xz 20 ，法线方程为 xy 1 z2。20116、求函数 zlnxy 在点1,2处沿从点1,2到点 2,23 的方向导数。z1， z1r13解：因x， l1, 3， cos,cos，故得xyyxy22zzcosz11133lcos323261,2x 1,2x 1
12、,217、求函数f x, yx2xyy2在点 P0 1,1处的最大方向导数。解： fx, y 在点 P01,1处沿梯度方向的方向导数最大，最大值即为梯度向量的大小。因 gradf 1,1f,f1,1 ，故得fgradf1,12 。x 1,1y 1,1l1,1718、求 z1eycosxyey 的极值。z1eysin x0xk解：由x，得（ k 为整数），即驻点为zycoskycosx1y01yey e2n , 0和2n1,2 ，其中 n0,1,2,3,。又因2 z1 eycos x ，2 zcos x2 y ey ，2 zey sin xx2y2xy故在驻点2n, 0处，A2 z20 ， B2
13、 z0， C2 z1x2xy 2ny22n,0,02n,0HACB220，因此，函数在驻点2n,0处取得极大值f2n,02 。在驻点 2n1,2 处，A2 z1e20 ， B2 z0 ， C2 ze2x2x y 2n 1 , 2y22 n 1 , 22 n 1 , 2H AC B2e 2 1 e 20 ，因此，驻点2n1,2 并不是函数的极值点，亦即f 2n 1 , 212111e2e2e2不是函数的极值！19、求函数 zfx, ycos xcos ycos xy 在闭区域 D： 0x, 0y上22的最值。解： 由zsin xsinxy0 ，zsin ysin xy0 得xysin xsin
14、y0 ，8即2sin xy cos xy022注意到 0xy,xy，故知上述方程在区域D的内部 没有解。 因此，函数22在 D 内部没有驻点。 由此可知，函数的最值必在 D 的边界上取得 （否则区域内部必有驻点） 。在 x 00 y上， fx, y1 2cos y ，最大值为3，最小值为 1；2在 y00x上， fx, y1 2cos x ，最大值为 3，最小值为 1；2在 x20y上， fx, ysin ycos y2 siny，最大值为2，24最小值为1；在 y20x上， fx, ysin xcos x2 sinx，最大值为2，24最小值为1。因此，函数在区域D 上的最大值为3，最小值为1
15、。xyy2, x2y20x, y0,020、设 fx, yx2，讨论 f在点处是否连续、 存在0,x2y20偏导数、可微。解：（ 1）lim0,0fx, ylim0,0xy2lim r 2 sincos0f0,0x, yx, yx2yr0r或由xy1x2y210f x, y2x2y2x2y2x2y22而 lim1x2y 20 ，故得limfx, ylimxy0f0,0 ，因x, y0,0 2x, y0,0x, y0,0x2y2此， fx, y 在 0,0点处连续；9（ 2） fx0,0limf0x,0f0,0lim000 ，x0xx0xf y0,0limf0,0yf0,0lim000 ；y 0
16、yy 0y故 fx, y 在 0,0点处的两个偏导数均存在；（ 3） f0x,0yf0,0fx 0,0xf y0,0xyy，22xyxyx22xy而 limylim2 不 存 在 （ 两 路 径 判 别 法 ）， 故 知2202x0xxxyy0yy0xyox22，因此， fx, y在0,0 点处不可微。y2 2x y21、设 zfx, y 在点 1,1处可微，且 f 1,11 ，f2 ， f3 ， xx 1,1y1,1f x, fx, x，求 d 3 x。dxx 1d解：dxddx3x3 2 xx3 f 2 x, f x, xf1f2 f1 f2，故3x3 f 21,1f1 1,1 f2 1,1f1 1,1f2 1,151x 122、设 uf x, y, z由连续的一阶偏导数，又函数yy x 及 zxyz x 分别由 e xy 2xx z sin tdt 确定，求du。和 e0tdx解：分别在方程 exyxy2 和 exx z sin tdt 两边关于 x 求偏导数（ y 和 z 为 x 的函数），0t得 exyyx dyyx dy0 ， e
