1、第一章 信号与系统,1.1 绪 言 一、信号的概念 二、系统的概念1.2 信号 一、信号的描述 二、信号的分类1.3 信号的基本运算 一、加法和乘法 二、时间变换1.4 阶跃函数和冲激函数 一、阶跃函数 二、冲激函数,三、冲激函数的性质1.5 系统的描述 一、系统的数学模型 二、系统的框图表示1.6 系统的特性和分析方法,点击目录 ，进入相关章节,什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？,一、信号的概念,1. 消息(message),人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。,2. 信息(information),把消息中有意义的内容称为信息。,1.1 绪言,第一章 信号与系统,3.
2、 信号(signal),信号是信息的载体,是信息的一种物理体现。通过信号传递信息。,1.1 绪论,信号最具体，它是一物理量，可测量、可显示、可描述，同时它又是载荷信息的实体消息是具体的、非物理的，可描述为语言文字、符号、数据、图片，能够被感觉到，同时它是信息的载体信息是抽象的、非物理的（信息是指各个事物运动的状态及状态变化的方式）,消息、信号和信息,信号的表现形式为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号。声信号：上、下课铃声光信号：十字路口的红绿灯电信号：电视、电话接收到的信号其它信号：书籍中的文字、图像以及电波等,本门课程主要讨论随时间变化的一维电信号（函数）,一、
3、信号的概念,1.1 绪论,二、系统的概念,系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。,如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。,信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。,系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。,输入信号,激励,输出信号,响应,1.1 绪论,1.2 信号,第一章 信号与系统,一、信号的描述,信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。,信号按物理属性分：电信号和非电信号。 本课程讨论电信号-简称“信号”。,电信号的基
4、本形式：随时间变化的电压或电流。,描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数 （2）信号的图形表示-波形“信号”与“函数”两词常相互通用。,1.2 信号,二、信号的分类,1. 确定信号和随机信号,研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定信号。,按照时间函数的确定性划分,确定性信号：指信号可以用一个确定的时间函数加以确定。给定某一时间值时，信号就有确定的数值。随机信号：指信号不能用一个确定的时间函数加以确定。在相同的条件下，不能准确地重现某一数值，只能得到取某值的概率。,用统计特性加以描述,1.2 信号,2. 连续信号和离散信号,根据信号定义域的特点划分,在连续的时间范围内(-t）有定义
5、的信号称为连续时间信号，简称连续信号。 “连续”指函数的定义域时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。,（1）连续时间信号,幅值连续的连续信号称为模拟信号,1.2 信号,仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。 “离散”指信号的定义域时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义（不是0）。,离散时间信号,幅值离散的离散信号称为数字信号,如图的f(t)仅在一些离散时刻tk(k = 0,1,2,)才有定义，其余时间无定义。 间隔Tk=tk+1-tk 取等间隔T，离散信号:f(kT)，简写为f(k)称为序列，其中k称为序号。,1.2 信号,1
6、.2 信号,上述离散信号可简画为,用表达式可写为,或写为,连续还是离散？,连续时间信号,连续时间信号（可包含不连续点）,离散时间信号（抽样信号）,数字信号,f(n),(2) (1) (1),0 1 2 3 4,n,值域连续,值域不连续,1.2 信号,1.2 信号,3. 周期信号和非周期信号,周期信号(period signal)是定义在(-，)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。,连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,满足上述关系的最小T(或整数N
7、)称为该信号的周期。,不具有周期性的信号称为非周期信号。,按照信号的周期性划分,1.2 信号,例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint,解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2=
8、(2/3) s由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2。（2） cos2t 和sint的周期分别为T1= s， T2= 2 s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。,1.2 信号,例2 判断正弦序列f(k) = sin(k)是否为周期信号，若是，确定其周期。,解 f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m = 0,1,2,式中称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。由上式可见： 仅当2/ 为整数时，正弦序列才具有周期N = 2/ 。当2/ 为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N= M(2/ )，M取
9、使N为整数的最小整数。当2/ 为无理数时，正弦序列为非周期序列。,1.2 信号,例3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin(3k/4) + cos(0.5k) （2）f2(k) = sin(2k),解 （1）sin(3k/4) 和cos(0.5k)的数字角频率分别为 1 = 3/4 rad， 2 = 0.5 rad由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4为有理数，故它们的周期分别为N1 = 8 ， N1 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。 （2）sin(2k) 的数字角频率为 1 = 2 rad；由于2/ 1 = 为
