1、概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第七章 参数估计7.1 点估计、7.2 点估计的优良标准一、选择题：1矩估计必然是C(A) 无偏估计(B) 总体矩的函数(C)样本矩的函数(D)极大似然估计2设 X 1 , X2是正态总体 N ( ,1) 的容量为 2 的样本， 为未知参数， 的无偏估计是 D(A)2X+4X(B)1X+2X(C)3X1X(D)2X+3X44531321421421523设某钢珠直径 X 服从正态总体 N ( ,1)（单位：mm），其中 为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出 9 个，求的样本均值= 31.06 ，样本方差S92 = 0.982，则 的极大似然估计值为X A
2、(A) 31.06(B) (31.06 0.98 ， 31.06 + 0.98)(C) 0.98(D) 931.06二、填空题：1如果 与 都是总体未知参数 的估计量，称比 有效，则 与的期望与方差一定满121212足E ( )= E ( ) = , D ( ) 1)为 X 的样本，2n11= C ( X i +1 Xi )22的一个无偏估计，则C =2 n 2是。i=1三、计算题：231设总体 X 具有分布律，其中 (0 0 ，其中 0 是未知参数， X 1 , X 2 , , Xn 为一2设总体 X 的概率密度为 f (x) = e0x 0个样本，试求参数 的矩估计量和极大似然估计量。11
3、1n1解：总体X的期望，所以=X = Xi , 故=.Xnn i=1xin似然函数L ( x1 ,. xn , ) = nei=1, 取对数ln L = n ln xi ,d ln Lnnn1i=1两边求导得= xi=0, 则 = n / xi =.dXi =1i=123设总体 X 的概率密度为 f (x) =exx 0，其中 0 是未知参数，X 1 , X 2 , , Xn 为一x30x 0个样本，试求参数 的矩估计量和极大似然估计量。2解：总体X 的期望E ( X ) = 0+ xedx = .xx31n1n所以 =X = X i , 故= Xi .n i =1n i=1n 2n ( 1)
4、x似然函数L ( x,. x, ) =ei=1 i ,( x1 xn )31nn1取对数ln L = 2 n ln 3(ln( x1 xn ) ( ),i=1x两边求导得 d ln L = 2 n 1= 0,i/ 1 .则 = 2nnndi =1xi=1xii*4. 设 x1 , x2 , xn 为来自正态总体 N ( 0 , 2 ) 的简单随机样本，其中0 已知， 2 0 未知，X 和2分别表示样本均值和样本方差。（1）求2222。(考S的极大似然估计；（2），计算 E和D研题 2002)解：设x1 , , xn为样本的一组观测值，于是似然函数为：n( xi 0 )2nn( xi 0 )21
5、2) = 222 2L ( x1 , ，xn ; , e2= (2)2 ei=12 i=1nn( x )2两边取对数ln L = ln(2 2 ) i0,222 ln 2L = n12 + 1 4i=1 ( xi 0 )2 = 0, 2 = 1 (xi 0 )2nni=122i =1nn1n11E ( 2 ) = E( ( Xi 0 ) 2 ) =( E( X i2 ) nE ( 0 2 ) =( n ( 2 + 0 2 ) n 0 2 ) = 2 .nn i =1i=1( x )2 4n21n 4n4D ( 2 ) = D ( ( xi 0 ) 2 ) =D(i0) =* 2 n =.n22
6、n2nn i =1i=132概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第七章 参数估计7.3 区间估计一、选择题：1设总体 X 服从正态分布 X N ( , 2 ) ，其中 未知， 2 已知，X 1 , X 2 , Xn 为样本，则的置信水平为 0.95 的置信区间是 D (A) ( Z 0.95,+ Z0.95)(B) ( Z 0.05,+ Z0.05)XXXXnnnn(C) ( Z 0.975,+ Z0.975)(D) ( Z 0.025,+ Z0.025)XXXXnnnn2设总体 X 服从正态分布 X N ( , 2 ) ，其中 和 2 都未知，X 1 , X 2 , Xn 为样本，则 的置
