1、理 论 力 学 简 明 教 程,制作与设计 韩淑洁 审核 孟庆东,第二篇,运动学,引 言,运动学是从几何的角度来研究物体的机械运动，即研究物体的位置随时间的变化，而不考虑物体运动变化的物理原因(即物体所受的力和物体的质量)。,运动：指物体在空间的位置随时间的变化,参考体：要描述物体位置以及它的运动,必须选取另一个物体作为参考,这个用作参考的物体称为参考体,参考系：在参考体上固结的坐标系称为参考系,点：指不计大小和质量，但在空间占有确定位置的几何点,刚体：指由无数点组成的不变形系统,时间间隔：对应于物体在不停顿的运动中从某一位置移动到另一位置所经历的时间,瞬时：时间间隔趋于零的一瞬间,第六章 点
2、的运动学,描述点运动的矢量法,描述点运动的直角坐标法,主要研究内容,描述点运动的自然法,1.点的轨迹：点运动时，它在空间所走过的路线。,2.点的运动可以采用不同的坐标系进行描述。常用的有：,直角坐标法：动点轨迹未知时的运动分析；,轨迹为为曲线时称该点作曲线运动,轨迹为直线时，称该点作直线运动,自然坐标法：动点轨迹已知时的运动分析；,矢量法：主要用于理论推导；,3.研究点的运动就是要研究点的运动方程、速度和加速度。,第六章 点的运动学,51 点的运动学,解：因飞机做匀加速圆弧运动，则a=常数，且v=vo+at,飞机在B点处的全加速度为,一、用失径表示点的运动方程 矢径r:用以确定动点P位置的矢量
3、 动点P在坐标系中的位置由矢径r唯一的确定 r =r (t ) 称为动点P矢量形式的 运动方程，其矢端曲线即 称为动点的运动轨迹。,第一节 描述点运动的矢量法,二、用矢径表示点的速度,速度是表示点运动的快慢和方向的物理量。,设在时刻 t 质点在A处，它的 矢径为 r (t)，经过t时间该质 点在B处,此时矢径为 r(t+t)，则质点在t时间内位置矢量的变化量r 称为质点的位移矢量、简称位移。 图中所示曲线 AB 的长度称为质点经过的路程 s，它是标量。,第一节 描述点运动的矢量法,1、动点在 t时间内的平均速度： v*= r/ t,因为 t 是标量，故平均速 度 v*的方向与 r 的方向相同。
4、,2、动点在瞬时t的瞬时速度 （速度）： v = lim r/ t = dr/dt t0,速度方向为所在点轨迹的切线方向，并指向质点前进的一方。,在SI中，速度的单位为米/秒(m/s).,表明：即动点的速度等于动点的矢径对时间的一阶导数。,第一节 描述点运动的矢量法,三、用矢径表示点的加速度,(1)平均加速度: a*=v/t =(v(t+t)-v(t)/ t,(2)瞬时加速度(加速度): a=lim t0v/t=dv/dt= d2r/dt2 在SI中加速度的单位为米/秒2 ( m/s2 ),加速度是表示点的速度对时间变化率的物理量。,第一节 描述点运动的矢量法,第二节 描述点运动的直角坐标法,
5、用直角坐标法求点的速度、加速度,点的运动轨迹为未知，则应采用直角坐标法。,运动方程,设点M在平面内作曲线运动,建立直角坐标系xoy（如图），则点M在任一瞬时的位置可由坐标x、y来确定。点的运动方程为：,点的轨迹方程,第二节 描述点运动的直角坐标法,速度,动点的速度沿直角坐标轴的两个分量vx和vy分别等于坐标轴x轴和y轴对时间的一阶导数，即,速度,与x轴之间所夹的锐角， 的方向由 x和 y的正负号决定,第二节 描述点运动的直角坐标法,加速度,动点的加速度沿直角坐标轴的两个分量ax和ay的大小,等于其相应的速度分量的大小对时间的一阶导数，等于其相应的坐标对时间的二阶导数，即,加速度,第二节 描述点
6、运动的直角坐标法,例6-1 某歼击机飞行员做俯冲飞行训练时，若其飞行曲线AB近似一半径r=800m的圆弧，如图所示。己知在A点时的速度v0=400kmh，到达B点时的速度v1=460kmh。所经历的时间t=3s。若飞机由A到B位置是匀加速度运动，试求飞机在B处时的全加速度。,第三节 描述点运动的自然法,当动点的运动轨迹已知时，应用自然坐标法求解点的速度和加速度问题比较方便。,M,x,y,z,O,当动点M沿轨迹运动时，它的位置 随着时间而变化，即弧长s是时间t 的单值连续函数，可表示为 s=f(t) 上式称为动点 沿已知轨迹的运动方程,O1,（+）,（-）,一、用弧坐标表示点的运动方程,自然轴系