10、无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。由上面几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。,1.2 信号,4实信号与复信号,函数(或序列)值为复数的信号称为复信号。,函数(或序列)值为实数的信号称为实信号。,式中复变量,由欧拉公式，上式可展开为,按信号物理可实现划分,1.2 信号,5能量信号与功率信号,将信号f (t)施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2，在区间( , )的能量和平均功率定义为,（1）信号的能量E,（2）信号的功率P,按照信号的能量和功率划分,能量有限
11、信号：信号的能量E有界，即E ，P =0功率有限信号：信号的能量E无限，而平均功率P为不等于零的有限值，即 E =，P ,1.2 信号,相应地，对于离散信号，也有能量信号、功率信号之分。,若满足 的离散信号，称为能量信号。,若满足 的离散信号，称为功率信号。,时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能量信号周期信号属于功率信号非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号,1.2 信号,6一维信号与多维信号,从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维函数。 语音信号是一维信号。 一张黑白图像每个点(像素)具有不同的光强度，任一点是二维平面坐标中两个变量的函数，是二维信号
12、。 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。,7因果信号与反因果信号,因果信号：t = 0时接入系统的信号f(t)。 即在t 0，则将f ()右移；否则左移。 如,1.3 信号的基本运算,平移与反转相结合,法一：先平移f (t) f (t +2),再反转 f (t +2) f ( t +2),法二：先反转 f (t) f ( t),画出 f (2 t)。,再平移 f ( t) f ( t +2),左移,右移,= f (t 2),注意：是对t 的变换！,1.3 信号的基本运算,3. 尺度变换（横坐标展缩）,将 f (t) f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。若a 1 ，则波形沿横
13、坐标压缩；若0 a 1 ，则展开 。如,对于离散信号，由于 f (a k) 仅在为a k 为整数时才有意义。,1.3 信号的基本运算,平移、反转、尺度变换相结合,已知f (t)，画出 f ( 4 2t)。,注意运算顺序：1平移2反转3尺度变换,1.3 信号的基本运算,本课程中将出现的10种基本的信号运算方式,信号自变量的改换：平移、反转与尺度变换,信号自身整体的运算：幅度比例、微分与积分,两信号之间的运算：相加、相乘、卷积和相关,f(5-2t),1.4 阶跃函数和冲激函数,阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。,1.4 阶跃函数和冲激函数,一、阶跃函数,采用求函数序列极限的方法定义阶
14、跃函数。,选定一个函数序列n(t)如图所示。,在t=0时刻对某一电路接入单位电源,1.4 阶跃函数和冲激函数,阶跃函数性质：,（1）可以方便地表示某些信号(分段信号),f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2),（2）用阶跃函数表示信号的作用区间,1.4 阶跃函数和冲激函数,二、冲激函数,其对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型,其特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）,也可采用下列直观定义：对n(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。,高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。,1.4 阶跃函数和冲激函数,冲激函数与阶跃函数关系：,可见，引入冲激函数之后，间断点的导数
15、也存在。如,f(t) = 2(t +1)-2(t -1),f(t) = 2(t +1)-2(t -1),1.4 阶跃函数和冲激函数,三、冲激函数的性质,1. 与普通函数 f(t) 的乘积取样性质,若f(t)在 t = 0 、 t = a处存在，则 f(t) (t) = f(0) (t) (23),(24),0,1.4 阶跃函数和冲激函数,2. 冲激函数的导数(t) (也称冲激偶)和积分,证明：, f(t) (t) = f(t) (t) + f (t) (t) f(t) (t) = f(t) (t) f (t) (t) = f(0) (t) f (0) (t),(t)的定义：,(n)(t)的定义
16、：,(16),(17),(8),1.4 阶跃函数和冲激函数,3. 移位f(t) (t t1) = f(t1) (t t1) (29) f(t) (t-t1) = f(t1) (t-t1) f (t1) (t-t1) (31),(30),(32),(21a),(21b),(22b),(21a),(16),f(t) (t) = f(0) (t) (23),(24),1.4 阶跃函数和冲激函数,4. (t) 的尺度变换,证明见教材P21,推论:,(1),(2)当a = 1时,所以， ( t) = (t) 为偶函数， ( t) = (t)为奇函数。,1.4 阶跃函数和冲激函数,思考题：已知f(t)，画
17、出g(t) = f (t)和 g(2t),单位序列和单位阶跃序列,1.4 阶跃函数和冲激函数,1.5 系统的描述,1.5 系统的描述,连续系统与离散系统,若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为连续系统。,若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为离散时间系统，简称为离散系统。,一. 系统的分类,1.5 系统的描述,含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。,单输入单输出系统与多输入多输出系统,如果系统的输入,输出信号只有一个,称为单输入单输出系统。如果系统的输入,输出信号有多个,称为多输入多输出系统。,