7、信水平为 0.95 的置信区间是D(A) ( t 0.95 ( n 1)S,+ t 0.95 ( n 1)S)(B) ( t 0.05 ( n 1)S,+ t 0.05 ( n 1)S)XXXXnnnn(C) ( X t 0.975 ( n 1) Sn , X + t 0.975 ( n 1) Sn ) (D) ( X t 0.025 ( n 1) Sn , X + t 0.025 ( n 1) Sn )3设总体 X N ( , 2 ) ，对参数 或 2 进行区间估计时，不能采用的样本函数有 D2X X nXi X(A)(B)(C) (D) X n X1 / nS / ni=1二、填空题：1设
8、总体 X N ( , 0.9 2 ) ， X1 , X9 是容量为 9 的样本，样本均值 x = 5 ，则总体均值 的置信水平为 0.95 的置信区间为4.412,5.588。2设总体 X N ( , 2 ) ， X1 , X9 是容量为 9 的样本，样本均值 x = 35 ，样本方差s2 = 9 ，则总体均值 的置信水平为 0.95 的置信区间为32.69,37.31。3假设总体 X 服从正态分布 N ( , 2 ), 已知，要使总体均值 的置信水平为1 置信区间的长度不大于 1，则样本容量n 4z 2 2。/233三、计算题：1设冷抽铜丝的折断力服从正态分布 X N ( , 2 ) ，从一
9、批铜丝任取 10 根，测得折断力如下：578、572、570、568、572、570、570、596、584、572，求方差 2 的 0.90 的置信区间。= 575.2, S 2= 75.73解：X取统计量( n 1)S 2 2 ( n 1)，则可得 2的1-置信水平下的置信区间为： 2( n 1) S 2( n 1) S 29 75.739 75.739 75.739 75.73,= (40.28, 204.98).=22 ( n1)2216.9193.325 ( n 1) 0.05 (9)0.95 (9)1222. 从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取 10 个样本进行磨损试验， 直至轮胎行
10、驶到磨坏为止， 测得行驶路程(km)如下:41250、41010、42650、38970、40200、42550、43500、40400、41870、38900，设汽车轮胎行驶路程服从正态分布 X N ( , 2 ) ，求（1）均值 的置信水平为 0.95 的单侧置信下限；（2）方差 2 的置信水平为 0.95 的单侧置信上限。= 41130, S = 1547.63解：X(1)取统计量X t ( n 1), 则可得的0.95的单侧置信下限为：S /n1547.63 t 0.05 (9) *S= 41130 1.83* 40234.4 Xn10(2)取统计量( n 1)S 2 2 ( n 1)
11、，则可得 2的0.95置信上限为：2 2 ( n 1) S 2=9*1547.632 6483136 2( n 1)3.325134概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第六章 数理统计的基本知识 第七章 参数估计综合练习一、选择题：1设 X 1 , X 2 , X n ( n 2) 是来自总体 N (0,1) 的简单随机样本， X 为样本均值，S 2 为样本方差，则 D (A)N (0,1)(B)nS 2 2 ( n)nX( n 1)X 2( n 1)X(C)t ( n 1)(D)1F (1, n 1)Sn Xi2i=22. 设随机变量 X 服从正态分布 N (0,1) ，对给定的 (0 u
12、 ) = 确定，若 P (| X | 1)，Y =1，则CX 2(A) Y 2 ( n)(B)Y 2 ( n 1)(C) Y F ( n,1)(D)Y F (1, n)4若总体 X N ( , 2 )，已知 2 =02，则 的置信度为1 的置信区间为Cnn ( xi 0 ) 2( xi 0 )2 1) s2( n 1)s2(A)i =1,i=1(B)( n,2( n )x2( n)2( n 1)2( n1)x 1xx 12222 0 0ss(C) x u , x+u(D)x t , x +tnnnn22225若总体 X N ( , 2 )，未知 2，则 的置信度为1 的置信区间为Dnn ( xi 0 ) 2( xi 0 )2( n 1) s2( n 1)s2(A)i =1,i=1(B),2( n )x2( n)2 ( n 1)x2( n 1)x 1x12222ss(C)x 0u , x +0u(D)x t , x +tnnnn2222356若总体 X N ( , 2 )，已知 =0 ，则 2的置信度为1 的置信区间为 Ann ( xi 0 ) 2( xi 0 )2( n 1) s2( n 1)s2(A)i =1,i=1(B),2( n )x2( n)2( n 1)2( n 1)x 1xx12222 0 0ss(C)x u , x +u(D)x t , x+t
