1、第三章3.23.2.2一、选择题1(2014 郑州六校质量检测z 2i 成立，则点 P(a，)设复数 za bi(a、b R)，若 1ib)在 ()A 第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案 A解析 1z i 2 i ， z (2 i)(1 i) 3 i， a 3，b 1，点 P(a，b)在第一象限2 (2014 新课标理， 2)设复数 z1， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1 2 i ，则 z1 z2 ()A 5B 5C 4 iD 4 i答案 B解析 本题考查复数的乘法，复数的几何意义 z1 2 i ， z1 与 z2 关于虚轴对称，z2 2 i ， z1z2 1 4 5，故选
2、 B.ab1 1)3定义运算 adbc，则符合条件 4 2i 的复数 z 为 (cdzziA 3 iB 1 3iC3 iD 1 3i答案 A1 1解析 由定义得 zi z z(1 i) 4 2i，zzi z 42i 3 i. 1 i故应选 A.4(2014 2015 洛阳市高二期中)已知 i 为虚数单位， z 为复数，下面叙述正确的是()B任何数的偶数次幂均为非负数A z z 为纯虚数Ci 1的共轭复数为 i 1D 2 3i 的虚部为 3答案 D解析 当 z 为实数时 A 错；由 i2 1 知 B 错；由共轭复数的定义知1 i 的共轭复数为 1 i ， C 错，故选 D.1 2i 1 i ，则
3、 ()5 (2015 泰安市高二期末 )设 a， b 为实数，若复数 a biA a 3， b 1B a 3， b 12213Ca 2， b2D a 1， b 3答案 A解析 1 2i 1 i 可得 1 2i (a b) (a b)i ，由a bi所以 a b 1，解得 a 3，b 1，故选 A.a b2，221323456)6(2014 长安一中质检 )设 z2i(i 是数单位 )，则 z 2z3z 4z 5z 6z (2A 6zB 6z2D 6zC6 z答案 C解析 2133413513613i)z22i，z 1，z 2i ，z i，z 1，原式( 22222( 1 3i) ( 3) (
4、2 2 3i) (553 i) 6 333i 6(21 3i) 6 z .222二、填空题7 (2015 海南文昌中学高二期中)已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数分别为12i ， 2 i ， 1 2i ，那么第四个顶点对应的复数是_ 答案 2 i解析 不妨设正方形的三个顶点A，B，C 对应的复数分别为12i ， 2 i， 1 2i，则 A(1,2)，B( 2,1)， C( 1， 2)，易知 ABBC 0，设 D(x， y)，则 AB DC ， 因此应满足 AB DC，即 (3， 1) ( 1x， 2 y)1 x 3，x2，即解得2 y 1，y 1.则 D(2， 1)，对应的复数为 2 i，
5、故答案为 2 i.8设复数z1、 z2 在复平面内的对应点分别为A、 B，点 A 与 B 关于 x 轴对称，若z1(1 i) 3 i ，则 |z2| _.答案 解析 5 z1(1 i) 3 i ， z1 3 i 3 i 1 i 2i ，1 i 1 i 1 i A 与 B 关于 y 轴对称， z1 与 z2 互为共轭复数， z2 z 1 2 i， |z2 |5.9设 i 是虚数单位，复数1ai 为纯虚数，则实数 a 的值为 _ 2 i答案 2解析 1 ai 1 ai2 i 2 i2 i2i2 a0， a 2. 2 a 2a 1 i为纯虚数，52a 1 0，三、解答题10把复数 z 的共轭复数记作
6、z ，已知 (1 2i)z 4 3i，求 z 及 z .z解析 设 za bi( a， b R)，则 z abi ，由已知得：(1 2i)( a bi) (a 2b) (2a b)i 4 3i ，由复数相等的定义知，a 2b4，得 a 2， b 1，2a b 3. z 2i.z2i2 i 23 4i34z i.2 i2 i 2 i555一、选择题11 (2015 北京市东城区高二期末1 a i ， z2 1 i，其中 a R， z1是纯虚)已知复数 zz2数，则实数 a 的值为 ()A 1B 1C 2D 2答案 A解析 z1 ai ai 1 i a 1 1 a i为纯虚数，z2 1i1i 1
7、i2a 1 0， a 1，故选 A.1 a 0.1 2i12(2014 洛阳市期末 )i 为虚数单位，若复数 z 2 i，z的共轭复数为z，则 zz ()A 1B 12525C. 9D9答案 A1 2i1 2i 2i5i i，解析 z 2 i 2 i 2 i5 1. z i ， zz13设复数 z 满足1 z i，则 |1 z|()1 zA 0B 1C. 2D 2答案 C解析 1 z i ， z 1 i ，1 z1 i z 11 i 1 2 1i ， |z 1| 2.1 i1 i2 z2 等于 ()14 (2014 石家庄质检 )设 z 1 i(i 是虚数单位 )，则 zA 1 iB 1iC1
8、 iD 1 i答案 C解析 2 z2 2 (1 i)2 1 i 2i 1 i.z1 i二、填空题xy515设 x、 y 为实数，且1i 12i1 3i，则 xy _.答案 4解析 x y5可化为，1 i1 2i1 3ix 1 i y 12i 5 1 3i ，2510即 x y x2y i 1 3i，252522x y 1，x 1，由复数相等的充要条件知252x23 x y 4.y5，2 y523 i16若复数 z 满足 z i i，则 |z| _.答案 173 ii 3i 1 i 1 4i，解析 z i |z| 17.三、解答题17设存在复数z 同时满足下列条件：(1)复数 z 在复平面内对应
9、点位于第二象限；(2)zz 2iz 8 ai( a R)试求 a 的取值范围解析 设 z x yi( x， yR )，由 (1) 得 x 0， y 0，由 (2)得， x2 y2 2i( x yi) 8 ai，即 x2 y2 2y2xi 8 ai.222y 8，x y由复数相等的定义得，2x a，22由得 x ( y 1) 9， x0， 3 x0， 6 a0.218设关于x 的方程是x (tan i)x (2 i) 0.(1)若方程有实数根，求锐角和实数根；(2)证明：对任意k 2(k Z) ，方程无纯虚数根解析 (1)设实数根是 a，则 a2(tan i) a (2i) 0，即 a2 atan 2 (a 1)i 0，a2 atan2 0， a、 tan R，a1 0； a 1，且 tan1，又 0 ， 4 .2(2)若方程存在纯虚数根，设为bi(b R， b0) ，则 (bi) 2 (tan i)bi (2 i) 0，化简整理得b2 b 2 (btan 1)i 0. b2b 2 0即此方程组无实数解，btan 1 0对任意 k2(k Z)，方程无纯虚数根