7、,动点M沿已知平面轨迹AB运动。在轨迹上 与动点M相重合的一个点处建立一个坐标 系：取切线轴 沿轨迹在该点的切线，它的 正向指向轨迹的正向；取法向轴 沿轨迹在 该点的法线，它的正向指向轨迹的曲率中心。 这样建立的正交坐标系称为自然坐标轴系， 简称自然轴系。 如切向轴和法向轴的单位矢量分别用et和en表示，与直角坐标系中i , j , k不同，et和en的方向随动点 M在轨迹上的位置的变化而变化，是变矢量。动点的速度、加速度在自然坐标轴系上的投影称为自然坐标。,t,n,第三节 描述点运动的自然法,v = lim r/ t t0,分子、分母同时乘以s, 可得：,v = lim r s / t s=
8、 lim r/ s lim s/ t t0 t0 t0 当 t0 时， r/ s 的大小趋于1。方向趋近于轨迹的切向，并指向弧坐标的正向，故 lim r/ s= et, 而lim s/ t=ds/dt t0 t0,第三节 描述点运动的自然法,二、用自然坐标法表示点的速度,故而 v=et d s/d t,表明：速度在法向轴上的投影为零；在切向轴上 的投影，即为速度的大小，等于点的弧坐标对时 间的一阶导数。,v=d s/d t,第三节 描述点运动的自然法,三、用自然坐标法表示点的加速度,a=d v/ dt=d( v e t)/ dt = e t d v / dt+ v det / dt,在自然轴系
9、中，加速度a可表示为： a=a t+ a n=at et+ an en,(15),(16),式中，at和an分别称为点的切向加速度和法向加速度。 at和an分别为点的加速度在切向轴和法向轴上的投影。,由式（15）和式（16）可得：,第三节 描述点运动的自然法,1、切向加速度,切向加速度的大小为：,at= d v / dt=d2s/dt2,表明：点的切向加速度的大小at等于点的速度大小v对时间的一阶导数，也等于点的弧坐标s对时间的二阶导数。当d v/d t大于零时，切向加速度方向与et同向；反之，反向。,在自然轴系中，点的速度为切向矢量，点的切向 加速度也为切向矢量，故其反映的是速度大小的 瞬时
10、变化率。,第三节 描述点运动的自然法,2、法向加速度,分析：,ABM为等腰三角形,/,第三节 描述点运动的自然法,de t/dt,=lim / t,=lim, t,s,s, t0, t0,=lim,s, t0, t,s,=lim,s, t0,lim, t,s, t0,=,1,v,当 t0时， 0 ，MBA 趋于90。et 的极限方向（即de t /dt的方向），与et垂直，且指向曲线在M点的曲率中心，即自然轴系法向轴单位矢量en的方向。,第三节 描述点运动的自然法,表明：点的法向加速度的大小为,方向始终指向该点轨迹的曲率中心。,点的法向加速度为法向矢量，反映的是速度 方向的瞬时变化率。法向加速
11、度越大，速度 方向变化得越快；反之，速度方向变化的越 慢。,第三节 描述点运动的自然法, 大小：,在自然轴系中，点的加速度称为全加速度，记作a.它反映的是速度矢量v（包括大小和方向）的瞬时变化率。, 方向：,3、全加速度,第三节 描述点运动的自然法,例6-3:杆AB在A端铰接固定，环M将AB杆与半径为R 的固定圆环套在一起，AB与铅垂线之夹角为a=wt, 如图所示。求套环M的运动方程、速度和加速度。,解(一）：（1）在动点M上建立自 然坐标轴系，确定点O为弧 坐标原点,（2）建立点的运动方程 S=R（2a)=2Rwt,（3）建立M点的速度 v=ds/dt=2Rw,第三节 描述点运动的自然法,（
12、4）建立M点的加速度 切向加速度: at=dv/dt=0 法向加速度：an=v2/ =4Rw2,M点的全加速度：,=4Rw2,其方向沿MO且指向O，可知套环M沿固定圆环 作匀速圆周运动。,第三节 描述点运动的自然法,a,2a,B,A,M,v,O,R,（1）建立直角坐标系,（2）建立点的运动方程 x=Rsin（2a)=Rsin2wt y=Rcos（2a)=Rcos2wt,x,y,（3）建立M点的速度 v x=dx/dt=2Rwcoswt v y=dy/dt=-2Rwsinwt 点M的速度大小和方向余弦： v=（v x2+vy2）1/2=2Rw,cos (v, i)= v x / v=cos2wt,解(二）：,第三节 描述点运动的自然法,（4）建立M点的加速度 ax=d v x /dt=-4Rw2sin2wt ay=d v y/ dt=-4Rw2cos2wt,点M的加速度大小和方向余弦： v=（a x2+ay2）1/2=4Rw2,cos (a ,i)=ax / a=-sin2wt,第三节 描述点运动的自然法,四、点运动的几种特殊情况,匀速直线运动 a=0,匀速曲线运动时 a= an,匀变速直线运动,匀变速曲线运动,第三节 描述点运动的自然法,