18、若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统 或记忆系统。,动态系统与即时系统,本课程重点学习单输入单输出、动态连续(离散)系统。,1.5 系统的描述,图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由KVL和VAR列方程,整理得:,二. 系统的数学模型,1.5 系统的描述,例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元/月，求第k个月初存折上的款数。 解:设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为y(k-1),则 y(k)=y(k-1)+ y(k-1)+f(k)即 y(k)-(1+)y(k
19、-1) = f(k)若设开始存款月为k=0，则有y(0)= f(0)。 差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。,描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描述离散动态系统的数学模型是差分方程。,1.5 系统的描述,二. 系统的框图表示,将相乘、微分、相加基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。基本部件单元有：,积分器：,加法器：,1.5 系统的描述,迟延单元：,延时器：,数乘器：,例1：已知框图，写出系统的微分方程。,1.5 系统的描述,解：设中间变量x(t)如图,
20、x(t),x(t),x”(t),x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t),y(t) = 4x(t)+ 3x(t),消去x(t) ，得,y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t),1.5 系统的描述,例：已知框图，写出系统的差分方程。,解：设中间变量x(k)如图,x(k),x(k-1),x(k-2),即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1)
21、+ 5f(k-2),x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2),选中间变量x(.)。对于连续系统，设其最右边积分 器的输出为x(t)，对于离散系统，设其最左边迟延单元的输入为x(k)； 写出各加法器输出信号的方程； 消去中间变量x(.)。,已知描述系统的框图,列写其微分或差分方程的一般步骤是:,1.6 系统的性质,1. 线性系统与非线性系统,满足线性性质的系统称为线性系统。,线性性质,系统的激励f ()所引起的响应y() 可简记为 y() = T f (),线性性质包括两方面：齐次性和可加性。,若系统的激励f ()增大a倍时，其响应y()也增大a倍，即 T af () = a T f
22、 ()则称该系统是齐次的。,若系统对于激励f1()与f2()之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即 T f1()+ f2() = T f1()+T f2() 则称该系统是可加的。,1.6 系统的性质,若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即 Ta f1() + bf2() = a T f1() + bT f2(),动态系统是线性系统的条件,动态系统的响应不仅与激励 f () 有关，而且与系统的初始状态x(0)有关。,完全响应可写为 y () = T f () , x(0)零状态响应为 yzs() = T f () , 0零输入响应为 yzi() = T 0，x(0),1.6 系统
23、的性质,当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：,零状态线性： Ta f () , 0 = a T f () , 0 Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0或 Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0,零输入线性： T0,ax(0)= aT 0,x(0) T0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0)或T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0),可分解性： y () = yzs() + yzi() = T f (
24、) , 0+ T 0，x(0),1.6 系统的性质,例1：判断下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t),解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1显然， y (t) yzs(t) yzi(t) 不满足可分解性，故为非线性（2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t) 满足可分解
25、性；由于 Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yzs(t) 不满足零状态线性。故为非线性系统。（3） yzs(t) = 2 f (t) , yzi(t) = x2(0) ，显然满足可分解性；由于T 0,a x(0) =a x(0)2 a yzi(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。,1.6 系统的性质,例2：判断下列系统是否为线性系统？,解：,y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 满足可分解性；,Ta f1(t)+ b f2(t) , 0,= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，满足零状态线性；,T0,ax1(0) + bx2(0) = e-ta
