1、课时分层作业 (八)生活中的优化问题举例(建议用时： 40 分钟 )基础达标练 一、选择题1某工厂要围建一个面积为512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为 (单位：米 )()A32,16B30,15C40,20D36,18A 要使材料最省， 则要求新砌的墙壁的总长最短， 设场地宽为 x 米，则长为512512512x米，因此新墙总长 L2xx(x0)，则 L 2x2.令 L 0，得 x16512或 x 16(舍去 )此时长为 16 32(米)，可使 L 最短 2将 8 分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小
2、，则应分为A2 和 6B4 和 4C3 和 5D以上都不对B 设一个数为 x，则另一个数为 8x，则其立方和 y x3(8 x)383192x24x2(0x8)，y48x192.令 y0，即 48x1920，解得 x 4.当 0x4时， y0；当 40.所以当 x4 时， y 最小 3要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为() 【导学号： 31062075】3103A3cmB3cm163203C3cmD3cm2212D 设圆锥的高为 x cm，则底面半径为20 xcm.其体积为 V 3x(20第 1页212203203 x )(0x20)，V3 (4003x )令
3、V 0，解得 x1 3，x23(舍203203203去 )当 0 x 3时，V0；当 3x20时，V 0.所以当 x3时，V 取最大值 4内接于半径为 R 的半圆的周长最大的矩形的边长为 ()R3545A 2和2RB 5 R和5R47C5R 和5RD以上都不对B 设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x，则另一边长为2R2x2，则 l 2x4224x.令 l 0，解得 x15R x (0xR)，l 225R，x22R x55555 R(舍去 )当 0x 5 R 时， l 0；当 5 RxR 时， l 0.所以当 x 5545R 时， l 取最大值，即周长最大的矩形的相邻两边长分别为5 R， 5R5某
4、公司生产某种产品，固定成本为20 000 元，每生产一单位产品，成本增 加 100元 ， 已 知 总 营 业 收 入 R与 年 产 量x 的 关 系 是 R(x) 12400x 2x ， 0 x 400，则总利润最大时，每年生产的产品是()80 000，x400，A100B150C200D300D 由题意，得总成本函数为C(x) 20 000100x，总利润 P(x)R(x) C(x)x2300x 2 20 000，0x400，60 000 100x， x400.第 2页300 x， 0 x400，所以 P(x) 100，x400.令 P (x)0，得 x300，易知 x300 时，总利润 P
5、(x)最大 二、填空题26某产品的销售收入y1 (万元 )是产量 x(千台 )的函数： y117x (x 0)，生产32成本 y2(万元 )是产量 x(千台 )的函数： y2 2x x (x0)，为使利润最大，应生产_千台 .【导学号： 31062076】解析 设利润为 y，则 y y1y217x2 (2x3x2) 2x318x2(x0)，y 6x2 36x 6x(x6)令 y 0，解得 x 0 或 x6，经检验知 x6 既是函数的极大值点又是函数的最大值点答案 61 339 27电动自行车的耗电量y 与速度 x 之间的关系为 y3x 2 x 40x(x0)，为使耗电量最小，则其速度应定为_解
6、析 由题设知 yx2 39x40，令 y 0，解得 x 40 或 x 1，1 339 2故函数 y3x 2 x 40x(x0)在40 ， )上递增，在 (0,40上递减当x40 时， y 取得最小值由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.答案 408用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为 _时容器的容积最大第 3页1解析 设容器底面短边长为x m，则另一边长为 (x0.5)m，高为414.84x4(x0.5) (3.22x)m.由 3.2 2x0 及 x 0，得 0x1.6.设容器容积为 y，3224.4x则有 yx(x
7、0.5)(3.2 2x) 2x 2.2x 1.6x(0x1.6)， y 6x1.6.由 y 0 及 0x 1.6，解得 x 1.在定义域 (0,1.6)内，只有 x 1 使 y 0.由题意，若 x 过小 (接近于 0)或过大 (接近于 1.6)， y 的值都很小 (接近于 0)因此当 x1 时， y 取最大值，且 ymax 22.21.61.8(m3)，这时高为 1.2 m.答案 1.2 m三、解答题9一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时10 千米时，燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，问轮船的速度是多少时， 航行 1 千米所需的费用总和最
8、少？ 【导学号： 31062077】解 设速度为每小时v 千米时，燃料费是每小时p 元，那么由题设知pkv3 ，6因为 v10，p6，所以 k1030.006.于是有 p0.006v3.又设船的速度为每小时v 千米时，行驶 1 千米所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是 (0.006v396)元，而行驶 1千米所用时间为1v小时，所以行1396)0.006v296驶 1 千米的总费用为 qv(0.006v v .960.01238 000)，q0.012v v2v2(v 令 q 0，解得 v 20.当 v 20 时，q 0；当 v 20 时，q 0，第 4页所以当 v20 时， q 取