26、x1(0) +bx2(0) = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 满足零输入线性；,所以，该系统为线性系统。,1.6 系统的性质,2. 时不变系统与时变系统,若系统的参数都是常数，不随时间变化，则称该系统为时不变系统。,时不变性质,若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间，即若 T0，f(t) = yzs(t)则有 T0，f(t - td) = yzs(t - td)系统的这种性质称为时不变性（或移位不变性）。,1.6 系统的性质,例：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yzs (k) = f (k) f (k 1) （
27、2） yzs (t) = t f (t) （3） y zs (t) = f ( t) （4） yzs (t) = f (2 t)+ f (t+1),解(1)令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 )而 yzs (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 显然 T0，f(k kd) = yzs (k kd) 故该系统是时不变的。(2) 令g (t) = f(t td) T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而 yzs (t td)= (t td) f (t td)显然T0，
28、f(t td) yzs (t td) 故该系统为时变系统。,(3) 令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而 yzs (t td) = f ( t td)，显然 T0，f(t td) yzs (t td) 故该系统为时变系统。,直观判断方法： 若f ()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。,1.6 系统的性质,（3） yzs(t) = f ( t),(4) 令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g (2 t) + g (t+1) = f(2t td) +f(t+1 td)而 yzs (t td) =
29、 f 2( t td)+f(t- td+1)，显然 T0，f(t td) yzs (t td) 故该系统为时变系统。,（4） yzs (t) = f (2 t)+ f (t+1),1.6 系统的性质,LTI连续系统的微分特性和积分特性,本课程重点讨论线性时不变系统(Linear Time-Invariant)，简称LTI系统。,微分特性：若 f (t) yzs(t) ， 则 f (t) y zs(t) 积分特性：若 f (t) yzs(t) ， 则,1.6 系统的性质,3. 因果系统与非因果系统,零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统。,系统在 t0时刻的响应只与 t = t0和 t
30、 0；当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应 y2(t) = 2e t +3 cos(t)，t0；求输入f3(t) = +2f1(t-1)时，系统的零状态响应y3f(t) 。,解 设当x(0) =1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1zi(t)、y1zs(t)。当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2zi(t)、y2zs(t)。,1.6 系统的性质,由题中条件，有y1(t) =y1zi(t) + y1zs(t) = e t + cos(t)，t0 （1）y2(t) = y2zi(t) +
31、 y2zs(t) = 2e t +3 cos(t)，t0 （2）根据线性系统的齐次性，y2zi(t) = 2y1zi(t)，y2zs(t) =3y1zs(t)，代入式（2）得 y2(t) = 2y1zi(t) +3 y1zs(t) = 2e t +3 cos(t)，t0 （3）式(3) 2式(1)，得 y1zs(t) = 4e-t + cos(t)，t0由于y1zs(t) 是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t0，y1zs(t)=0；因此y1zs(t)可改写成 y1zs(t) = 4e-t + cos(t)(t) (4),1.6 系统的性质,f1(t) y1zs(t) = 4e
32、-t + cos(t)(t),根据LTI系统的微分特性,= 3(t) + 4e-t sin(t)(t),根据LTI系统的时不变特性,f1(t1) y1zs(t 1) = 4e-(t-1) + cos(t1)(t1),由线性性质，得：当输入f3(t) = +2f1(t1)时，,y3zs(t) = + 2y1(t1) = 3(t) + 4e-t-sin(t)(t) + 24e-(t-1) + cos(t1)(t1),1.6 系统的性质,4. 稳定系统与不稳定系统,一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yzs(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即 若f(.)，其
33、yzs(.) 则称系统是稳定的。,如yzs(k) = f(k) + f(k-1)是稳定系统；而,是不稳定系统。,因为，当f(t) =(t)有界，,当t 时，它也，无界。,1.6 系统的性质,注意：,对系统的时不变性、因果性、稳定性的判别只需针对零状态响应。,5. LTI系统分析概述,系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。 具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。,系统的分析方法：,输入输出法（外部法）,状态变量法（内部法）（chp.8),外部法,时域分析（chp.2,chp.3),变换域法,连续系统频域法(4)和复频域法(5),离散系统z域法（chp6),系统特性：系统函数（chp.7),1.6 系统的性质,把零输入响应和零状态响应分开求。 把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。,求解的基本思路：,采用的数学工具：,卷积积分与卷积和（ (t)与(k) ） 傅里叶变换(正弦信号和虚指数信号ejt) 拉普拉斯变换(复指数函数est ) Z变换(复变量z = esT),1.6 系统的性质,第一章 信号与系统,本章小结,信号信号的定义信号的分类信号的基本运算冲激信号与阶跃信号 系统系统的定义系统的分类系统的性质系统的研究方法,