9、得最小值即当速度为 20 千米 /小时时，航行 1 千米所需的费用总和最少10某商店经销一种商品，每件产品的成本为 30 元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交 a 元 (a 为常数， 2 a 5)的税收设每件产品的售价为 x 元(35x41)，根据市场调查，日销售量与 ex(e 为自然对数的底数 )成反比例已知每件产品的日售价为40 元时，日销售量为10 件(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x 元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出 L(x)的最大值解 (1)设日销售量为kkx，则4010，ee4010e40k10e，则日售量为
10、ex件10e4040x 30a；则日利润 L(x)(x30a) x 10exee答：该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x 元的函数关系式为 L(x)40x30a 10ex.e31 a x(2)L(x)10e40x.e当 2a 4 时， 33a31 35，当 35x41 时， L (x)0.当x35 时， L(x)取最大值为 10(5a)e5；当 4a 5 时， 35a31 36，令 L (x)0，得 xa31，易知当 x a 31 时， L(x)取最大值为 10e9a.10 5 a e5， 2 a 4综合上得 L(x)max.10e9a， 4 a5答：当 2a4 时，当每件产品的日售价
11、35 元时，为 L(x)取最大值为 10(5第 5页 a)e5 ；当 4 a 5 时，每件产品的日售价为a31 元时，该商品的日利润L(x)最大，最大值为10e9a.能力提升练 1如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为()l3l3A. 6B. 3l3D.1l3C. 444l 4rA 设圆柱的底面半径为r，高为 h，体积为 V，则 4r 2h l，h2，2l 23lVr h2r 2r0r 4 .2l则 V lr6r ，令 V0，得 r 0或 r 6，而 r 0，lr6是其唯一的极值点l当r 6时， V 取得最大值，最大值为l 36.2用长为 90 cm，宽为 48 cm 的长方形铁皮做
12、一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成 (如图1-4-2)，当容器的体积最大时，该容器的高为()图 1-4-2A8 cmB9 cmC10 cmD12 cmC 设容器的高为 x cm，容器的体积为 V(x)cm3，则 V(x)(902x)(482x)x 4x3 276x2 4 320x(0x24)，因为 V(x) 12x2552x4 320，由 12x2552x4 3200，第 6页得 x10 或 x 36(舍 )，因为当 0x0，当 10x24 时，V(x)0，所以当 x10 时， V(x)在区间 (0,24)内有唯一极大值，所以容器高 x 1
13、0 cm 时，容器体积 V(x)最大 3海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为 30 n mile/h ，当速度为 10 n mile/ h 时，它的燃料费是每小时 25 元，其余费用 (无论速度如何 )都是每小时 400 元如果甲乙两地相距 800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为_.【导学号： 31062078】解析 由题意设燃料费 y 与航速 v 间满足 yav3，(0v30)31又25 a10 ，a40.设从甲地到乙地海轮的航速为v，费用为 y，38008002320 000则 yav v v 40020vv.320
14、 000由 y 40v v2 0，得 v2030.当 0v20 时， y 0；当 20v0，当v20 时， y 最小答案 20 n mile/h4如图 1-4-3，内接于抛物线 y1x2 的矩形 ABCD，其中 A，B 在抛物线上运动， C， D 在 x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是 _图 1-4-3x解析 设 CDx，则点 C 的坐标为 2，0 ，点 B 的坐标为第 7页xx 22，1 2，矩形ABCD 的面积x 2x3Sf(x)x1 24 x，x(0,2)3 2由 f(x) 4x 10，2323得 x1 3 (舍)，x2 3 ，x ， 23 时， f (x)0，f(x)单调递增， x
15、23，2时， f(x)0，f(x)单033调递减，2343故当 x3时， f(x)取最大值 9 .答案 4395如图 1-4-4 所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的 B 处，乙厂到海岸的垂足 D与 A 相距 50 km.两厂要在此岸边 A，D 之间合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元，则供水站 C 建在何处才能使水管费用最省？【导学号： 31062079】图 1-4-4解 设 C 点距 D 点 x km，则 AC 50x(km)，所以 BCBD2 CD2x2 402(km)又设总的水管费用为y 元，依题意，得 y 3a(50x)5ax2402(0x50)5axy 3ax2 402.第 8页令 y 0，解得 x 30.在(0,50)上， y 只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x30 km处取得最小值，此时AC50x20(km)故供水站建在 A，D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省第 9页
